《1.2-勒貝格積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《1.2-勒貝格積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件.ppt（24頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)第二節(jié) 勒貝格積分勒貝格積分勒貝格積分思想產(chǎn)生勒貝格積分思想產(chǎn)生積分極限定理積分極限定理勒貝格積分概念和性質(zhì)勒貝格積分概念和性質(zhì)第1頁 一、勒貝格積分思想產(chǎn)生一、勒貝格積分思想產(chǎn)生1.黎曼（黎曼（Riemann)積分積分(即定積分即定積分)基本思想基本思想設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上有界，分割上有界，分割a,b，作乘積，求和，取極限，作乘積，求和，取極限2.達布達布(Darbour)大和與達布小和大和與達布小和 設(shè)設(shè)xi(i=1,2,.n)為區(qū)間為區(qū)間a,b任一分點組任一分點組,記記:=Mimi稱為稱為f(x)在在xi-1,xi上上振幅振幅S=Mi xi為為f(x)D大和大和s=mi xi為

2、為f(x)D小和小和第2頁注：注：f(x)在在a,b上上R可積可積 lim f(i)xi存在存在 lim(S-s)=0 lim i xi=0這表明這表明:f(x)在在a,b上上R可積時可積時,=max xi充分小時充分小時,每個振幅每個振幅 i(i=1,2,)都很小或振幅都很小或振幅 i不能任意小子區(qū)間長度之和不能任意小子區(qū)間長度之和(即測度即測度)很小很小.第3頁（1）對被積函數(shù)和積分域要求過于嚴格對被積函數(shù)和積分域要求過于嚴格.要求積分域為區(qū)間要求積分域為區(qū)間,對普通點對普通點集而言集而言,R積分無法定義積分無法定義;并要求被積函數(shù)并要求被積函數(shù)f(x)在積分區(qū)間在積分區(qū)間a,b上改變不上

3、改變不能太快能太快,最少急劇改變點不能太多最少急劇改變點不能太多(普通普通f(x)在在a,b上應(yīng)是連續(xù)或分段連上應(yīng)是連續(xù)或分段連續(xù)續(xù),即幾乎處處連續(xù)即幾乎處處連續(xù)).象象0,1上狄里克來函數(shù)就不上狄里克來函數(shù)就不R可積可積.（2）另首先）另首先,R積分理論上存在弊端積分理論上存在弊端.R可積函數(shù)序列極限函數(shù)可積函數(shù)序列極限函數(shù)(逐點收逐點收斂斂)未必可積未必可積;極限運算與積分運算只有在很強條件下極限運算與積分運算只有在很強條件下(一致收斂一致收斂)才能交才能交換積分次序換積分次序;由由R可積函數(shù)類組成一些空間不含有完備性可積函數(shù)類組成一些空間不含有完備性.4 L積分產(chǎn)生積分產(chǎn)生 為克服為克服

4、R積分缺點積分缺點,法國數(shù)學家勒貝格法國數(shù)學家勒貝格1902年建立了一套新積分理論年建立了一套新積分理論(L積積分理論分理論),對函數(shù)限制較少對函數(shù)限制較少,適用范圍更大。適用范圍更大。L積分與極限交換次序所要求條件積分與極限交換次序所要求條件較之較之R積分要弱得多積分要弱得多.,而切使用起來也比較靈活而切使用起來也比較靈活.3.R積分不足積分不足第4頁 二、二、勒貝格積分概念與性質(zhì)勒貝格積分概念與性質(zhì)1.測度有限集上有界函數(shù)測度有限集上有界函數(shù)L積分積分定義定義1(L積分積分)設(shè)設(shè)m(E),f(x)是是E上有界可測函數(shù)上有界可測函數(shù),且且 f(x).分割分割：=y1y2.yn=則函數(shù)則函數(shù)f

