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1、第六章 控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念6.2 輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差6.3 干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差6.4 減少系統(tǒng)誤差的途徑6.5 動態(tài)誤差系數(shù)1.6.1 穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念 對一個控制系統(tǒng)的要求是穩(wěn)定、準(zhǔn)確、快速.誤差問題即是控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確度問題.過渡過程完成后的誤差稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在過渡過程完成后控制準(zhǔn)確度的一種度量.機(jī)電控制系統(tǒng)中元件的不完善,如靜摩擦、間隙以及放大器的零點(diǎn)漂移、元件老化或變質(zhì)都會造成誤差.本章側(cè)重說明另一類誤差,即由于系統(tǒng)不能很好跟蹤輸入信號,或者由于擾動作用而引起的穩(wěn)態(tài)誤差,即系統(tǒng)原理性誤差.2.對于一個實(shí)際的控制系統(tǒng),由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入

2、作用的類型(給定量或擾動量)、輸入函數(shù)的形式(階躍、斜坡或拋物線)不同,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當(dāng),也不可能在任何形式的擾動作用下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到原平衡位置.這類由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差稱為原理性穩(wěn)態(tài)誤差.此外,控制系統(tǒng)中不可避免地存在摩擦、間隙、不靈敏區(qū)等非線性因素,都會造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差.這類由于非線性因素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差稱為結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差.本章只討論原理性穩(wěn)態(tài)誤差,不討論結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差.3.控制系統(tǒng)的方塊圖如圖6-1所示.實(shí)線部分與實(shí)際系統(tǒng)有對應(yīng)關(guān)系,而虛線部分則是為了說明概念額外畫出的.誤差定義為控制系統(tǒng)希望的輸出量與實(shí)際的輸出

3、量之差,記做e(t),誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量被稱為穩(wěn)態(tài)誤差,或稱為靜態(tài)誤差,記作ess.輸入信號和反饋信號比較后的信號(t)也能反映系統(tǒng)誤差的大小,稱之為偏差.應(yīng)該指出,系統(tǒng)的誤差信號e(t)與偏差信號(t),在一般情況下并不相同(見圖6-1).4.控制系統(tǒng)的誤差信號的象函數(shù)是 (6-1)而 偏差信號的象函數(shù)是 (6-2)考慮Xi(s)與Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得 (6-3)及 (6-4)比較(6-3)和(6-4)兩式,求得誤差信號與偏差信號之間的關(guān)系為5.對于實(shí)際使用的控制系統(tǒng)來說,H(s)往往是一個常數(shù),因此通常誤差信號與偏差信號之間存在簡單的比例關(guān)系,求出穩(wěn)態(tài)偏差就

4、得到穩(wěn)態(tài)誤差.對于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1來說,偏差信號與誤差信號相同,可直接用偏差信號表示系統(tǒng)的誤差信號.這樣,為了求穩(wěn)態(tài)誤差,求出穩(wěn)態(tài)偏差即可.6.6.2 輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差 單位反饋控制系統(tǒng)圖6-2 單位反饋系統(tǒng)6.2.1 誤差傳遞函數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)終值定理這就是求取輸入引起的單位反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法.需要注意的是,終值定理只有對有終值的變量有意義.如果系統(tǒng)本身不穩(wěn)定,用終值定理求出的值是虛假的.故在求取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差之前,通常應(yīng)首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.輸入引起的系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為則7.圖6-3 非單位反饋系統(tǒng) 非單位反饋控制系統(tǒng)輸入引起的系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)為:根據(jù)終值定理一般情況下,H

5、為常值,故這時(shí):8.例6-1 某反饋控制系統(tǒng)如圖6-4,當(dāng)xi(t)=1(t)時(shí),求穩(wěn)態(tài)誤差.解:該系統(tǒng)為一階慣性系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定.誤差傳遞函數(shù)為:而 則 9.6.2.2 靜態(tài)誤差系數(shù)設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)的類型當(dāng) 時(shí)，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當(dāng)困難的。因此除航天控制系統(tǒng)外，型及型以上的系統(tǒng)幾乎不用。10.(1)靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號r(t)=1(t)時(shí),其中，,定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)。u對于0型系統(tǒng)u對于型或高于型以上系統(tǒng) 11.(2)靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡信號時(shí)r(t)=t1(t)，即 ，則有 其中 ,定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)。u對于0型系統(tǒng)：u對于

