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1、數(shù) 列 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 第四節(jié) 數(shù)列求和 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用,目 錄,數(shù) 列,知識(shí)能否憶起 1數(shù)列的定義、分類與通項(xiàng)公式 (1)數(shù)列的定義： 數(shù)列：按照 排列的一列數(shù) 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的 ,一定順序,每一個(gè)數(shù),(2)數(shù)列的分類：,有限,無(wú)限,(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式： 如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與 之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 2數(shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列an的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且 與它的 (n2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫數(shù)列的遞推公式,任一項(xiàng)an,序號(hào)n

2、,前一項(xiàng)an1,答案：B,小題能否全取,2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為 () A15 B16 C49 D64 解析：a8S8S7644915.,答案：A,答案：A,A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列 C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列,解析：a4a3233(235)54. 答案：54,1.對(duì)數(shù)列概念的理解 (1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無(wú)序性因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列 (2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別 2數(shù)列的函數(shù)特征

3、 數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即f(n)an(nN*),答案C,1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1)n1來(lái)調(diào)整 2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想,由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an,(1)Sn2n23n；,(2)Sn3n1.,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過(guò)程分為三步： (1)先利用a1S

4、1求出a1； (2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式； (3)對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來(lái)寫(xiě),答案：D,例3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann221n20. (1)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值； (2)n為何值時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和最??？,數(shù)列的性質(zhì),1數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法 根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)anf(n)，利用求解函數(shù)最值的方法求解，但要注意自變量的取值 2前n項(xiàng)和最值的求法 (1)先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

5、，根據(jù)Sn的表達(dá)式求解最值； (2)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若am0，且am10，則Sm最小，這樣便可直接利用各項(xiàng)的符號(hào)確定最值.,答案：C,遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接，下面介紹由遞推公式求通項(xiàng)公式的幾種方法,1累加法 典例1(2011四川高考)數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nN*)若b32，b1012，則a8() A0B3 C8 D11 解析由已知得bn2n8，an1an2n8，所以a2a16，a3a24，a8a76，由累加法得a8a16(4)(2)02460，所以a8a13. 答

6、案B,(1)求a2，a3； (2)求an的通項(xiàng)公式,2累乘法,3構(gòu)造新數(shù)列 典例3已知數(shù)列an滿足a11，an13an2；則an_.,答案23n11,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,答案：C,答案： B,答案： C,知識(shí)能否憶起,第2項(xiàng),差,an1and,一、等差數(shù)列的有關(guān)概念,等差中項(xiàng),a1(n1)d,二、等差數(shù)列的有關(guān)公式,三、等差數(shù)列的性質(zhì) 1若m，n，p，qN*，且mnpq，an為等差數(shù)列，則amanapaq. 2在等差數(shù)列an中，ak，a2k，a3k，a4k，仍為等差數(shù)列，公差為kd. 3若an為等差數(shù)列，則Sn，S2nSn，S3nS2n，仍為等差數(shù)列，公差為n2d.,4等差數(shù)列的

7、增減性：d0時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)a10時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值,小題能否全取 1(2013福建高考)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則 數(shù)列an的公差為 (),答案：B,答案：D,答案：B,A58 B88 C143 D176,答案：2n1,1.與前n項(xiàng)和有關(guān)的三類問(wèn)題 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三個(gè)，即可求得其余兩個(gè)，這體現(xiàn)了方程思想,(3)利用二次函數(shù)的圖象確定Sn的最值時(shí)，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定是最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定是最小值,2設(shè)元與解題的技巧 已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元，若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a2d，ad，a，

8、ad，a2d，； 若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元,例1 在數(shù)列an中，a13，an2an12n3(n2，且nN*) (1)求a2，a3的值；,等差數(shù)列的判斷與證明,自主解答(1)a13，an2an12n3(n2，且nN*)，a22a12231，a32a223313.,1證明an為等差數(shù)列的方法： (1)用定義證明：anan1d(d為常數(shù)，n2)an為等差數(shù)列； (2)用等差中項(xiàng)證明：2an1anan2an為等差數(shù)列； (3)通項(xiàng)法：an為n的一次函數(shù)an為等差數(shù)列；,2用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子an1a

9、nd和anan1d，但它們的意義不同，后者必須加上“n2”，否則n1時(shí)，a0無(wú)定義,1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a1 2，a22，S36. (1)求Sn； (2)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列,解：(1)設(shè)SnAn2BnC(A0)，,例2(2012重慶高考)已知an為等差數(shù)列，且a1a38，a2a412. (1)求an的通項(xiàng)公式； (2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，ak，Sk2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值,等差數(shù)列的基本運(yùn)算,2數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法,答案：(1)44(2)6,答案(1

