一、三重積分概念一、三重積分概念 類(lèi)似二重積分處理問(wèn)題思想類(lèi)似二重積分處理問(wèn)題思想,采取采取 引例引例:設(shè)在設(shè)在空間有限閉區(qū)域空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻內(nèi)分布著某種不均勻物質(zhì)物質(zhì),求分布在求分布在 內(nèi)物質(zhì)內(nèi)物質(zhì)可得可得“大化小大化小,常代變常代變,近似和近似和,求極限求極限”處理方法處理方法:質(zhì)量質(zhì)量 M.密度函數(shù)為密度函數(shù)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)定義定義.設(shè)設(shè)存在存在,稱為稱為體積元素體積元素,若對(duì)若對(duì) 作作任意分割任意分割:任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在在 上三重積分上三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分性質(zhì)與二重積分相同三重積分性質(zhì)與二重積分相同.性質(zhì)性質(zhì):比如比如 以下以下“乘乘中值定理中值定理.在有界閉域在有界閉域 上連續(xù)上連續(xù),則存在則存在使得使得V 為為 體積體積,積和式積和式”極限極限記作記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)為底為底,d z 為高為高柱形薄片質(zhì)量柱形薄片質(zhì)量為為該物體質(zhì)量為該物體質(zhì)量為面密度面密度記作記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)該物體質(zhì)量為該物體質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元質(zhì)量為微元線密度記作先一先一后二后二為為XY-型型第4頁(yè)若若記作則則記作記作三重積分計(jì)算方法之一是用三重積分計(jì)算方法之一是用先一后二先一后二方法最終方法最終將它轉(zhuǎn)化為將它轉(zhuǎn)化為三次積分三次積分進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行計(jì)算.第5頁(yè)結(jié)論結(jié)論為為XY-型型為為YZ-型型為為XZ-型型第6頁(yè)注注(1)用先一后二法計(jì)算三重積分其關(guān)鍵是用先一后二法計(jì)算三重積分其關(guān)鍵是“頂是定積分上下限頂是定積分上下限”“圍是二重積分積分區(qū)域圍是二重積分積分區(qū)域”.(2)若若不是不是XY-型或型或YZ-型或型或XZ-型則需要將其分割型則需要將其分割.將將圍圍和和頂頂表示出來(lái)表示出來(lái)”“最終將三重積分轉(zhuǎn)化三次積分最終將三重積分轉(zhuǎn)化三次積分第7頁(yè)(3)對(duì)稱性對(duì)稱性設(shè)關(guān)于關(guān)于XOY面對(duì)稱面對(duì)稱,設(shè)上半面部分為設(shè)上半面部分為若若即函數(shù)關(guān)于即函數(shù)關(guān)于Z是偶函數(shù)是偶函數(shù),則則若若即函數(shù)關(guān)于即函數(shù)關(guān)于Z是奇函數(shù)是奇函數(shù),則則第8頁(yè)(3)對(duì)稱性對(duì)稱性設(shè)設(shè)關(guān)于關(guān)于XOZ面對(duì)稱面對(duì)稱,設(shè)右半面部分為設(shè)右半面部分為若若即函數(shù)關(guān)于即函數(shù)關(guān)于Y是偶函數(shù)是偶函數(shù),則則若若即函數(shù)關(guān)于即函數(shù)關(guān)于Y是奇函數(shù)是奇函數(shù),則則第9頁(yè)(3)對(duì)稱性對(duì)稱性設(shè)設(shè)關(guān)于關(guān)于YOZ面對(duì)稱面對(duì)稱,設(shè)前半面部分為設(shè)前半面部分為若若即函數(shù)關(guān)于即函數(shù)關(guān)于X是偶函數(shù)是偶函數(shù),則則若若即函數(shù)關(guān)于即函數(shù)關(guān)于X是奇函數(shù)是奇函數(shù),則則第10頁(yè)x0z yabcdz=gz=eNMP =a,b;c,d;e,gI=積分區(qū)域是長(zhǎng)方體積分區(qū)域是長(zhǎng)方體.D同理，也有其它同理，也有其它 積分次序積分次序1.1.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)第11頁(yè)x0z yz2(x,y)為圖示曲頂柱體為圖示曲頂柱體I=PNM.積分區(qū)域是曲頂柱體積分區(qū)域是曲頂柱體 Dz1(x,y)2.2.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)x0z yz2(x,y)I=D積分區(qū)域是曲頂柱體積分區(qū)域是曲頂柱體 為圖示曲頂柱體為圖示曲頂柱體這就化為一個(gè)定積分和這就化為一個(gè)定積分和這就化為一個(gè)定積分和這就化為一個(gè)定積分和一個(gè)二重積分運(yùn)算一個(gè)二重積分運(yùn)算一個(gè)二重積分運(yùn)算一個(gè)二重積分運(yùn)算z1(x,y)2.2.