6、型系統(tǒng)：u對于型或型 以上系統(tǒng)：12.(3)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位加速度信號時(shí)，即則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為其中，,定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，Ka=0，ss=；對于型系統(tǒng)，Ka=0，ss=；對于型系統(tǒng)，Ka=K，ss=；對于型或型以上系統(tǒng)，Ka=，ss=0。所以,0型和型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下都不能跟蹤加速度輸入信號.具有單位反饋的型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下是能跟蹤加速度輸入信號的.但帶有一定的位置誤差.高于型系統(tǒng)由于穩(wěn)定性差,故不實(shí)用.13.小 結(jié)(1)位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、勻加速度輸入時(shí)所引起的輸出位置上的誤差.(2)表6-1概括了0型、I型和II

7、型系統(tǒng)在各種輸入量作用下的穩(wěn)態(tài)偏差.在對角線上,穩(wěn)態(tài)偏差為無窮大;在對角線下,則穩(wěn)態(tài)偏差為零.(3)靜態(tài)誤差系數(shù)Kp,Kv,Ka分別是0型、I型、II型系統(tǒng)的開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù),而v=0,1,2則表示系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目.(4)對于單位反饋控制系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)誤差等于穩(wěn)態(tài)偏差.(5)對于非單位反饋控制系統(tǒng),先求出穩(wěn)態(tài)偏差ss后,再按下式求出穩(wěn)態(tài)誤差14.表6-1 各種類型的穩(wěn)態(tài)偏差 系統(tǒng)類型單位階躍單位斜坡單位加速度0型系統(tǒng)型系統(tǒng)0型系統(tǒng)00綜上所述,0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不能跟蹤斜坡輸入.在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,具有單位反饋的I型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入,但具有一定的誤差.這個穩(wěn)態(tài)偏差ss反比于系統(tǒng)開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù).

8、在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,II型或高于II型的系統(tǒng)其穩(wěn)態(tài)偏差為零,因而能準(zhǔn)確地跟蹤斜坡輸入.類似地,0型和I型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下都不能跟蹤加速度輸入信號.具有單位反饋的II型系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下是能夠跟蹤加速度輸入信號的.但有一定的位置誤差.15.例6-2 設(shè)有二階振蕩系統(tǒng),其方塊圖如圖6-6所示.試求系統(tǒng)在單位階躍,單位恒速和單位恒加速輸入時(shí)的靜態(tài)誤差.解:該系統(tǒng)為二階振蕩系統(tǒng),系統(tǒng)穩(wěn)定.由于是單位反饋系統(tǒng),偏差即是誤差.另外,該系統(tǒng)為I型系統(tǒng),單位階躍:單位斜坡:單位加速度:16.上述結(jié)論是在階躍、斜坡等典型輸入信號作用下得到的,但它有普遍的實(shí)用意義.這是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)輸入信號的變化往往是比較緩慢的,可

9、把輸入信號在時(shí)間t=0附近展開成泰勒級數(shù),這樣,可把控制信號看成幾個典型信號之和,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可看成是上述典型信號分別作用下的誤差總和.17.解:首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由開環(huán)傳遞函數(shù)知,閉環(huán)特征方程為 根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.例:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示,求當(dāng)輸入信號r(t)=2t+t2時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess.第二步,求穩(wěn)態(tài)誤差ess.因?yàn)橄到y(tǒng)為型系統(tǒng),根據(jù)線性系統(tǒng)的奇次性和疊加性,有 故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1.18.6.3 干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差所以干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差為:19.干擾引起的偏差為:根據(jù)終值定理,干擾引起穩(wěn)態(tài)偏差為:則干擾引起穩(wěn)態(tài)誤差為:20.例6-3 系統(tǒng)結(jié)

10、構(gòu)圖如圖6-8所示,當(dāng)輸入信號xi(t)=1(t),干擾N(t)=1(t)時(shí),求系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差ess.解:第一步要判別穩(wěn)定性.由于是一階系統(tǒng),所以只要參數(shù)K1,K2大于零,系統(tǒng)就穩(wěn)定.第二步,求E(s).因?yàn)槭菃挝环答?穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差相等.先求輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差再求干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差所以,總誤差為21.例6-4 某直流伺服電動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)如圖6-9所示,試求擾動力矩N(s)引起的穩(wěn)態(tài)誤差.解:首先應(yīng)選擇合適的G1(s)使系統(tǒng)穩(wěn)定.Kc是測速負(fù)反饋系數(shù),這是一個非單位反饋的控制系統(tǒng),先求擾動作用下的穩(wěn)態(tài)偏差,再求穩(wěn)態(tài)誤差ess.設(shè)G1(s)=1,系統(tǒng)是一階的,因此穩(wěn)定.圖6-9中,R是電動機(jī)

