《高三數(shù)學(xué)人教版a版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：8.8 曲線與方程 word版含答案 .doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)人教版a版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：8.8 曲線與方程 word版含答案 .doc-匯文網(wǎng)（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié)曲線與方程軌跡與軌跡方程了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)曲線與方程1曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么這個(gè)方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線2求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合PM|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0為最簡(jiǎn)形式(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲

2、線上3曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y)0，則C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的實(shí)數(shù)解若此方程組無(wú)解，則兩曲線無(wú)交點(diǎn)易誤提醒(1)曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，前者指曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)(2)求軌跡方程時(shí)易忽視軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響自測(cè)練習(xí)1方程(a1)xy2a10(aR)所表示的直線()A恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)B恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)C恒過(guò)點(diǎn)(2,3)和點(diǎn)(2,3)D都是平行直線解析：把點(diǎn)(2,3)和點(diǎn)(2,3)的坐標(biāo)代入方程(a1)xy2a10.驗(yàn)證知(2,3)適合方程，而(2,3)不一

3、定適合方程，故選A.答案：A2平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)解析：，由，得0，即2x0，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y28x.答案：y28x3已知圓的方程為x2y24，若拋物線過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是_解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B，O作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，OO1，則|AA1|BB1|2|OO1|4，由拋物線定義得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(去掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))答案：1(y0)考點(diǎn)一直接法求軌跡方程|1(2016津南一模)平面直角坐標(biāo)系中，

4、已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(1,3)，若點(diǎn)C滿足12(O為原點(diǎn))，其中1，2R，且121，則點(diǎn)C的軌跡是()A直線B橢圓C圓 D雙曲線解析：設(shè)C(x，y)，因?yàn)?2，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以點(diǎn)C的軌跡為直線，故選A.答案：A2(2016南昌模擬)方程(x2y22x)0表示的曲線是()A一個(gè)圓和一條直線 B一個(gè)圓和一條射線C一個(gè)圓 D一條直線解析：本題考查曲線與方程、數(shù)形結(jié)合思想依題意，題中的方程等價(jià)于xy30或注意到圓x2y22x0上的點(diǎn)均位于直線xy30的左下方區(qū)域，即圓x2y22x0上的點(diǎn)均不滿足xy30，不表示任何圖形，因此題中的方程

5、表示的曲線是直線xy30，故選D.答案：D3在直角坐標(biāo)平面xOy中，過(guò)定點(diǎn)(0,1)的直線l與圓x2y24交于A，B兩點(diǎn)若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，M.又因?yàn)镺MAB，的方向向量為，所以0，x2y(y2)0，即x2(y1)21.答案：x2(y1)21直接法求軌跡方程的常見(jiàn)類型(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程可直接代入即可得出方程(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程考點(diǎn)二定義法求軌跡方程|已知點(diǎn)F(1,0)，圓E：(x1)2y28，點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌

6、跡的方程；(2)若直線l與圓O：x2y21相切，并與(1)中軌跡交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)，且滿足時(shí)，求AOB面積S的取值范圍解(1)連接QF(圖略)|QE|QF|QE|QP|PE|2(2|EF|2)，點(diǎn)Q的軌跡是以E(1,0)，F(xiàn)(1,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a2的橢圓，即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程為y21.(2)依題結(jié)合圖形(圖略)知直線l的斜率不可能為零，所以設(shè)直線l的方程為xmyn(mR)直線l即xmyn0與圓O：x2y21相切，1，得n2m21.又點(diǎn)A，B的坐標(biāo)(x1，y1)，(x2，y2)滿足：消去x并整理，得(m22)y22mnyn220.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2，y1y2.其

7、判別式4m2n24(m22)(n22)8(m2n22)8，又由求根公式得y1,2.x1x2y1y2(my1n)(my2n)y1y2(m21)y1y2mn(y1y2)n2.SAOB|sin AOB |x1y2x2y1|(my1n)y2(my2n)y1|n(y2y1)|n|1，且，SAOB.定義法求軌跡方程的思路(1)運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出方程(2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知軌跡是什么曲線，其方程是什么形式的方程的情況利用條件把待定系數(shù)求出來(lái)，使問(wèn)題得解1已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F(0,2)，且與定直線l：y2相切(1)求動(dòng)圓圓心的