5、(x)在在E上上L積分積分定義定義取極限：取極限：(i yi-1,yi,Ei=E(yi-1 f yi)=x|yi-1 f(x)yi作乘積和式：作乘積和式：0abxycd iyiyi-1Ei1Ei2Ei3Ei4也稱也稱f(x)在在E上上L可積可積第5頁定理定理1(L積分存在定理積分存在定理)m(E),f(x)在在E上是有界可測函數(shù)上是有界可測函數(shù)f(x)在在E上上L可積可積定理定理2(L積分與積分與R積分關(guān)系積分關(guān)系)f(x)在在E=a,b上上R可積可積f(x)在在E=a,b上上L可積，且可積，且定理定理3(L積分基本性質(zhì)積分基本性質(zhì))設(shè)設(shè)m(E),f(x)及及g(x)都是都是E上有界可測函數(shù)，

6、上有界可測函數(shù)，與與 是常數(shù)。是常數(shù)。1)2)線性線性性質(zhì)性質(zhì)第6頁3)零測集上積分性質(zhì)零測集上積分性質(zhì)4)m(E(fg)=08)有限可加性有限可加性不等式不等式性質(zhì)性質(zhì)5)6)7)m(E(fg)=0第7頁注：注：在零測集上任意改變被積函數(shù)值，或被積函數(shù)無定義，都不影響函數(shù)可在零測集上任意改變被積函數(shù)值，或被積函數(shù)無定義，都不影響函數(shù)可積性及積分值。（積性及積分值。（L積分與積分與R積分顯著區(qū)分）積分顯著區(qū)分）例：在例：在0,1,dirichlet函數(shù)函數(shù)D(x)=0(a.e.),從而有從而有:第8頁2.無界函數(shù)及測度無限集上無界函數(shù)及測度無限集上L積分積分(1)設(shè)設(shè)m(E)+,f(x)是是E

7、上上非負非負無界無界可測可測函數(shù)函數(shù).作函數(shù)作函數(shù)f(x)n是一非負有界可測函數(shù)列是一非負有界可測函數(shù)列,存在存在注：當極限值有限時，稱注：當極限值有限時，稱f(x)在在E上上L可積可積;當極限值無限時，則稱當極限值無限時，則稱f(x)在在E上上有積分。有積分。稱稱f(x)n 為為 f(x)第第n截斷函數(shù)截斷函數(shù).都存在都存在第9頁其中其中f+(x)0稱為稱為f(x)正部正部,f-(x)0稱為稱為f(x)負部負部,注：注：若上述兩個積分都為有限數(shù)，則稱若上述兩個積分都為有限數(shù)，則稱f(x)在在E上上L可積可積;若一個積分有限若一個積分有限,另一個積分無限另一個積分無限,則稱則稱f(x)在在E上

8、有積分；上有積分；若兩個積分均無限若兩個積分均無限,則稱積分無意義。則稱積分無意義。(2)設(shè)設(shè)m(E)+,f(x)是是E上上普通普通無界無界可測可測函數(shù)函數(shù).則有則有第10頁(3)設(shè)設(shè)E為任意可測集為任意可測集(m(E)能夠為能夠為+),f(x)是是E上上任意可測函數(shù)任意可測函數(shù)(能夠無界能夠無界).則定義則定義其中其中 E(x)是是E特征函數(shù)特征函數(shù),而且而且第11頁3.L積分幾個主要性質(zhì)積分幾個主要性質(zhì) 定理定理4(絕對可積性絕對可積性)設(shè)設(shè)E R可測可測，f(x)是是E上可測函數(shù)，則上可測函數(shù)，則f(x)在在E上可積上可積|f(x)|在在E上可積，且上可積，且證證:不妨設(shè)不妨設(shè)m(E)+

9、.“”f(x)在在E上可積上可積|f(x)|在在E上可積上可積“”設(shè)設(shè)|f(x)|在在E上可積上可積,0 f+(x)|f(x)|,0 f-(x)|f(x)|f+(x)n|f(x)|n,f-(x)n|f(x)|n,(n=1,2,)E f+(x)dmE|f(x)|dm+,Ef-(x)dm E|f(x)|dm+E f(x)dm E f+(x)dm-Ef-(x)dm+f(x)在在E上可積上可積,|E f(x)dm|E f+(x)dm+Ef-(x)dm=E|f(x)dm|0,0,對對E0 E,m(E0)0,N,使得使得 取取 =/2N,則對于則對于E0 E,m(E0),有有注注:定理定理5反應(yīng)了反應(yīng)了L