11、電樞電阻,CM為力矩系數(shù),N是擾動力矩,干擾作用為一個常值階躍干擾,故穩(wěn)態(tài)偏差為22.則穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)時(shí)，可見，反饋系數(shù)越大，則誤差越?。桓蓴_量越小，則誤差越小；擾動作用點(diǎn)與偏差信號間的放大倍數(shù)越大，則誤差越小 為了進(jìn)一步減少誤差，可讓 ,稱為比例加積分控制.選擇，使系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕量，同時(shí)，其穩(wěn)態(tài)偏差為23.因而穩(wěn)態(tài)誤差ss.從物理意義上看，在擾動作用點(diǎn)與偏差信號之間加上積分環(huán)節(jié)就等于加入靜態(tài)放大倍數(shù)為無窮大的環(huán)節(jié)，因此靜態(tài)誤差為.一般而言，如果反饋控制系統(tǒng)對前向通道的擾動是一個階躍函數(shù)，則只要保證系統(tǒng)穩(wěn)定，并且在擾動作用點(diǎn)前有一個積分器，就可以消除階躍擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差圖-所示為穩(wěn)定系統(tǒng)

12、，（）和（）中不包含純微分環(huán)節(jié)，根據(jù)題意可表達(dá)為24.25.同理,如果反饋控制系統(tǒng)對前向通道的擾動是一個斜坡函數(shù),那么只要保證系統(tǒng)穩(wěn)定,并且在擾動作用點(diǎn)前有兩個積分器,就可以消除斜坡擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差.圖6-11所示為穩(wěn)定系統(tǒng),G1(s)和H(s)中不包含純微分環(huán)節(jié),根據(jù)題意可表達(dá)為:26.作為對比,如果將積分器1/s置于干擾點(diǎn)之后,如圖6-12所示.當(dāng)沒有積分器1/s時(shí),27.當(dāng) 設(shè)置積分器1/s時(shí),對比兩種情況可以看出,將積分器1/s置于干擾點(diǎn)之后對消除階躍擾動N引起的穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么好處.28.另外需要注意,當(dāng)擾動作用點(diǎn)在前向通道時(shí),通過環(huán)節(jié)的調(diào)整可以減少其影響.例如,前面提到的保證系統(tǒng)

13、穩(wěn)定的前提下,在擾動作用點(diǎn)前設(shè)置積分器或在擾動作用點(diǎn)前加大放大器增益,可使擾動影響減少;但當(dāng)擾動作用點(diǎn)在反饋通道時(shí),則很難使擾動影響減少.擾動作用點(diǎn)在前向通道擾動作用點(diǎn)在反饋通道29.6.4 減小系統(tǒng)誤差的途徑(1)反饋通道的精度對于減小系統(tǒng)誤差是至關(guān)重要的.反饋通道元部件的精度要高,避免在反饋通道引入干擾.(2)在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下,對于輸入引起的誤差,可通過增大系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)和提高系統(tǒng)型次減小之;對于干擾引起的誤差,可通過在系統(tǒng)前向通道干擾點(diǎn)前加積分器和增大放大倍數(shù)減小之.(3)對于既要求穩(wěn)態(tài)誤差小,又要求良好的動態(tài)性能的系統(tǒng).單靠加大開環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)往往不能同時(shí)滿足要求,這

14、時(shí)可采用復(fù)合控制的方法,或稱順饋的辦法來對誤差進(jìn)行補(bǔ)償.補(bǔ)償?shù)姆绞娇煞殖砂锤蓴_補(bǔ)償和按輸入補(bǔ)償兩種.30.順饋又稱前饋,它是從系統(tǒng)輸入端,通過設(shè)置順饋通道而引進(jìn)順饋信號,將之加到系統(tǒng)某個中間環(huán)節(jié),以補(bǔ)償擾動信號對系統(tǒng)輸出的影響,或減小系統(tǒng)響應(yīng)控制信號的誤差.順饋的缺點(diǎn)是在使用時(shí)需要對系統(tǒng)有精確的了解,只有了解了系統(tǒng)模型才能有針對性的給出預(yù)測補(bǔ)償.但在實(shí)際工程中,并不是所有的對象都是可得到精確模型的,而且大多數(shù)控制對象在運(yùn)行的同時(shí)自身的結(jié)構(gòu)也在發(fā)生變化.所以僅用順饋并不能達(dá)到良好的控制品質(zhì).這時(shí)就需要加入反饋,反饋的特點(diǎn)是根據(jù)偏差來決定控制輸入,不管對象的模型如何,也不管外界的干擾如何,只要有偏