10、)B(2)A,1等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問(wèn)題 2應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,A6 B7 C8 D9,(2)(2013海淀期末)若數(shù)列an滿足：a119，an1an 3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值 為 (),“題型技法點(diǎn)撥快得分”系列之（六） 特值法解等差數(shù)列問(wèn)題,答案n,2特殊值法在解一些選擇題和填空題中經(jīng)常用到，就是通過(guò)取一些特殊值、特殊點(diǎn)、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖形等來(lái)求解或否定問(wèn)題的目的；用特殊值法解題時(shí)要注意，所選

11、取的特例一定要簡(jiǎn)單，且符合題設(shè)條件,答案：C,解析：法一：a2a11a1a14，a12，a9a81a8a12a4a14a2a118. 法二：a2a11a1a14，a12，令pn，q1，所以an1ana1，即an1an2，an是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公差為2，故a92(91)218.,答案：B,法二：令n1，只有B項(xiàng)符合,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由,2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a2a4 14，S770. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,所以an3n2.,(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)，使Cn

12、1Cn是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條件的，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,知識(shí)能否憶起,2,同一個(gè)常數(shù),公比,1等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：,G,a1qn1,2等比數(shù)列的有關(guān)公式,(1)通項(xiàng)公式：an .,(2)等比中項(xiàng)：,3等比數(shù)列an的常用性質(zhì) (1)在等比數(shù)列an中，若mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，則amanapaqa. 特別地，a1ana2an1a3an2. (2)在公比為q的等比數(shù)列an中，數(shù)列am，amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列，公比為 ； 數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比數(shù)列(此時(shí)q1)； anamqnm.,qk,小題能否全取 1(教材習(xí)題改編)等比

13、數(shù)列an中，a44，則a2a6等于 (),答案：C,答案：C,答案：A,A64 B81 C128 D243,1.等比數(shù)列的特征 (1)從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù) (2)由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10. 2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn (1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是用錯(cuò)位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用 (2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤,例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSnn. (1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列； (2)求數(shù)

14、列an的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的判定與證明,等比數(shù)列的判定方法,(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列； (2)求an的通項(xiàng)公式,例2 (2011全國(guó)高考)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.,等比數(shù)列的基本運(yùn)算,1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解 2在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式,2(2013山西適應(yīng)性訓(xùn)練)已知數(shù)列an是公差不為零的 等差數(shù)列，a12，且a2，a4，a8成等比數(shù)列

15、(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列3an的前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì),例3(1)(2012威海模擬)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a3a4a53，則sin(log3a1log3a2log3a7)的值為 (),(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S312，則S9S3等于 () A12 B23 C34 D13,答案(1)B(2)C,等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握，同時(shí)也有利于類比思想的推廣對(duì)于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算

16、，若能關(guān)注通項(xiàng)公式anf(n)的下標(biāo)n的大小關(guān)系，可簡(jiǎn)化題目的運(yùn)算,3(1)(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)已知an為等比數(shù)列，a4 a72，a5a68，則a1a10() A7B5 C5 D7,答案(1)D (2)C,典例設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn0(n1,2,3，)則q的取值范圍為_(kāi),答案(1,0)(0，),教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,1(2012大綱全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和 為Sn，a11，Sn2an1，則Sn (),答案：B,2等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等 差數(shù)列 (1)求an的公比q； (2)若a1a33，求Sn.,3已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1

17、1，公差d0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、 第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng) (1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；,知識(shí)能否憶起,一、公式法 1如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q1或q1.,2一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： (1)1234n； (2)13572n1 ； (3)24682n .,n2,n2n,二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法 1倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列an，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的 2分組轉(zhuǎn)化求和

18、法 若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減,3錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的 4裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和,小題能否全取 1(2012沈陽(yáng)六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列(1)n的前n項(xiàng)和為Sn， 則對(duì)任意正整數(shù)n，Sn(),答案：D,答案：C,A120 B70 C75 D100,3數(shù)列a12，ak2k，a1020共有十項(xiàng)，且 其和為240，則a1aka10的值

19、為 () A31 B120 C130 D185,答案：C,4若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為_(kāi),答案：2n1n22,數(shù)列求和的方法 (1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和 (2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路： 轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成 不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和,例1(2011山東高考)等比數(shù)列an中，a1，a2，a3

20、分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.,分組轉(zhuǎn)化法求和,第一列,第二列,第三列,第一行,3,2,10,第二行,6,4,14,第三行,9,8,18,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和S2n.,自主解答(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意； 當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意； 當(dāng)a110時(shí)，不合題意 因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n1.,分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型,(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和,1已

