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1、7.3.4 利用球面坐標計算三重積分利用球面坐標計算三重積分一、球面坐標一、球面坐標 M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r,)xyzo第1頁1M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r,)xyzo第2頁2r=常數，即以原點為心球面。常數，即以原點為心球面。=常數，即以原點為頂點、常數，即以原點為頂點、z軸為軸圓錐面。軸為軸圓錐面。=常數，即過常數，即過z軸半平面。軸半平面。zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r,)xyo第3頁3zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r,)xyo球面坐標下體積元素球面坐標下體積元素 第4頁4 為了把三重積分為了把三重積分中

2、變量從直角坐標變中變量從直角坐標變換為球面坐標，用三換為球面坐標，用三組坐標平面組坐標平面r=常數，常數，=常數，常數，=常數常數把積分區(qū)域把積分區(qū)域 分成許分成許多小閉區(qū)域。多小閉區(qū)域。考慮由考慮由r,各取得微小增量各取得微小增量dr,d,d 所所成六面體體積成六面體體積(如圖如圖)。不計高階無窮小，可把。不計高階無窮小，可把這個六面體看作長方形。這個六面體看作長方形。xyzo d rd drrd 第5頁5xyzo d rd rd 經線方向長為經線方向長為 rd,這就是球面坐標系中體積元素這就是球面坐標系中體積元素。緯線方向寬為緯線方向寬為 rsin d,于是，小六面體體積為于是，小六面體體

3、積為dr向徑方向高為向徑方向高為 dr。第6頁6二、二、三重積分球面坐標形式三重積分球面坐標形式 計算三重積分，普通是化為先計算三重積分，普通是化為先r，再，再，最終，最終 三次積分三次積分。第7頁7比如，半徑為比如，半徑為R球體體積球體體積第8頁8xyzo 第9頁9xyz1o 第10頁10 xyzo2第11頁11xyzo2第12頁12xyzo2第13頁13小結三重積分計算方法：小結三重積分計算方法：基本方法基本方法：化三重積分為三次積分計算?；胤e分為三次積分計算。關鍵步驟：關鍵步驟：(1)坐標系選取坐標系選取(2)積分次序選定（直角）積分次序選定（直角）(3)定出積分限定出積分限 第14頁14柱形體域柱形體域錐形體域錐形體域拋物體域拋物體域柱面坐標柱面坐標長方體長方體四面體四面體任意形體任意形體球面坐標球面坐標球形體域球形體域或其中一或其中一部分部分直角坐標直角坐標坐標系坐標系適用范圍適用范圍體積元素體積元素變量代換變量代換第15頁15