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1、皰工巧解牛知識巧學一、相反向量與a長度相等、方向相反的向量叫做相反向量，記作-a.對相反向量的把握要注意以下幾點：(1)a與-a互為相反向量，即-(-a)=a.(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(3)任意向量與它的相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0.又如與互為相反向量，+=0.(4)如果a、b互為相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.學法一得 向量的減法與加法互為逆運算，有關向量的減法可同加法相類比，也可同實數(shù)的減法相類比.二、向量減法1.a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量. 像這種求兩個向量的差的運算叫做向量的減法，向量的減法是

2、向量加法的逆運算.若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作a-b.2.已知a、b，求作a-b. 由(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a，可知a-b就是這樣一個向量，它與b的和等于a. 已知向量a、b，在平面內任取一點O，作=a，=b，則=a-b，即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.這是向量減法的幾何意義.圖2-2-17(2)在定義相反向量的基礎上，通過向量加法定義向量減法，求作a-b.圖2-2-18 在平面內任取一點O，作=a，=-b，則由向量加法的平行四邊形法則可得=a+(-b)=a-b. 即a-b也可看作：從同一點O出發(fā)作向量a與-b為鄰邊作平行四邊形，則從公共頂

3、點O出發(fā)的對角線所對應的向量與a-b相對應.三、向量的位置與向量的減法1.已知a、b是從同一點出發(fā)的兩個向量，從a的終點到b的終點作向量，那么所得的向量是b-a.2.當ab時,圖2-2-19中(1)(2)給出了已知向量a、b，只需在平面上任取一點O，作=a，=b，則即為所求向量a-b.如圖2-2-20所示. 圖2-2-19 圖2-2-20記憶要訣 我們在求兩向量a、b的和向量時，常按規(guī)律“兩向量首尾(起點與終點)相接”求解，求向量a、b的差向量時，常按規(guī)律“起點重合，由減數(shù)向量的終點指向被減數(shù)向量的終點”來求解.四、向量的加、減法與平行四邊形 ABCD中，若設=a，=b，則兩條對角線都可以用a

4、與b表示，借助這一模型可進一步研究有關ABCD的一些性質.從同一點出發(fā)的兩個不共線向量的和、差同兩個向量一起恰好構成一個平行四邊形的邊與對角線. 在平行四邊形中，改變一些條件，會得到不同的結論，可以幫助我們進一步加強對向量計算的理解.圖2-2-21變式訓練1：當a、b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直?變式訓練2：當a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|?變式訓練3：a+b與a-b可能是相等向量嗎?變式訓練4：當a與b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角?1.|a|=|b|，即ABCD為菱形時，對角線互相垂直.2.|a+b|=|a-b|，即ABCD的對角線長相等，ABCD應為矩形，所

5、以應滿足a與b垂直.3.a+b與a-b不可能相等，因為ABCD的對角線方向不同.4.當|a|=|b|時，對角線平分a與b所夾的角.典題熱題知識點一 向量的減法例1 填空：(1)=_;(2)=_；(3)=_；(4)=_;(5)=_.思路分析：從同一點出發(fā)的兩個向量的差與連接兩個向量的終點且指向被減數(shù)的向量對應.對于向量和的形式，若能利用相反向量轉化成從同一點出發(fā)的兩個向量的差，也可利用減法的幾何意義去解.答案：(1) (2) (3) (4) (5)例2 化簡下列各式：(1);(2);(3);(4).解：(1)原式=()-()=-=0;(2)原式=()+()=;(3)原式=；(4)原式=.知識點二

6、 用向量加法與減法的運算求解例3 已知向量a、b、c，如圖2-2-22所示，求作向量a-b+c.圖2-2-22思路分析：在平面內任選一點O，先把a與b的起點移至O點，求a-b，再求(a-b)+c.解：如圖2-2-23，在平面上任取一點O，作=a，=b，則BA=a-b.再作=c，并以、為鄰邊作BADC，則=a-b+c.圖2-2-23知識點三 向量減法與三角形法則、平行四邊形法則例4 已知一點O到平行四邊形ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別為a、b、c，則向量等于( )A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c思路分析：如圖2-2-24，點O到平行四邊形的3個頂點A、B、C

7、的向量分別為a、b、c，結合圖形有=a+b-c.圖2-2-24答案：C例5 如圖2-2-25，已知點D、E、F分別是ABC三邊AB、BC、CA的中點，求證：(1);(2)=0.圖2-2-25思路分析：解題的關鍵，一是利用D、E、F分別是ABC三邊AB、BC、CA的中點的條件，二是合理地選取向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.解：(1)在ABE中，;在ACE中,.所以.(2)因為D、E、F分別是ABC三邊AB、BC、CA的中點，所以四邊形ADEF為平行四邊形.在平行四邊形ADEF中,; 在平行四邊形BEFD中,; 在平行四邊形CFDE中,. 將式相加得=0.例6 已知|a|=6，|b|=8，且

