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1、第二課任意角的三角函數優(yōu)秀課件第一頁，共40頁。學習目標學習目標1、知識與技能、知識與技能借助單位圓理解任意角的三角函數借助單位圓理解任意角的三角函數;從任意角三角函數的從任意角三角函數的定義認識其定義域，函數值的符號定義認識其定義域，函數值的符號;已知角已知角終邊上一點終邊上一點,會求角會求角的各三角函數值的各三角函數值;記住三角函數的定義域、值域，記住三角函數的定義域、值域，誘導公式（一）誘導公式（一）.2、過程與方法、過程與方法利用終邊與單位圓的交點坐標求三角函數值利用終邊與單位圓的交點坐標求三角函數值 ;各個各個三角函數值的象限符號；誘導公式一的熟練應用。三角函數值的象限符號；誘導公式

2、一的熟練應用。3、情感、態(tài)度與價值觀、情感、態(tài)度與價值觀學習轉化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學學習轉化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神精神.第二頁，共40頁。教學的重點和難點教學的重點和難點v 重點：三角函數的定義，各三角函數值在重點：三角函數的定義，各三角函數值在每個象限的符號，特殊角的三角函數值每個象限的符號，特殊角的三角函數值.v 難點：對三角函數的自變量的多值性的理難點：對三角函數的自變量的多值性的理解，三角函數的求值中符號的確定解，三角函數的求值中符號的確定.第三頁，共40頁。1.在初中我們是如何定義銳角三角函數的？在初中我們是如何定義銳角三角函數的？復習回顧復

3、習回顧OabMPc第四頁，共40頁。OabMPyx2.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數？新課新課 導入導入第五頁，共40頁。yx2.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數？o第六頁，共40頁。如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？誘思誘思 探究探究MOyxP(a,b)第七頁，共40頁。1.銳角三角函數（在單位圓中）銳角三角函數（在單位圓中）以原點以原點O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為長度為半徑的圓，稱為單位圓單位圓.yOx1M第八

4、頁，共40頁。2.任意角的三角函數定義任意角的三角函數定義 設設 是一個任意角，它的是一個任意角，它的終邊終邊與與單單位位圓圓交于點交于點 那么那么:（1）叫做叫做 的正弦，記作的正弦，記作 ，即，即 ；（2）叫做叫做 的余弦，記作的余弦，記作 ，即，即 ；（3）叫做 的正切正切，記作 ，即 。所以，正弦，余弦，正切都是以所以，正弦，余弦，正切都是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點的上點的坐標坐標或坐標的比值或坐標的比值為函數值的函數，我為函數值的函數，我們將他們稱為們將他們稱為三角函數三角函數.使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數的定義域即為三角函數的定義域.

5、第九頁，共40頁。xyo的終邊的終邊說說 明明（1）正弦就是交點的縱坐標，余弦就是交點）正弦就是交點的縱坐標，余弦就是交點橫坐標的比值橫坐標的比值.的橫坐標，的橫坐標，正切就是正切就是 交點的縱坐標與交點的縱坐標與.（2）正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當當 的終邊在的終邊在 橫坐標等于橫坐標等于0，無意義，此時無意義，此時 軸上時，點軸上時，點P 的的（3）由于角的集合與實數集之間可以建立）由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系一一對應關系，三角函數可以看成是自變量為實數的函數三角函數可以看成是自變量為實數的函數.第十頁，共40頁。例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和

6、正切值.解：解：在直角坐標系中，作在直角坐標系中，作，易知，易知 的終邊與單位圓的交點坐標為的終邊與單位圓的交點坐標為 所以所以 思考：思考：若把角若把角 改為改為 呢呢?實例實例 剖析剖析P15.1P15.3第十二頁，共40頁。設角設角 是一個任意角，是一個任意角，是終邊上的任意一點，是終邊上的任意一點，點點 與原點的距離與原點的距離 .那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函數值僅與的三角函數值僅與 有關，而與點有關，而與點 在角的終在角的終邊上的位置無關邊上的位置無關.定義推廣：定義推廣：第十三頁，共

7、40頁。例例2.已知角已知角 的終邊經過點的終邊經過點 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解解:由已知可得由已知可得設角設角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，分別過點分別過點 、作作 軸的垂線軸的垂線 、于是，于是，第十四頁，共40頁。于是于是，鞏固鞏固 提高提高練習練習:1.已知角已知角 的終邊過點的終邊過點 ，求求 的三個三角函數值的三個三角函數值.解：解：由已知可得：由已知可得：P15.2第十五頁，共40頁。第十六頁，共40頁。第十七頁，共40頁。M1已知角 的終邊經過點 ，求角第二十九頁，共40頁。誘思 探究當角的終邊在軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存

8、在此時角 的正切值不存在。三個三角函數在各象限的符號在初中我們是如何定義銳角三角函數的？3090或210270設 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點第三十六頁，共40頁。（2）叫做 的余弦，記作 ，即 ；第二十五頁，共40頁。-cos0,0sin .劃歸的思想，數形結合的思想.我們把帶有方向的線段叫有向線段.單位圓中定義任意角的三角函數1.根據三角函數的定義，確定它們的定義域根據三角函數的定義，確定它們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函數三角函數定義域定義域R2.確定三角函數值在各象限的符號確定三角函數值在各象限的符號yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R

