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1、第25講 邏輯推理教學(xué)目標(biāo) l 學(xué)會(huì)對(duì)一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析、推理；l 利用我們的推理來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問(wèn)題；l 通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和堅(jiān)韌不拔、勇于探索的意志品質(zhì)。知識(shí)梳理一、推理問(wèn)題 解數(shù)學(xué)題，從已知條件到未知的結(jié)論，除了計(jì)算外，更重要的一個(gè)方面就是推理。通常，我們把主要依靠推理來(lái)解的數(shù)學(xué)題稱為推理問(wèn)題。二、解題策略 解答推理問(wèn)題常用的方法有：排除法、假設(shè)法、反證法。一般可以從以下幾方面考慮：1、選準(zhǔn)突破口，分析時(shí)綜合幾個(gè)條件進(jìn)行判斷；2、根據(jù)題中條件，在推理過(guò)程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結(jié)論；3、對(duì)可能出現(xiàn)的情況作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件

2、推理，如果得到的結(jié)論和條件不矛盾，說(shuō)明假設(shè)是正確的；4、遇到比較復(fù)雜的推理問(wèn)題，可以借助圖表進(jìn)行分析。典例分析例1、有三個(gè)小朋友們?cè)谡務(wù)撜l(shuí)做的好事多。冬冬說(shuō)：“蘭蘭做的比靜靜多。”蘭蘭說(shuō)：“冬冬做的比靜靜多?！膘o靜說(shuō)：“蘭蘭做的比冬冬少?！边@三位小朋友中，誰(shuí)做的好事最多？誰(shuí)做的好事最少？【解析】我們用“”來(lái)表示每個(gè)小朋友之間做好事多少的關(guān)系：蘭蘭靜靜，冬冬靜靜，冬冬蘭蘭所以，冬冬蘭蘭靜靜，冬冬做的好事最多，靜靜做的最少。例2、盧剛、丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員?，F(xiàn)在只知道：盧剛和醫(yī)生不同歲；醫(yī)生比丁飛年齡小，陳瑜比飛行員年齡大。問(wèn)：誰(shuí)是工程師、誰(shuí)是醫(yī)生、誰(shuí)是飛行員？【解析】

3、盧剛和醫(yī)生不同歲，所以盧剛不是醫(yī)生，醫(yī)生比丁飛年齡小，丁飛也不是醫(yī)生，那么只有陳瑜是醫(yī)生；由此為突破口，進(jìn)行推理，找出各自的職業(yè)；盧剛和醫(yī)生不同歲，所以盧剛不是醫(yī)生；醫(yī)生比丁飛年齡小，丁飛也不是醫(yī)生，那么只有陳瑜是醫(yī)生；陳瑜比飛行員年齡大，所以盧剛是飛行員；剩下的丁飛是工程師；所以丁飛是工程師，陳瑜是醫(yī)生，盧剛是飛行員例3、有一個(gè)正方體，每個(gè)面分別寫(xiě)上漢字：數(shù)學(xué)奧林匹克。三個(gè)人從不同角度觀察的結(jié)果如下圖所示。這個(gè)正方體的每個(gè)漢字的對(duì)面各是什么字？【解析】如果直接思考某個(gè)漢字的對(duì)面是什么字比較困難，可以換一種思維方式，想想某個(gè)漢字的對(duì)面不是什么字。從圖（1）可知，“奧”的對(duì)面不是“林”、“匹”，

4、從圖（2）可知，“奧”的對(duì)面不是“數(shù)”、“學(xué)”。所以，“奧”的對(duì)面一定是“克”。從圖（2）可知，“數(shù)”的對(duì)面不是“奧”、“學(xué)”；從圖（3）可知，“數(shù)”的對(duì)面不是“克”、“林”，所以“數(shù)”的對(duì)面一定是“匹”，剩下“學(xué)”的對(duì)面一定是“林”。例4、甲、乙、丙三個(gè)孩子踢球打碎了玻璃，甲說(shuō)：“是丙打碎的?！币艺f(shuō)：“我沒(méi)有打碎破璃。”丙說(shuō)：“是乙打碎的?！彼麄儺?dāng)中有一個(gè)人說(shuō)了謊話，到底是誰(shuí)打碎了玻璃？【解析】由題意推出結(jié)論，必須符合他們中只有一個(gè)人說(shuō)了謊，推理時(shí)可先假設(shè)，看結(jié)論和條件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲說(shuō)謊話，乙說(shuō)的是真話，丙說(shuō)的是謊話。這樣兩人說(shuō)的是謊話，與他們中只有一人說(shuō)謊相矛盾，所以不是