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)z=0y=0 x=00y x：平面平面 x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1 所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域 先畫(huà)圖先畫(huà)圖x0z y11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1 圍成圍成z=01.例例1.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分x+2y+z=1DxyI =機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為為XY-型型第14頁(yè)解解:是是XOZ型型,頂為頂為1圍為圍為注意到注意到 也也 是是XOZ型型,一樣一樣 也也 是是YOZ型型,怎樣計(jì)算怎樣計(jì)算第15頁(yè) ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域0y x6241 找出上頂、下底及投影區(qū)域找出上頂、下底及投影區(qū)域2 畫(huà)出投影區(qū)域圖畫(huà)出投影區(qū)域圖Dxy:y=0,3x+y=6,3x+2y=12 圍成圍成z=0不畫(huà)立體圖做三重積分不畫(huà)立體圖做三重積分Dxy.例例2.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3x+y=63x+2y=12x+y+z=66為為XY-型型第16頁(yè)666x+y+z=63x+y=62.例例2.x0z y ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 畫(huà)出立體圖做三重積分畫(huà)出立體圖做三重積分第17頁(yè)666x+y+z=63x+y=62.例例2x0z y ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2第19頁(yè)3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2第20頁(yè)z=0y=042x+y+z=6.x0z y666 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2第21頁(yè)42.x0z y666 ：平面平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12 和和 x+y+z =6所圍成區(qū)域所圍成區(qū)域.D0y x624D.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束.例例2第22頁(yè)0y x1 找出上頂、下底及投影區(qū)域找出上頂、下底及投影區(qū)域2 畫(huà)出投影區(qū)域圖畫(huà)出投影區(qū)域圖不畫(huà)立體圖做三重積分不畫(huà)立體圖做三重積分Dxy:z=0。Dxy當(dāng)當(dāng) f(x,y,z)=ycos(z+x),I=?。例例3.I=試計(jì)算：試計(jì)算：？機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)y2=xxyzo.例例3.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 畫(huà)出立體圖做三重積分畫(huà)出立體圖做三重積分第24頁(yè)y2=xxyzo.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.第25頁(yè)z=0y=0 xyzo。0y xy2=x.D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.第26頁(yè)Dxy:z=00y x11。Dxy例例4.4.雙曲拋物面雙曲拋物面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不畫(huà)立體圖做三重積分不畫(huà)立體圖做三重積分第27頁(yè)1x+y=1yozx1z=xy.例例4.4.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 畫(huà)出立體圖做三重積分畫(huà)出立體圖做三重積分第28頁(yè)z=01x+y=1ozx1yz=xy.例例4 4.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第29頁(yè)11z=0ozxx+y=1y 。z=xy.例例4 4.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第30頁(yè)Dxy:z=0440y x。Dxy例例5.5.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不畫(huà)立體圖做三重積分不畫(huà)立體圖做三重積分第31頁(yè)y14x+y=4x=0 xzo.例例5.5.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 畫(huà)出立體圖做三重積分畫(huà)出立體圖做三重積分第32頁(yè)y14x+y=4xzo1.例例5.5.