作作 業(yè)業(yè) 115頁頁 3,4,6,12,13第1頁第三節(jié)第三節(jié)一、三重積分概念一、三重積分概念 二、三重積分計(jì)算二、三重積分計(jì)算三重積分概念與計(jì)算三重積分概念與計(jì)算 第九章第九章 第2頁一、三重積分概念一、三重積分概念 類似二重積分處理問題思想類似二重積分處理問題思想,采取采取 引例引例:設(shè)在空間有界閉區(qū)域設(shè)在空間有界閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻內(nèi)分布著某種不均勻物質(zhì)物質(zhì),求分布在求分布在 內(nèi)物質(zhì)內(nèi)物質(zhì)可得可得“大化小大化小,常代變常代變,近似和近似和,求極限求極限”處理方法處理方法:質(zhì)量質(zhì)量 M.密度函數(shù)為密度函數(shù)為第3頁定義定義.設(shè)設(shè)存在存在,稱為稱為體積元素體積元素,若對若對 作作任意分割任意分割:任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在在 上上三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作在直角坐標(biāo)系下常寫作以下以下“乘積和式乘積和式”極極限限記作記作第4頁三重積分性質(zhì)三重積分性質(zhì)1.線性性質(zhì)、單調(diào)性、積分估值公式線性性質(zhì)、單調(diào)性、積分估值公式2.區(qū)域可加性區(qū)域可加性4.微元法微元法5.對稱奇偶性對稱奇偶性*6.中值定理中值定理.在有界閉域在有界閉域 上連續(xù)上連續(xù),則存在則存在使得使得V 為為 體積體積,第5頁二、三重積分計(jì)算二、三重積分計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)三次積分法三次積分法 第6頁方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)記作第7頁投影法投影法 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得把二重積分化成二次積分即得:適用范圍適用范圍:由平面圍成情況由平面圍成情況第8頁第9頁其中其中 為三個坐標(biāo)為三個坐標(biāo)例例.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分所圍成閉區(qū)域所圍成閉區(qū)域.解解:面及平面面及平面第10頁.計(jì)算計(jì)算 ,其中其中 由錐面由錐面及平面及平面 圍圍成成.解：解：例例2.2.第11頁化化 為三為三次積分，次積分，由曲面由曲面及平面及平面 圍成圍成.解：如圖解：如圖所以所以曲面與曲面與 xOy 坐標(biāo)面交于坐標(biāo)面交于 x 軸和軸和 y 軸軸.例例1.第12頁方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)第13頁尤其適合用于積分區(qū)域中一坐尤其適合用于積分區(qū)域中一坐標(biāo)范圍易取得，截面范圍易表標(biāo)范圍易取得，截面范圍易表示情況。示情況。第14頁其中其中 為三個坐標(biāo)為三個坐標(biāo)例例3.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分所圍成閉區(qū)域所圍成閉區(qū)域.面及平面面及平面為為 面上面上 軸，軸，解解:如圖，如圖，：軸和軸和 圍成等腰直角三圍成等腰直角三角形角形.所以所以 注：此題可用投影法求解注：此題可用投影法求解第15頁計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分其中其中是上半橢球體是上半橢球體 解：解：則則而而原式原式例例4.4.第16頁例例.計(jì)算三重積計(jì)算三重積分分解解:用用“先二后一先二后一”第17頁補(bǔ)充：三重積分對稱性：補(bǔ)充：三重積分對稱性：第18頁補(bǔ)充：三重積分對稱性：補(bǔ)充：三重積分對稱性：2 2、奇偶對稱性：、奇偶對稱性：第19頁解解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 奇函數(shù)奇函數(shù),球面關(guān)球面關(guān)于于xoyxoy面對稱面對稱第20頁解解第21頁第22頁第23頁1.將將用三次積分表示用三次積分表示,其中其中 由由所所提醒提醒:思索與練習(xí)思索與練習(xí)六個平面六個平面圍成圍成,第24頁3.設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算提醒提醒:利用對稱性利用對稱性原式原式=奇函數(shù)奇函數(shù)第25頁to be continueto be continue第26頁作作 業(yè)業(yè) 115頁頁 3,4,6,12,13第27頁換元法換元法三重積分也有類似二重積分三重積分也有類似二重積分換元積分公式換元積分公式:體積元素體積元素一一對應(yīng)一一對應(yīng)雅可比行列式雅可比行列式第28頁2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)就稱為點(diǎn)M 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)關(guān)系直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)關(guān)系:第29頁圓柱面圓柱面第30頁平面平面半平面半平面第31頁第32頁圓柱面圓柱面半平面半平面平面平面第33頁在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下第34頁若若從小到大從小到大邊界到邊界邊界到邊界則有則有在投影區(qū)域上做極坐標(biāo)變換在投影區(qū)域上做極坐標(biāo)變換第35頁例例.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分解解:在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下所圍成所圍成.與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面原式原式=第36頁4.計(jì)算計(jì)算其中其中解解:利用對稱性利用對稱性第37頁3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 就稱為點(diǎn)就稱為點(diǎn)M 球坐標(biāo)球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系第38頁球面球面半平面半平面錐面錐面第39頁在球面坐標(biāo)系中在球面坐標(biāo)系中從小到大，從邊界到邊界。從小到大，從邊界到邊界。體積元素為體積元素為化為三次積分，化為三次積分，第40頁求求 體積，體積，解：解：球面方程為球面方程為在球坐標(biāo)系下方程為在球坐標(biāo)系下方程為所以所以例例6.6.第41頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域積分區(qū)域多由坐標(biāo)面多由坐標(biāo)面被積函數(shù)被積函數(shù)形式簡練形式簡練,或或坐標(biāo)系坐標(biāo)系 體積元素體積元素 適用情況適用情況直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明說明:三重積分也有類似二重積分三重積分也有類似二重積分換元積分公式換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離變量可分離.圍成圍成;第42頁xzOy圖 2-3 222 計(jì)計(jì)算算，其中，其中為為雙曲面雙曲面，錐錐面面及柱面及柱面圍圍成成思索與練習(xí)思索與練習(xí)第43頁3.設(shè)設(shè) 由錐面由錐面和球面和球面所圍成所圍成,計(jì)算計(jì)算提醒提醒:利用對稱性利用對稱性用球坐標(biāo)用球坐標(biāo) 第44頁,其中其中 由錐面由錐面平面平面 圍成圍成.解法：用投影法解法：用投影法.計(jì)算計(jì)算第45頁例例5.計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分解解:在球面坐標(biāo)系下在球面坐標(biāo)系下所圍立體所圍立體.其中其中 與球面與球面第46頁例例6.求曲面求曲面所圍立體體積所圍立體體積.解解:由曲面方程可知由曲面方程可知,立體位于立體位于xoy面上部面上部,立體體積為立體體積為yoz面對稱面對稱,并與并與xoy面相切面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體故在球坐標(biāo)系下所圍立體且關(guān)于且關(guān)于 xoz 第47頁The End第48頁