5、甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲說(shuō)的是謊話，乙說(shuō)的是謊話，丙說(shuō)的是真話，與他們中只有一人說(shuō)謊相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲說(shuō)的是真話，乙說(shuō)的是真話，而丙說(shuō)的是謊話。這樣有兩個(gè)說(shuō)的是真話，符合條件中只有一個(gè)人說(shuō)的是謊話，所以玻璃是丙打碎的。例5、已知甲、乙、丙三人中，只有一人會(huì)開(kāi)汽車(chē)。甲說(shuō)：“我會(huì)開(kāi)汽車(chē)?！币艺f(shuō)：“我不會(huì)開(kāi)。”丙說(shuō)：“甲不會(huì)開(kāi)汽車(chē)?！比绻酥兄挥幸蝗酥v的是真話，那么誰(shuí)會(huì)開(kāi)汽車(chē)？【解析】假設(shè)甲會(huì)開(kāi)車(chē)，那么，甲和乙說(shuō)的是真話，所以和已知矛盾，所以甲不會(huì)開(kāi)車(chē)； 假設(shè)乙會(huì)開(kāi)車(chē)，那么甲和乙說(shuō)的是假話，丙說(shuō)的是真話，符合題意； 假設(shè)丙會(huì)開(kāi)車(chē)，那么乙和丙說(shuō)的是真話，也和題意

6、矛盾； 所以，乙會(huì)開(kāi)車(chē)。例6、甲、乙、丙、丁四個(gè)人同時(shí)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。最后：甲說(shuō)：“丙是第一名，我是第三名?！币艺f(shuō)：“我是第一名，丁是第四名。”丙說(shuō)：“丁是第一名，我是第三名?！倍](méi)有說(shuō)話。成績(jī)揭曉時(shí)，大家發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三個(gè)人各說(shuō)對(duì)了一半。你能說(shuō)出他們的名次嗎？【解析】推理時(shí)，必須以“他們都只說(shuō)對(duì)了一半”為前提。為了幫助分析，我們可以借助圖表進(jìn)行分析。（1）乙說(shuō)“我是第一名”也是錯(cuò)的，而乙說(shuō)“丁是第四名”是對(duì)的。（2）由丁是第四名推出丙說(shuō)“丁是第二名”是錯(cuò)的，根據(jù)條件，丙說(shuō)“我是第三名”是對(duì)的。（3）這樣，丙既是第一名，又是第三名，自然是錯(cuò)的。重新推理：（1）由甲說(shuō)的“我是第一名”推出丙說(shuō)的“我

7、是第三名”是錯(cuò)的，而丙說(shuō)的“我是第一名”是對(duì)的。（2）由“丁第二名”推出乙說(shuō)的“丁是第四名”是錯(cuò)的，而乙說(shuō)的“我是第一名”是對(duì)的。（3）從表中我們可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。例7、甲、乙、丙、丁四個(gè)人進(jìn)行游泳比賽，賽前名次眾說(shuō)不一。有的說(shuō)：“甲是第二名，丁是第三名?！庇械恼f(shuō)：“甲是第一名，丁是第二名?！庇械恼f(shuō)：“丙是第二名，丁是第四名?！睂?shí)際上，上面三種說(shuō)法各說(shuō)對(duì)了一半。甲、乙、丙、丁各是第幾名？【解析】第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。（1）假如甲說(shuō)丙第一名是對(duì)的，那么甲說(shuō)：“我是第三名”是對(duì)的，乙說(shuō)“我是第一名”也是錯(cuò)的，而乙說(shuō)的“丁是第四名”是對(duì)的。（2）由丁是

8、第四名排出丙說(shuō)丁是第二名是錯(cuò)的，據(jù)條件，丙說(shuō)“我是第三名”是對(duì)的。（3）這樣，丙既是第一名，又是第三名，自然是錯(cuò)的。所以重新推理得：第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。例8、A、B、C、D與小強(qiáng)五個(gè)同學(xué)一起參加象棋比賽，每?jī)扇硕假愐槐P(pán)，比賽一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)：A賽了4盤(pán)，B賽了3盤(pán)，C賽了2盤(pán)，D賽了一盤(pán)。問(wèn)小強(qiáng)已經(jīng)賽了幾盤(pán)？【解析】用五個(gè)點(diǎn)表示這5個(gè)人，如果某兩個(gè)之間已經(jīng)進(jìn)行了比賽，就在表示這兩個(gè)人的點(diǎn)之間畫(huà)一條線?，F(xiàn)在A賽4盤(pán)，所以A應(yīng)該與其余4個(gè)點(diǎn)都連線。B賽了3盤(pán)，由于D只賽了1盤(pán)，是和A賽的，所以B應(yīng)該與C連。（B、A已連線）C已連了2條線，小強(qiáng)也連了2條線，所以小強(qiáng)已賽了2盤(pán)。例9、有8個(gè)