8、|a+b|=|a-b|，求|a-b|.圖2-2-26思路分析：兩個向量不共線，則a、b、a+b、a-b組成一個平行四邊形的邊與對角線.求模的運算往往與模的平方有關.解：設=a，=b，以AB、AD為鄰邊作ABCD，則=a+b，=a-b.因為|a+b|=|a-b|，所以|=|.又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形.故ADAB.在RtDAB中，|=6，|=8，由勾股定理，得|=.所以|a+b|=|a-b|=10.巧解提示：由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，據(jù)題意，得2|a-b|2=2(62+82)，即|a-b|2=100.|a-b|=10.問題探究誤區(qū)陷阱探究

9、問題 求證：對于任意兩個向量a、b，都有|a|-|b|a+b|a|+|b|.圖2-2-27證明:由于不等式本身有明顯的幾何意義，故可選用向量的幾何意義進行證明.如圖2-2-27所示，則有|-|+|，即|a|-|b|a+b|a|+|b|，當a、b中有一個為零向量時，等號成立，所以|a|-|b|a+b|a|+|b|.同理可證明|a|-|b|a-b|a|+|b|.探究過程：證明問題時只想到了一般情況，即向量a、b不共線時的情況，共線時只說了一種特殊情況，即其中一個為零向量的情況.探究結論：證明：由于不等式本身有明顯的幾何意義，故可選用向量的幾何意義進行證明.根據(jù)向量a、b共線與不共線兩種情況討論.若

10、a、b中有一個為零向量，則不等式顯然成立.若a、b都不是零向量，記=a，=b，則=a+b.(1)當a、b不共線時，如圖2-2-33所示，則有|-|+|，即|a|-|b|a+b|a|+|b|.(2)當a、b共線時，若a、b同向，如圖2-2-28(1)所示，|=|+|，即|a+b|=|a|+|b|. (1) (2)圖2-2-28若a、b反向，如圖2-2-28(2)所示，|-|=|，即|a|-|b|=|a+b|.綜上可知，|a|-|b|a+b|a|+|b|.同理可證明|a|-|b|a-b|a|+|b|.材料信息探究材料：采訪零向量W：你好！零向量.我是數(shù)學天地的一名記者，為了讓在校的高中生更好地了解

11、你，能不能對你進行一次采訪呢？零向量：當然可以，我們向量王國隨時恭候大家的光臨，很樂意接受你的采訪，讓高中生朋友更加了解我，更好地為他們服務.W：好的，那就開始吧！你的名字有什么特殊的含義嗎？零向量：零向量就是長度為零的向量，它與數(shù)字0有著密切的聯(lián)系，所以用0來表示我.W：你與其他向量有什么共同之處呢？零向量：既然我是向量王國的一個成員，就具有向量的基本性質，如既有大小又有方向，在進行加、減法運算時滿足交換律和結合律，還定義了與實數(shù)的積.W：你有哪些值得驕傲的特殊榮耀呢？零向量：首先，我的方向是不定的，可以與任意的向量平行.其次，我還有其他一些向量所沒有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在

12、向量的線性運算中，我與實數(shù)0很有相似之處.W：你有如此多的榮耀，那么是否還有煩惱之事呢？零向量：當然有了，在向量王國還有許多“權利和義務”卻大有把我排斥在外之意，如平行向量的定義，向量共線定理，兩向量夾角的定義都對我進行了限制.所有這些確實給一些高中生帶來了很多苦惱，在此我向大家真誠地說一聲：對不起，這不是我的錯.但我還是很高興有這次機會與大家見面.W：OK！采訪就到這里吧，非常感謝你的合作，再見！零向量：Bye!問題 應用零向量時應注意哪些問題？探究過程：零向量是向量，它應具有向量應具有的性質，也具有它本身的特性.所以，在應用零向量時應從它與其他向量的相同之處和不同之處兩方面進行考慮.例如，相同之處，它既然是向量就具有向量的兩個要素大小和方向；不同之處應從教材中的概念和定理中尋找.探究結論：零向量有大小和方向，它的方向是任意的，在進行加、減法運算時滿足交換律和結合律，也可以定義與實數(shù)的積，在進行線性運算時與實數(shù)0有著相似之處.由零向量是一個特殊的向量，因此在一些概念和定理中對它進行了限制，如平行向量、向量共線定理、向量垂直的條件、兩個向量夾角的定義等概念和定理中就對它進行了限制.所以在應用這些概念和定理時一定要注意其中是否有零向量.