8、軌跡C的方程；(2)若AB是軌跡C的動(dòng)弦，且AB過(guò)點(diǎn)F(0,2)，分別以A，B為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，求證：AQBQ.解：(1)依題意，圓心的軌跡是以F(0,2)為焦點(diǎn)，l：y2為準(zhǔn)線的拋物線，因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于4，所以圓心的軌跡方程是x28y.(2)證明：因?yàn)橹本€AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得x28kx160.所以x1x28k，x1x216.拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx.所以過(guò)拋物線上A，B兩點(diǎn)的切線斜率分別是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.所以AQBQ.考點(diǎn)三代入法求軌跡方程|在圓O：x2y

9、24上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足設(shè)M為線段PD的中點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)若圓O在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)N，試判斷直線MN與軌跡E的位置關(guān)系解(1)設(shè)M(x，y)，則P(x,2y)點(diǎn)P在圓x2y24上，x2(2y)24，即點(diǎn)M的軌跡E的方程為y21.(2)當(dāng)直線PN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x2或x2.顯然與軌跡E相切當(dāng)直線PN的斜率存在時(shí)，設(shè)PN的方程為ykxt(k0)直線PN與圓O相切，2，即t24k240.又直線MN的斜率為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為y，即y(kxt)由得(1k2)x22ktxt240.(2kt)24(1

10、k2)(t24)4(t24k24)0，直線MN與軌跡E相切綜上可知，直線MN與軌跡E相切代入法求軌跡方程的四個(gè)步驟(1)設(shè)出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)P(x，y)(2)尋求與所求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q(x，y)的關(guān)系(3)建立P，Q兩坐標(biāo)的關(guān)系表示出x，y.(4)將x，y代入已知曲線方程中化簡(jiǎn)求解2已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則PF1F2的重心G的軌跡方程為()A.1(y0)B.y21(y0)C.3y21(y0)Dx21(y0)解析：依題意知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)P(x0，y0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標(biāo)關(guān)系可得即代入1得重心G的軌跡方程為3y

11、21(y0)答案：C27.分類討論思想在由方程討論曲線類型中的應(yīng)用【典例】已知兩個(gè)定點(diǎn)A1(2,0)，A2(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足直線MA1與MA2的斜率之積是定值(m0)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并指出隨m變化時(shí)方程所表示的曲線C的形狀思路點(diǎn)撥依題直接寫出方程后，結(jié)合方程結(jié)構(gòu)特征分類判斷曲線類型，注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定解設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，依題意有(m0)，整理得1(x2)，即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程當(dāng)m0時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m(4,0)時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)m4時(shí)，軌跡是圓；當(dāng)m(，4)時(shí)，軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且點(diǎn)A1(2,0)，A2(2,0)不在曲線上方法點(diǎn)評(píng)由曲線方程討論曲線

12、類型時(shí)，常用到分類討論思想，其分類的標(biāo)準(zhǔn)有兩類：(1)二次項(xiàng)系數(shù)為0的值(2)二次項(xiàng)系數(shù)相等的值跟蹤練習(xí)在同一坐標(biāo)系中，方程a2x2b2y21與axby20(ab0)表示的曲線大致是()解析：ab0得0，方程a2x2b2y21，即1表示的是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；方程axby20，即y2x表示的是焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上的拋物線上，結(jié)合各選項(xiàng)知，選D.答案：DA組考點(diǎn)能力演練1“點(diǎn)M在曲線y24x上”是“點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程2y0”的()A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分也非必要條件解析：點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程2y0，則點(diǎn)M在曲線y24x上，是必要條件；但當(dāng)y0時(shí)，點(diǎn)M在曲線y24x上，點(diǎn)

13、M的坐標(biāo)不滿足方程2y0，不是充分條件答案：B2若M，N為兩個(gè)定點(diǎn)，且|MN|6，動(dòng)點(diǎn)P滿足0，則P點(diǎn)的軌跡是()A圓B橢圓C雙曲線 D拋物線解析：0，PMPN.點(diǎn)P的軌跡是以線段MN為直徑的圓答案：A3(2016梅州質(zhì)檢)動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)雙曲線x21的左焦點(diǎn)且與直線x2相切，則圓心M的軌跡方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：雙曲線x21的左焦點(diǎn)F(2,0)，動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)F且與直線x2相切，則圓心M到點(diǎn)F的距離和到直線x2的距離相等，由拋物線的定義知軌跡是拋物線，其方程為y28x.答案：B4(2016沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知點(diǎn)O(0,0)，A(1，2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|3|PO|，則P