21、知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nN*， p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求： (1)p，q的值； (2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式,解：(1)由x13，得2pq3，又因?yàn)閤424p4q， x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q， 解得p1，q1.,例2 (2012江西高考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkcnk(其中c，k為常數(shù))，且a24，a68a3. (1)求an； (2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.,錯(cuò)位相減法求和,用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意： (1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形； (2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特

22、別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式 (3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解,2(2012濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且 滿足Sn3nk. (1)求k的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解：(1)當(dāng)n2時(shí)，由anSnSn13nk3n1k23n1，得等比數(shù)列an的公比q3，首項(xiàng)為2. a1S13k2，k1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an23n1.,裂項(xiàng)相消法求和,例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Snnann(n1)(nN*) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,自主解答(1)Snnann(n1)，當(dāng)n2時(shí)， S

23、n1(n1)an1(n1)(n2)， anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)， 即anan12. 數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列， 故an1(n1)22n1，nN*.,利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意 (1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；,3(2012“江南十?！甭?lián)考)在等比數(shù)列an中，a10， nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中項(xiàng)為16. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意可得a316， a3a28，則a28，q2. an2n1.,數(shù)列求和是高考的重點(diǎn)，題型以解答題為主，主要考查等差、

24、等比數(shù)列的求和公式，錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)相消求和；數(shù)列求和常與函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系在一起，考查內(nèi)容較為全面，在考查基本運(yùn)算、基本能力的基礎(chǔ)上又注重考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,“大題規(guī)范解答得全分”系列之(五) 利用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和的答題模板,課件演示更豐富，見(jiàn)配套光盤(pán),超鏈接,(1)確定常數(shù)k，求an；,教你快速規(guī)范審題,1審條件，挖解題信息,2審結(jié)論，明解題方向,3建聯(lián)系，找解題突破口,1審條件，挖解題信息,2審結(jié)論，明解題方向,3建聯(lián)系，找解題突破口,教你準(zhǔn)確規(guī)范解題,常見(jiàn)失分探因,錯(cuò)位相減時(shí)，易漏項(xiàng)或求錯(cuò)項(xiàng)數(shù).,利用anSnSn1時(shí)，易忽視條件n2，即不驗(yàn)證a1 是否適合an

25、.,教你一個(gè)萬(wàn)能模板,利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般可用以下幾步解答：,將數(shù)列cn寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)列的積的形式cnanbn，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列,寫(xiě)出數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sna1b1a2b2anbn,第三步：Sna1b1a2b2anbn的兩邊同乘以公比q，得qSnqa1b1qa2b2qanbn,兩式錯(cuò)位相減得(q1)Sn,等式兩邊同時(shí)除以q1，得Sn,反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.如本題錯(cuò)位相減時(shí)，是否有漏項(xiàng),教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,1已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11， 且a1，a3，a9成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)； (2)求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和S

26、n.,(1)求an的通項(xiàng)公式和Sn；,3已知二次函數(shù)f(x)x25x10，當(dāng)x(n，n1 (nN*)時(shí)，把f(x)在此區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值的個(gè)數(shù)表示為an. (1)求a1和a2的值； (2)求n3時(shí)an的表達(dá)式；,(2)當(dāng)n3時(shí)，f(x)是增函數(shù)，故anf(n1)f(n)2n4.,知識(shí)能否憶起 1數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，其解題的基本步驟，可用圖表示如下：,2數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比 (3)遞推數(shù)列模型

27、：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是前n項(xiàng)和Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系,小題能否全取 1某學(xué)校高一、高二、高三共計(jì)2 460名學(xué)生，三個(gè)年級(jí) 的學(xué)生人數(shù)剛好成等差數(shù)列，則該校高二年級(jí)的人數(shù)是 () A800B820 C840 D860,答案：B,2(教材習(xí)題改編)有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在 每秒鐘殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒(假設(shè)病毒不繁殖)，問(wèn)細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要 () A6秒鐘 B7秒鐘 C8秒鐘 D9秒鐘,答案：B,3數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)

28、列，且a6b7，則有 () Aa3a9b4b10Ba3a9b4b10 Ca3a9b4b10 Da3a9與b4b10的大小不確定,答案：B,答案：9,5設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為xn，xn_，令anlg xn，則a1a2a99的值為_(kāi),1.對(duì)等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)要有深刻的理解，有些數(shù)列題目條件已指明是等差(或等比)數(shù)列，有的數(shù)列并沒(méi)有指明，但可以通過(guò)分析構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題 2數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見(jiàn)的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，與

