二、三重積分計(jì)算基本方法二、三重積分計(jì)算基本方法1.選擇適當(dāng)坐標(biāo)系選擇適當(dāng)坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面使積分域多為坐標(biāo)面(線線)圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)練或變量分離被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)練或變量分離.2.選擇易計(jì)算積分序選擇易計(jì)算積分序積分域分塊要少積分域分塊要少,累次積分易算為妙累次積分易算為妙.圖示法圖示法列不等式法列不等式法3.掌握確定積分限方法掌握確定積分限方法 累次積分法累次積分法第1頁(yè)把積分把積分化為三次積分化為三次積分,其中其中 由曲面由曲面提醒提醒:積分域?yàn)榉e分域?yàn)樵皆郊捌矫婕捌矫嫠鶉砷]區(qū)域所圍成閉區(qū)域.P183 題題7練習(xí)題練習(xí)題第2頁(yè) 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分其中其中 是由是由 xoy平面上曲線平面上曲線所圍成閉區(qū)域所圍成閉區(qū)域.提醒提醒:利用柱坐標(biāo)利用柱坐標(biāo)原式原式繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成曲面與平面軸旋轉(zhuǎn)而成曲面與平面P183 題題8(3)第3頁(yè)三重積分計(jì)算基本技巧三重積分計(jì)算基本技巧分塊積分法分塊積分法利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性1.交換積分次序方法交換積分次序方法2.利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)1.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱性積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱性.2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)變量奇被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)變量奇偶性偶性.只有當(dāng)積分區(qū)域和被積函數(shù)對(duì)稱性只有當(dāng)積分區(qū)域和被積函數(shù)對(duì)稱性相匹配相匹配時(shí)時(shí),才才能簡(jiǎn)化能簡(jiǎn)化.利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化三重積分計(jì)算：利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化三重積分計(jì)算：第4頁(yè)其它情形依這類(lèi)推其它情形依這類(lèi)推.三重積分計(jì)算簡(jiǎn)化三重積分計(jì)算簡(jiǎn)化第5頁(yè)P(yáng)182 題題1(1)設(shè)有空間閉區(qū)域設(shè)有空間閉區(qū)域 則有（則有（）第6頁(yè)例例1 解解經(jīng)典例題經(jīng)典例題第7頁(yè) 例例2 解解利用球面坐標(biāo)利用球面坐標(biāo)第8頁(yè)例例3 解解 在球坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得得其中其中 第9頁(yè)第四節(jié)一、立體體積一、立體體積 三、物體質(zhì)心三、物體質(zhì)心 重積分應(yīng)用 第十章 四、物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 二、曲面面積二、曲面面積 五、物體引力五、物體引力 第10頁(yè)二重積分元素法二重積分元素法將定積分元素法推廣到二重積分，可得二重積分元素法：若要計(jì)算某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D含有可加性：而且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小閉區(qū)域d時(shí)，對(duì)應(yīng)地部分量可近似地表示為f(x,y)d形式，其中(x,y)在d內(nèi)。f(x,y)d稱為所求量U元素，記為dU，則所求量積分表示式為：（即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U對(duì)應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和），第11頁(yè)一、立體體積一、立體體積 第12頁(yè)一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域空間有界域 立體體積為第13頁(yè)任一點(diǎn)切平面與曲面所圍立體體積 V.例例1.求曲面分析分析:第一步:求切平面 方程;第二步:求 與S2交線 在xOy面上投影,寫(xiě)出所圍區(qū)域 D;第三步:求體積V.(示意圖)第14頁(yè)任一點(diǎn)切平面與曲面所圍立體體積 V.解解:曲面切平面方程為它與曲面交線在 xOy 面上投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例例1 1.求曲面第15頁(yè)例例2.求半徑為a 球面與半頂角為 內(nèi)接錐面所圍成立體體積.解解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為第16頁(yè)二、曲面面積二、曲面面積 第17頁(yè)曲面方程：D:有界閉區(qū)域求曲面面積 A第18頁(yè)設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面面積 d A 無(wú)限積累而成.設(shè)它在 D 上投影為 d,(稱為面積元素)則(見(jiàn)P99)第19頁(yè)故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即第20頁(yè)若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有且第21頁(yè)曲曲面面面面積積其中其中D是曲面在坐標(biāo)面是曲面在坐標(biāo)面z=0上投影區(qū)域上投影區(qū)域求曲面面積步驟：求曲面面積步驟：（1）求曲面在坐標(biāo)面）求曲面在坐標(biāo)面z=0上投影區(qū)域上投影區(qū)域D（2）在區(qū)域）在區(qū)域D上計(jì)算二重積分：上計(jì)算二重積分：第22頁(yè)同理可得同理可得設(shè)曲面方程為：設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：曲面面積公式為：設(shè)曲面方程為：設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：曲面面積公式為：第23頁(yè)例例3求球面求球面 被平面被平面所截球冠面積。