9、球編號(hào)是（1）（8），其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)球都輕1克。為了找出這兩個(gè)輕球，用天平稱了3次，結(jié)果如下：第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；第二次：（5）+（6）比（7）+（8）輕；第三次：（1）+（3）+（5）與（2）+（4）+（8）一樣重。那么，兩個(gè)輕球分別是幾號(hào)？【解析】 從第一次看，（3）、（4）兩球中有一個(gè)輕；從第二次看，（5）、（6）兩球中有一個(gè)輕；從第三次看，（1）、（3）、（5）中有一個(gè)輕，（2）、（4）、（8）中也有一個(gè)輕。綜合上面的分析可以推出，兩個(gè)輕球的編號(hào)分別是（4）和（5）。例10、甲、乙、丙、丁四個(gè)人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。請(qǐng)說(shuō)出他們

10、各是幾號(hào)?！窘馕觥恳还灿兴娜?，乙不是最高的，但它比甲、丁高，所以乙的身高在四人中數(shù)第二，丙是第一；甲丁的身高處于后兩位，甲不比丁高即丁高，甲矮，所以丁是第二，甲最矮.據(jù)此即可解答：由乙不是最高的，但它比甲、丁高可知:乙的身高在四人中數(shù)第二，丙是第一;由甲不比丁高可知:丁是第三，甲最矮.所以甲是3號(hào)，乙是4號(hào)，丙是2號(hào)，丁是1號(hào).例11、小英、小明、小亮在一次語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三門(mén)考試中，每人都獲得了其中的一門(mén)第一名，一門(mén)第二名和一門(mén)第三名。現(xiàn)在只知道小英獲得了語(yǔ)文成績(jī)的第一名，小明獲得了數(shù)學(xué)第二名。獲得英語(yǔ)成績(jī)第一名的是誰(shuí)？【解析】因?yàn)樾∮@得了語(yǔ)文第一名，所以，小明獲得的第一名只能是英語(yǔ)或數(shù)學(xué)

11、，而小明已獲得了數(shù)學(xué)第二名，不可能再獲得數(shù)學(xué)第一名，因此，獲得英語(yǔ)第一名的一定是小明。例12、有6只盒子，每只盒內(nèi)放有同一種筆，6只盒子所裝筆的支數(shù)分別是11支、13支、17支、20支、28支、43支。在這些筆中，水彩筆支數(shù)是圓珠筆的2倍，鉛筆的支數(shù)是水彩筆的一半，其中有一只盒子放的是鋼筆。這盒鋼筆共有多少支？【解析】因?yàn)樗使P是圓珠筆的2倍，而鉛筆是水彩筆的一半，即水彩筆也是鉛筆的2倍，所以，水彩筆、圓珠筆和鉛筆的總支數(shù)一定是4的倍數(shù)。11+13+17+20+28+43=132支，132正好是4的倍數(shù)，說(shuō)明那一盒鋼筆也正好是4的倍數(shù)，而滿足條件的只有20和28。（1）當(dāng)鋼筆是20支時(shí)：（13

12、220）4=28支，17+11=28支，43+13=56支符合條件；（2）當(dāng)鋼筆是28支時(shí)：（132-28）4=26支，題中沒(méi)有一盒或2盒的和是26，不符合條件。所以， 盒鋼筆有20支。例13、小明看一本書(shū)，如果看過(guò)的頁(yè)數(shù)每天比前一天增加一倍，7天正好看完。已知這本書(shū)一共96頁(yè)，他第幾天看到了12頁(yè)？【解析】 由于他每天看過(guò)的頁(yè)數(shù)比前一天增加一倍，7天正好看完，也就是說(shuō)第7天能看到96頁(yè)。由此往前推：第6天看到了962=48頁(yè)，第5天看到了482=24頁(yè)，第4天看到了242=12頁(yè)。實(shí)戰(zhàn)演練 課堂狙擊1、小李、小徐和小張是同學(xué)，大學(xué)畢業(yè)后分別當(dāng)了教師、數(shù)學(xué)家和工程師：小張年齡比工程師大；小李和