14、點(diǎn)的軌跡方程是()A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50D8x28y22x4y50解析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則3，整理得8x28y22x4y50，故選A.答案：A5若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8，則稱曲線C為“好曲線”以下曲線不是“好曲線”的是()Axy5 Bx2y29C.1 Dx216y解析：M點(diǎn)的軌跡是雙曲線1，依題意，是“好曲線”的曲線與M點(diǎn)的軌跡必有公共點(diǎn)四個(gè)選項(xiàng)中，只有圓x2y29與M點(diǎn)的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，其他三個(gè)曲線與M點(diǎn)的軌跡都有公共點(diǎn)，所以圓x2y29不是“好曲線”答案：B6(201

15、6聊城一模)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,0)，B(2,2)，若點(diǎn)C滿足t()，其中tR，則點(diǎn)C的軌跡方程是_解析：設(shè)C(x，y)，則(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去參數(shù)t得點(diǎn)C的軌跡方程為y2x2.答案：y2x27已知F是拋物線yx2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是_解析：本題考查曲線的方程因?yàn)閽佄锞€x24y的焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)線段PF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則P(2x,2y1)在拋物線x24y上，所以(2x)24(2y1)，化簡(jiǎn)得x22y1.答案：x22y18已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)(0)則

16、動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為_(kāi)解析：由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPMkPN，整理得x21(0，x1)即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x21(0，x1)答案：x21(0，x1)9在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F(1,0)的距離和它到定直線x2的距離之比是.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)設(shè)曲線上的三點(diǎn)A(x1，y1)，B，C(x2，y2)與點(diǎn)F的距離成等差數(shù)列，線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k.解：(1)設(shè)P(x，y)由已知，得，兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得y21，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程是y21.(2)由已知得|AF|(2x1)，|BF|(21)，|CF|(2x2)，

17、因?yàn)?|BF|AF|CF|，所以(2x1)(2x2)2(21)，所以x1x22.故線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，其垂直平分線的方程為y(x1)因?yàn)锳，C在橢圓上，所以代入橢圓，兩式相減，把代入化簡(jiǎn)，得y1y2.把代入，令y0，得x，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為.所以直線BT的斜率k.10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到F(0,1)的距離比到直線y2的距離小1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)E(0，4)的直線與軌跡W交于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)D是點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1，證明：A1，D，B三點(diǎn)共線解：(1)由題意可得動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(0,1)的距離和到定直線y1的距離相

18、等，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F(0,1)為焦點(diǎn)，以y1為準(zhǔn)線的拋物線所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程為x24y.(2)證明：設(shè)直線l的方程為ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A1(x1，y1)由消去y，整理得x24kx160.則16k2640，即|k|2.x1x24k，x1x216.直線A1B：yy2(xx2)，所以y(xx2)y2，即y(xx2)x，整理得yxx，即yx.直線A1B的方程為yx4，顯然直線A1B過(guò)點(diǎn)D(0,4)所以A1，D，B三點(diǎn)共線B組高考題型專練1(2014高考廣東卷)已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0

19、，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程解：(1)依題意知c，a3，b2a2c24，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)若過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線的斜率不存在或者斜率為零，則易知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)或(3，2)或(3，2)或(3，2)若過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線的斜率存在且不為0，設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，切線PA的斜率為k，PAPB，則切線PB的斜率為.切線PA的方程為yy0k(xx0)，由得4x29k(xx0)y0236，即(49k2)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)2360，切線PA與橢圓相切，18k(y0kx0)24(49k

20、2)9(y0kx0)2360，化簡(jiǎn)得49k2k2x2kx0y0y0.同理，切線PB的方程為yy0(xx0)，與橢圓方程1聯(lián)立可得，4y0，即4k29x2kx0y0k2y0.由得13(1k2)(1k2)(xy)0，即(1k2)(xy13)0，1k20，xy130，即xy13.經(jīng)檢驗(yàn)可知點(diǎn)(3,2)，(3，2)，(3,2)，(3，2)均滿足xy13，故點(diǎn)P(x0，y0)的軌跡方程為x2y213.2(2015高考廣東卷)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)C1：(x3)2y24，圓心C1(3,0)(2)由垂徑定理知，C1MAB，故點(diǎn)M在以O(shè)C1為直徑的圓上，即2y2.故線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程是2y2在圓C1：(x3)2y24內(nèi)部的部分，即2y2.(3)聯(lián)立解得不妨設(shè)其交點(diǎn)為P1，P2，設(shè)直線L：yk(x4)所過(guò)定點(diǎn)為P(4,0)，則kPP1，kPP2.當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，解得k.故當(dāng)k時(shí)，直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)