所截球冠面積。解：解：球冠在球冠在 xoy 面上面上投影區(qū)域：投影區(qū)域：第24頁(yè)第25頁(yè)第26頁(yè)半球面面積：半球面面積：球面面積：球面面積：第27頁(yè)例例4 求圓錐面求圓錐面 被圓柱面被圓柱面 所截部分面積。所截部分面積。投影區(qū)域：投影區(qū)域：所求曲面：所求曲面：第28頁(yè)作業(yè)作業(yè)P155 10 P175 1，2，3習(xí)題課 第29頁(yè)三、物體質(zhì)心三、物體質(zhì)心 第30頁(yè)三、物體質(zhì)心三、物體質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù)則 公式,分別位于為為即:采取“分割，近似，求和，取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心 第31頁(yè)將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)比如,令各小區(qū)域最大直徑系質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體質(zhì)心坐標(biāo).質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)第32頁(yè)同理可得則得形心坐標(biāo)：第33頁(yè)若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 平面薄片,(A 為 D 面積)得D 形心坐標(biāo):則它質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度 對(duì) x 軸 靜矩 對(duì) y 軸 靜矩第34頁(yè)例例5.求位于兩圓和質(zhì)心（形心）。解解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片第35頁(yè) z=0yxzo 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)a.用哪種坐標(biāo)？用哪種坐標(biāo)？例例6.第36頁(yè)四、物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 第37頁(yè)設(shè)平面有設(shè)平面有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)該質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量該質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第第k個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量質(zhì)量xoy第38頁(yè)平面薄片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面薄片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量The Moment of Inertia of a Lamina第39頁(yè)假如物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示式是二重積分.第40頁(yè)例例7.求半徑為 a 均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.第41頁(yè)空間有界閉區(qū)域上物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,有連續(xù)分布密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處微元 所以物體 對(duì) z 軸 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì) z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 第42頁(yè)類(lèi)似可得:對(duì) x 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第43頁(yè)解解:取球心為原點(diǎn),z 軸為 l 軸,則球體質(zhì)量例例8.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心一條軸 l 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo))第44頁(yè)五、物體引力五、物體引力 第45頁(yè),G 為引力常數(shù)五、物體引力五、物體引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中第46頁(yè)若求 xOy 面上平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)引力分量,所以引力分量為 則上式改為D上二重積分,密度函數(shù)改為 即可.比如,其中:第47頁(yè)例例9.設(shè)面密度為,半徑為R圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解解:由對(duì)稱性知引力處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)引力.。第48頁(yè)例例10.求半徑為R均勻球?qū)ξ挥趩挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)引力.解解:利用對(duì)稱性知引力分量點(diǎn)第49頁(yè)為球質(zhì)量第50頁(yè)作業(yè)作業(yè)P175 5，7（1,3），11，14習(xí)題課 第51頁(yè)1.能用重積分處理實(shí)際問(wèn)題能用重積分處理實(shí)際問(wèn)題特點(diǎn)特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域含有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上整體量 3.解題解題關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn) 畫(huà)出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 2.用重積分處理問(wèn)題用重積分處理問(wèn)題方法方法 第52頁(yè)