9、口訣口訣“一全正一全正,二正弦，三正切二正弦，三正切,四余弦四余弦.”.”+-+-+-+-第十八頁，共40頁。yxo+-+-yxoyxo全為+yxo記法：記法：一全正一全正一全正一全正二正弦二正弦三正切三正切四余弦四余弦四余弦四余弦三個三角函數在各象限的符號三個三角函數在各象限的符號心得心得:角定象限角定象限,象限定符號象限定符號.P15.3第十九頁，共40頁。例例3.求證：當下列不等式組成立時，角求證：當下列不等式組成立時，角 為第三象限角為第三象限角.反之也對反之也對 證明：證明：因為因為式式 成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，

10、也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；又因為又因為式式 成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限.因為因為式都成立，所以角式都成立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請同學們自己證明反過來請同學們自己證明.P15.6第二十頁，共40頁。如果兩個角的終邊相同，那么這兩個如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數值有何關系？角的同一三角函數值有何關系？終邊相同的角的同一三角函數值相等（終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一公式一）其中其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函數

11、值，轉化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數值，轉化為求求 角的三角函數值角的三角函數值.？第二十一頁，共40頁。例題例題（1）因為）因為 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（3）因為）因為 =而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以解：解：（2）因為）因為 是第四象限角，所以是第四象限角，所以第二十二頁，共40頁。解：解：第二十三頁，共40頁。6.已知已知 在第二象限在第二象限,試確定試確定 sin(cos)cos(sin)的符號的符號.解解:在第二象限在第二象限,-1cos 0,0sin 1.-1,1 ,2 2 -cos 0,0sin .2 2 sin(cos)0.sin(cos

12、)cos(sin)0.故故 sin(cos)cos(sin)的符號為的符號為“-”號號.第二十四頁，共40頁。第二十五頁，共40頁。1.內容總結：內容總結：三角函數的概念三角函數的概念.三角函數的定義域及三角函數值在各象限的符號三角函數的定義域及三角函數值在各象限的符號.誘導公式一誘導公式一.運用了定義法、公式法、數形結合法解題運用了定義法、公式法、數形結合法解題.劃歸的思想，數形結合的思想劃歸的思想，數形結合的思想.歸納歸納 總結總結2.方法總結：方法總結：3.體現的數學思想：體現的數學思想：第二十六頁，共40頁。MAP下面我們再從圖形角度認識一下三角函數下面我們再從圖形角度認識一下三角函數

13、思考思考:為了去掉等式中得絕對值符號，能否為了去掉等式中得絕對值符號，能否 給線段給線段OM、MP規(guī)定規(guī)定一個適當的方向一個適當的方向,使它們的取值與點使它們的取值與點P的坐標一致？的坐標一致？第二十七頁，共40頁。我們把帶有方向的線段叫我們把帶有方向的線段叫有向線段有向線段.(規(guī)定規(guī)定:與坐標軸相同的方向為正方向與坐標軸相同的方向為正方向).).yxo 的終邊的終邊MP 的終邊的終邊第二十八頁，共40頁。TMAPTMAPTM AP=MPTM A（1,0）P第二十九頁，共40頁。這幾條與單位圓有關的有向線段這幾條與單位圓有關的有向線段分別叫做角的分別叫做角的正弦線正弦線、余弦線余弦線、正切線正

14、切線統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為三角函數線三角函數線.當角的終邊在軸上時，正弦線、正切線分別當角的終邊在軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；此時角變成一個點；此時角 的正弦值和正切值都為的正弦值和正切值都為0當角的終邊在軸上時，余弦線變成一個點，當角的終邊在軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在此時角正切線不存在此時角 的正切值不存在。的正切值不存在。TM APTMAPTMAPTM AP第三十頁，共40頁。MPMP是正弦線是正弦線OMOM是余弦線是余弦線 AT AT是正切線是正切線y yxo o MMP PA AT T例例 題題 示示 范范第三十一頁，共40頁。例例2.2.作出下列各角的正弦線，余弦線，正切

15、線作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線（1）；（；（2）第三十二頁，共40頁。例例1.在在0 內，求使內，求使 成立的成立的的取值范圍的取值范圍.OxyP PM MP P1 1P P2 2第三十三頁，共40頁。xyoP1P2xyo T A210 30 例利用例利用單單位位圓尋圓尋找適合下列條件的找適合下列條件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 第三十四頁，共40頁。POxyMAT第三十五頁，共40頁。AB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函數利用三角函數線線比比較較下列各下列各組組數的大小：數的大?。航猓航猓喝缛鐖D圖可知：可知：M2第三十六頁，共40頁。AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函數利用三角函數線線比比較較下列各下列各組組數的大小：數的大?。航猓航猓喝缛鐖D圖可知：可知：第三十七頁，共40頁。例例5.5.求函數求函數 的定義域的定義域.OxyP2MP1P第三十八頁，共40頁。xyoMPATxyoy=-xPM 練習練習第三十九頁，共40頁。xyoy=-xxyoy=-xxyoMPMPPMxyoPMMPPM第四十頁，共40頁。