13、數(shù)學(xué)家不同歲；數(shù)學(xué)家比小徐年齡小。誰(shuí)是教師、誰(shuí)是數(shù)學(xué)家、誰(shuí)是工程師？【解析】（1）小張年齡比工程師大：小張不是工程師，（2）小李和數(shù)學(xué)家不同歲：小李不是數(shù)學(xué)家，（3）數(shù)學(xué)家比小徐年齡?。盒⌒煲膊皇菙?shù)學(xué)家.由（2）、（3）得：小張是數(shù)學(xué)家.進(jìn)一步推出小徐是教師，小李是工程師.因此，小徐是教師，小張是數(shù)學(xué)家，小李是工程師.2、一個(gè)正方體，六個(gè)面分別寫(xiě)上A、B、C、D、E、F，你能根據(jù)這個(gè)正方體不同的擺法，求出A、B、C相對(duì)的面的字母是什么嗎？【解析】根據(jù)中間圖和右邊的圖可以看出，與C相鄰的有面A、B、D和E，由此可知，C的對(duì)面一定是F；根據(jù)左圖和右圖可以看出，與A相鄰的有B、E、C，由于C的對(duì)面是

14、F，因此，F(xiàn)也與A相鄰，所以，A的對(duì)面一定是D；由左圖和中圖可知，與B相鄰的有A、D、C，由于C的對(duì)面是F，因此，F(xiàn)也與B相鄰，所以，B的對(duì)面一定是E。根據(jù)分析：A的對(duì)面是D； B的對(duì)面是E；C的對(duì)面是F3、某學(xué)校為表?yè)P(yáng)好人好事核實(shí)一件事，老師找了A、B、C三個(gè)學(xué)生。A說(shuō)：“是B做的?！盉說(shuō)：“不是我做的?！盋說(shuō)：“不是我做的?！边@三個(gè)學(xué)生中只有一人說(shuō)了實(shí)話，這件好事是誰(shuí)做的？【解析】此題有A、B說(shuō)的話入手，而人說(shuō)的話相互矛盾，因此必有一人說(shuō)了真話，根據(jù)這三個(gè)學(xué)生中只有一人說(shuō)了實(shí)話，那么C說(shuō)的話比為假話，因此，這件好事是C做的4、紅、黃、藍(lán)、白、紫五種顏色的珠子各一顆，用紙包著放在桌子上一排。

15、甲、乙、丙、丁、戌五個(gè)人猜各包里的珠子的顏色。甲猜：“第二包紫色，第三包黃色?！币也拢骸暗诙{(lán)色，第四包紅色。”丙猜：“第三包藍(lán)色，第五包白色?！倍〔拢骸暗谌{(lán)色，第五包白色?！毙绮拢骸暗诙S色，第五包紫色?！苯Y(jié)果每個(gè)人都猜對(duì)了一半，他們各猜對(duì)了哪種顏色的珠子？【解析】甲3黃 乙2藍(lán) 丙1紅 丁4白 戌5紫 這些是正確的。 假設(shè)甲說(shuō)第二包是紫是正確的，那么看戌，則戌說(shuō)第二包是黃是錯(cuò)誤的，同時(shí)他說(shuō)第五包紫也是錯(cuò)誤的（因?yàn)榈?包是紫），從而戌沒(méi)有說(shuō)對(duì)任何一個(gè)，不合題意。 所以甲說(shuō)的第二包是紫是錯(cuò)誤的，第三包是黃是正確的。 后面的丁說(shuō)第三包是藍(lán)肯定錯(cuò)了，所以他說(shuō)的第四包是白是正確的。 依次可以推出其他的說(shuō)法。5、明明、冬冬、蘭蘭、靜靜、思思和毛毛六人參加一次會(huì)議，見(jiàn)面時(shí)每?jī)蓚€(gè)人都要握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手，蘭蘭握了5次手，靜靜握了2次，思思握了1次手。問(wèn)毛毛握了幾次手？【解析】毛毛一共握了3次手，分別是跟明明、冬冬和蘭蘭握的。思路：首先，明明五次，思思只有一次，也就是說(shuō)思思這一次只是與明明握得，明明與五人各握一次，而思思已經(jīng)有了一次，那么冬冬與除了思思以外的四人都握過(guò)手，所以靜靜的另外一次就是與冬冬握的，