取第一卦限部分取第一卦限部分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第33頁(yè)4x+y=4y=0 xyz.D.例例5.5.o1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第34頁(yè)Dxy:z=042。1-20y xDxy例例6.=機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不畫(huà)立體圖做三重積分不畫(huà)立體圖做三重積分第35頁(yè)例例6.y0 xz.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 畫(huà)出立體圖做三重積分畫(huà)出立體圖做三重積分第36頁(yè)例例6.24y0 xz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第37頁(yè)z=04.Dxy.例例6.y0 xz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第38頁(yè) 平面薄片質(zhì)量（若面密度為常數(shù)，質(zhì)量平面薄片質(zhì)量（若面密度為常數(shù)，質(zhì)量=面密度面密度面積）面積）有一個(gè)平面薄片有一個(gè)平面薄片,在在 xoy 平面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 D,計(jì)算該薄片質(zhì)量計(jì)算該薄片質(zhì)量 M.度為度為則則平面薄板平面薄板質(zhì)量質(zhì)量:其面密其面密 復(fù)習(xí)二重積分中復(fù)習(xí)二重積分中第39頁(yè)(二二).坐標(biāo)軸投影法坐標(biāo)軸投影法(“先二后一先二后一”)1:Z型區(qū)域型區(qū)域?qū)⑼队巴队癦軸得區(qū)間軸得區(qū)間對(duì)是一個(gè)平面區(qū)域是一個(gè)平面區(qū)域類(lèi)似能夠定義類(lèi)似能夠定義X 型區(qū)域型區(qū)域,Y型區(qū)域型區(qū)域過(guò)過(guò)z作平行于作平行于XOY平面截平面截稱為為Z型區(qū)域型區(qū)域Z型區(qū)域型區(qū)域表示為表示為注注：由由z不一樣所截平面區(qū)域可不一樣，所截平面區(qū)域與不一樣所截平面區(qū)域可不一樣，所截平面區(qū)域與z相關(guān)相關(guān)故記為故記為記為第40頁(yè)方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)為底為底,d z 為高柱形為高柱形薄片質(zhì)量薄片質(zhì)量為為該物體質(zhì)量為該物體質(zhì)量為面密度面密度記作記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Z型區(qū)域型區(qū)域第41頁(yè) x0z yc1c2z Dz先做二重積分，先做二重積分，后做定積分后做定積分方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)第42頁(yè) x0z yc1c2.先做二重積分，先做二重積分，后做定積分后做定積分zDz方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)第43頁(yè) x0z yc1c2 I=.先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分zDz方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)第44頁(yè)x0z yc1c2.先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分I=方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)第45頁(yè) x0yzbc例例7.計(jì)算計(jì)算aD0第46頁(yè) Dz.bc.=.例例7.計(jì)算計(jì)算x0yzD0a.z第47頁(yè)若若（）被積函數(shù)僅是（）被積函數(shù)僅是Z函數(shù)，函數(shù)，注注（）（）面積輕易計(jì)算面積輕易計(jì)算對(duì)對(duì)X型區(qū)域型區(qū)域,Y型區(qū)域有類(lèi)似結(jié)論型區(qū)域有類(lèi)似結(jié)論（）為（）為Z型區(qū)域，型區(qū)域，采取采取先二后一先二后一方法計(jì)算方法計(jì)算第48頁(yè)投影法投影法方法方法3.三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第49頁(yè)小結(jié)小結(jié):三重積分計(jì)算方法三重積分計(jì)算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次積分三次積分”詳細(xì)計(jì)算時(shí)應(yīng)依據(jù)詳細(xì)計(jì)算時(shí)應(yīng)依據(jù)三種方法三種方法(包含包含12種形式種形式)各有特點(diǎn)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域特點(diǎn)靈活選擇被積函數(shù)及積分域特點(diǎn)靈活選擇.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第50頁(yè)