15、差,就根據(jù)偏差進(jìn)行糾正,可以有效的消除穩(wěn)態(tài)誤差.解決順饋不能控制的不可測干擾.31.當(dāng)干擾直接可測量時(shí),那么可利用這個信息進(jìn)行補(bǔ)償.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示.Gn(s)為補(bǔ)償器的傳遞函數(shù).輸出對干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:令則干擾對輸出的影響可消除，得到對于干擾全補(bǔ)償?shù)臈l件為:1.按干擾補(bǔ)償32.(1)從結(jié)構(gòu)圖可看出,實(shí)際上是利用雙通道原理使擾動信號經(jīng)兩條通道到達(dá)相加點(diǎn)時(shí)正好大小相等,方向相反.從而實(shí)現(xiàn)了干擾的全補(bǔ)償.(2)但在實(shí)際的系統(tǒng)中,有時(shí) 是難以實(shí)現(xiàn)的.因?yàn)橐话阄锢硐到y(tǒng)的傳遞函數(shù)分母的階數(shù)總比分子的階數(shù)高.一般采取近似的補(bǔ)償,以減小給定或擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差.33.2.按輸入補(bǔ)償(應(yīng)用順饋減小輸入引

16、起的誤差)按下面推導(dǎo)確定Gr(s),使系統(tǒng)滿足輸入信號作用,誤差得到全補(bǔ)償.即應(yīng)用順饋控制實(shí)現(xiàn)輸出信號對輸入信號的完全復(fù)現(xiàn).34.從上面分析可以看出,按輸入補(bǔ)償?shù)霓k法,實(shí)際上相當(dāng)于將輸入信號先經(jīng)過一個環(huán)節(jié),進(jìn)行一個“整形”,然后再加給系統(tǒng)回路使系統(tǒng)既能滿足動態(tài)性能的要求,又能保證高穩(wěn)態(tài)精度.35.6.5 動態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差相同的系統(tǒng)其誤差隨時(shí)間的變化常常并不相同,系統(tǒng)誤差隨時(shí)間的變化動態(tài)誤差靜態(tài)位置、靜態(tài)速度和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)均相同,穩(wěn)態(tài)誤差相等;但時(shí)間常數(shù)、阻尼比有差別,則過渡過程將不同,其誤差隨時(shí)間的變化也不相同.研究動態(tài)誤差系數(shù)就可能提供一些關(guān)于誤差隨時(shí)間變化的信息,即系統(tǒng)在給定輸入

17、作用下達(dá)到穩(wěn)態(tài)誤差以前的變化規(guī)律.36.對于單位反饋系統(tǒng),輸入引起的誤差傳遞函數(shù)在s=0的鄰域展開成臺勞級數(shù),并近似地取到n階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),即得將上式進(jìn)行拉氏反變換,得 37.定義上式中,k0 動態(tài)位置誤差系數(shù);k1 動態(tài)速度誤差系數(shù);k2 動態(tài)加速度誤差系數(shù).與靜態(tài)誤差系數(shù)越大則靜態(tài)誤差越小類似,其動態(tài)誤差系數(shù)越大則動態(tài)誤差也越小.可把輸入信號在時(shí)間t=a附近展開成泰勒級數(shù).38.例6-5:設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求輸入為 時(shí)的系統(tǒng)誤差。解:可見,只要a20,t時(shí),ess39.例題:某隨動系統(tǒng)方塊圖如例圖6-2(a)所示,其電動機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù) ,電動機(jī)電樞電感可忽略,電阻R=4Q,KM=0.1N.m/A,KE=0.1V.s/rad,功放K3=10,K1=1V/rad,K2=1.試計(jì)算當(dāng)及 分別作用時(shí),的穩(wěn)態(tài)值各為多少?同時(shí)作用時(shí),的穩(wěn)態(tài)值又為多少?40.解:41.(1)當(dāng) 單獨(dú)作用時(shí).42.(2)當(dāng) 單獨(dú)作用時(shí).43.(2)當(dāng) 和 同時(shí)作用時(shí).根據(jù)疊加原理,有44.第 六 章 作 業(yè)6-1、6-2、6-1545.