29、函數(shù)、方程、不等式、三角等內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，在實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對(duì)能力要求的進(jìn)一步提高，這一部分內(nèi)容也將受到越來(lái)越多的關(guān)注,例1在等比數(shù)列an(nN*)中，a11，公比q0，設(shè)bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50. (1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列； (2)求bn的前n項(xiàng)和Sn及an的通項(xiàng)an.,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題,試比較(2)求出的Sn與an的大小,解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來(lái)單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過(guò)運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把

30、兩個(gè)數(shù)列分割開(kāi)，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解,1(2012河南調(diào)研)已知an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù) 列，且滿足a3a655，a2a716. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意知d0， 由a2a716，得2a17d16， 由a3a655，得(a12d)(a15d)55， 由得2a1167d，將其代入得(163d)(163d)220，即2569d2220.d24，又d0， d2，代入得a11， an1(n1)22n1.,例2(2011湖南高考改編)某企業(yè)在第1年初購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少?gòu)牡?年到第6年，每年初M

31、的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.則第n年初M的價(jià)值an_.,等差數(shù)列與等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,1數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的解題策略 解等差、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，首先要認(rèn)真審題，深刻理解問(wèn)題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的等差、等比數(shù)列問(wèn)題，然后求解 2處理分期付款問(wèn)題的注意事項(xiàng) (1)準(zhǔn)確計(jì)算出在貸款全部付清時(shí)，各期所付款額及利息(注：最后一次付款沒(méi)有利息) (2)明確各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款時(shí)所生的利息之和等于商品售價(jià)及從購(gòu)買(mǎi)到最后一次付款時(shí)的利息之和，只有掌握了這一點(diǎn)，才可以順利建立等量關(guān)系,(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為

32、第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？,數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用,(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)xn的前n項(xiàng)和為Sn，求sin Sn.,數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類： (1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題； (2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形另外，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見(jiàn)解法有助于該類問(wèn)題的解決,3.

33、設(shè)數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知a1 1，d2，,探索性問(wèn)題是一種具有開(kāi)放性和發(fā)散性的問(wèn)題，此類題目的條件或結(jié)論不完備，要求考生自己去探索，結(jié)合已知條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括它對(duì)考生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求這類問(wèn)題不僅考查考生的探索能力，而且給考生提供了創(chuàng)新思維的空間，所以備受高考的青睞，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容探索性問(wèn)題一般可以分為：條件探索性問(wèn)題、規(guī)律探索性問(wèn)題、結(jié)論探索性問(wèn)題、存在探索性問(wèn)題等,(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且am1，as1，an1成等比數(shù)列？如果存在，請(qǐng)給以證明；如果

34、不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,題后悟道本題屬于存在探索性問(wèn)題，處理這種問(wèn)題的一般方法是：假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用,解決數(shù)列探索性問(wèn)題基本方法： (1)對(duì)于條件開(kāi)放的探索性問(wèn)題，往往采用分析法，從結(jié)論和部分已知條件入手，執(zhí)果索因，導(dǎo)出所需的條件 (2)對(duì)于結(jié)論探索性問(wèn)題，需要先得出一個(gè)結(jié)論，再進(jìn)行證明注意含有兩個(gè)變量的問(wèn)題，變量歸一是常用的解題思想，一般把其中的一個(gè)變量轉(zhuǎn)化為另一個(gè)變量，根據(jù)題目條件，確定變量的值數(shù)列中大小關(guān)系的探索問(wèn)題可以采用構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的

35、單調(diào)性進(jìn)行證明，這是解決復(fù)雜問(wèn)題常用的方法 (3)處理規(guī)律探索性問(wèn)題，應(yīng)充分利用已知條件，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)透徹分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、猜想結(jié)論,已知數(shù)列an中，a11，且點(diǎn)P(an，an1)(nN*)在直線xy10上 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn ，Sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的關(guān)系式g(n)，使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫(xiě)出g(n)的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由,解：(1)由點(diǎn)P(an，an1)在直線xy10上，即an1an1， 且a11，即數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

36、 則an1(n1)1n(nN*), 2S2S1S11. 以上(n1)個(gè)等式等號(hào)兩端分別相加得 nSnS1S1S2S3Sn1n1， 即S1S2S3Sn1nSnnn(Sn1)，n2. 令g(n)n，故存在關(guān)于n的關(guān)系式g(n)n，使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立,教師備選題（給有能力的學(xué)生加餐）,1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn5an 85，nN*. (1)證明：an1是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式請(qǐng)指出n為何值時(shí)，Sn取得最小值，并說(shuō)明理由,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列； (3)若cnanbn，求證：cn1cn.,3(2012廣州調(diào)研)已知數(shù)列an中，a11，a23，且an1 an2an1(n2) (1)設(shè)bnan1an，是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列bn為等比數(shù)列若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.,