10、 積分值與積分域之間一個以依賴關(guān)系：積分值與積分域之間一個以依賴關(guān)系：第13頁定理定理6(可列可加性可列可加性)設(shè)設(shè)E,Ei R可測可測，f(x)在在E上可積上可積,則則 證證:令令(測度可列可加性測度可列可加性)(積分有限可加性及絕對連續(xù)性積分有限可加性及絕對連續(xù)性)第14頁5.積分序列極限定理積分序列極限定理定理定理7(勒貝格控制收斂定理勒貝格控制收斂定理)設(shè)設(shè)m(E)+，fn(x)是是E上可上可測測函數(shù)函數(shù)列列，假如在，假如在E上滿足上滿足:(1)(2)存在存在L可積函數(shù)可積函數(shù)g(x),使得使得則則f(x)在在E上上L可積可積,且且第15頁推論推論1(勒貝格有界收斂定理勒貝格有界收斂定

11、理)設(shè)設(shè)m(E)+，fn(x)是是E上可上可測測函數(shù)函數(shù)列列，假如，假如E上滿足上滿足:(1)(2)存在常數(shù)存在常數(shù)M,使得使得則則f(x)在在E上上L可積可積,且且定理定理7中取中取g(x)=M即可即可注注:定理定理7及其推論表明及其推論表明:L積分與極限能夠交換次序積分與極限能夠交換次序第16頁推論推論2(含參變量積分連續(xù)定理含參變量積分連續(xù)定理)設(shè)設(shè)m(E)+，f(x)(I)是是E上可上可測測函函數(shù)數(shù)族族，假如，假如E上滿足上滿足:(1)則則f(x)在在E上上L可積可積,且且注注:定理定理7及其推論表明及其推論表明:L積分與極限能夠交換次序積分與極限能夠交換次序(2)存在存在L可積函數(shù)可

12、積函數(shù)g(x),使得使得第17頁定理定理8(劉維劉維(Levl)引理引理)設(shè)設(shè)m(E)+，fn(x)是是E上非負可上非負可測測函數(shù)，而且在函數(shù)，而且在E上有上有則則注注:定理定理9表明表明:L積分與極限能夠交換次序積分與極限能夠交換次序第18頁定理定理9 設(shè)設(shè)m(E)+，f(x)與與un(x)(1,2,)都是都是E上非負可上非負可測測函數(shù)，函數(shù)，,則有則有而且在而且在E上有上有注注:1)定理定理8表明表明:L積分與求和能夠交換次序積分與求和能夠交換次序,即能夠逐項積分即能夠逐項積分2)若利用若利用R積分理論來求積分理論來求f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上積分值上積分值,應(yīng)先將被積函數(shù)展開成應(yīng)先將被

13、積函數(shù)展開成冪級數(shù)冪級數(shù),再驗證級數(shù)在再驗證級數(shù)在a,b上一致收斂性上一致收斂性.若級數(shù)在若級數(shù)在a,b上不一致收斂上不一致收斂,則則R積分不能逐項積分積分不能逐項積分.3)利用利用L積分與積分與R積分關(guān)系及積分關(guān)系及L積分理論來求值積分理論來求值.第19頁在在0,1上非負可測上非負可測,由定理由定理9有有例例1 求求解解:當當0 x0,使得使得 第22頁在在(-,+)上連續(xù)上連續(xù);2)例例4 設(shè)設(shè)f(t)在在(-,+)上上L可積可積,其富立葉變換為其富立葉變換為證證:1)2)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)證實證實 1)第23頁f(t)在在(-,+)上上L可積可積,所以有所以有L控制收斂定理有控制收斂定理有第24頁