《高中數(shù)學 （2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系）示范教案 新人教A版必修2.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 （2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系）示范教案 新人教A版必修2.doc-匯文網(wǎng)（7頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系整體設計教學分析 空間中直線與直線的位置關系是立體幾何中最基本的位置關系，直線的異面關系是本節(jié)的重點和難點.異面直線的定義與其他概念的定義不同，它是以否定形式給出的，因此它的證明方法也就與眾不同.公理4是空間等角定理的基礎，而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎，請注意知識之間的相互關系，準確把握兩異面直線所成角的概念.三維目標1.正確理解空間中直線與直線的位置關系,特別是兩直線的異面關系.2.以公理4和等角定理為基礎，正確理解兩異面直線所成角的概念以及它們的應用.3.進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力，以及有根有據(jù)、實事求是等嚴肅的科學態(tài)度和品質(zhì).重點難

2、點 兩直線異面的判定方法，以及兩異面直線所成角的求法.課時安排 1課時教學過程導入新課思路1.(情境導入） 在浩瀚的夜空，兩顆流星飛逝而過（假設它們的軌跡為直線），請同學們討論這兩直線的位置關系.學生：有可能平行，有可能相交，還有一種位置關系不平行也不相交，就像教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線一樣.教師：回答得很好，像這樣的兩直線的位置關系還可以舉出很多，又如學校的旗桿所在的直線與其旁邊公路所在的直線，它們既不相交，也不平行，即不能處在同一平面內(nèi).今天我們討論空間中直線與直線的位置關系.思路2.（事例導入） 觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體ABCDABCD中，線段AB所在

3、的直線與線段CC所在直線的位置關系如何？圖1推進新課新知探究提出問題什么叫做異面直線？總結空間中直線與直線的位置關系.兩異面直線的畫法.在同一平面內(nèi)，如果兩直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.在空間這個結論成立嗎？什么是空間等角定理？什么叫做兩異面直線所成的角？什么叫做兩條直線互相垂直？活動：先讓學生動手做題，再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.討論結果：異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.它是以否定的形式給出的，以否定形式給出的問題一般用反證法證明.空間兩條直線的位置關系有且只有三種.結合長方體模型(圖1)，引導學

4、生得出空間的兩條直線的三種位置關系：教師再次強調(diào)異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如圖2.圖2組織學生思考：長方體ABCDABCD中，如圖1,BBAA，DDAA,BB與DD平行嗎？通過觀察得出結論：BB與DD平行.再聯(lián)系其他相應實例歸納出公理4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示為：ab,bcac.強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用.公理4是：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，不必證明，可直接應用.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來表示

5、呢？生：可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示.如圖3，異面直線a、b，在空間中任取一點O，過點O分別引aa，bb，則a，b所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.圖3針對這個定義，我們來思考兩個問題.問題1：這樣定義兩條異面直線所成的角，是否合理？對空間中的任一點O有無限制條件？答：在這個定義中，空間中的一點是任意取的.若在空間中，再取一點O（圖4），過點O作aa，bb，根據(jù)等角定理，a與b所成的銳角（或直角）和a與b所成的銳角（或直角）相等，即過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點位置無關，這表

6、明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時，為了方便，可將點O取在a或b上（如圖3）.圖4問題2：這個定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？答：沒有矛盾.當a、b相交時，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣.在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直.例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面（圖5）.圖5應用示例思路1例1 如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.圖6求證：

7、四邊形EFGH是平行四邊形.證明：連接EH，因為EH是ABD的中位線，所以EHBD，且EH=.同理，F(xiàn)GBD，且FG=.所以EHFG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.變式訓練1.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點且AC=BD.求證：四邊形EFGH是菱形.證明：連接EH，因為EH是ABD的中位線，所以EHBD，且EH=.同理，F(xiàn)GBD，EFAC，且FG=,EF=.所以EHFG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因為AC=BD,所以EF=EH.所以四邊形EFGH為菱形.2.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、

8、BC、CD、DA的中點且AC=BD，ACBD.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：連接EH，因為EH是ABD的中位線，所以EHBD，且EH=.同理，F(xiàn)GBD，EFAC，且FG=，EF=.所以EHFG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因為AC=BD，所以EF=EH.因為FGBD，EFAC，所以FEH為兩異面直線AC與BD所成的角.又因為ACBD，所以EFEH.所以四邊形EFGH為正方形.點評：“見中點找中點”構造三角形的中位線是證明平行常用的方法.例2 如圖7，已知正方體ABCDABCD.圖7(1)哪些棱所在直線與直線BA是異面直線？(2)直線BA和CC的夾角是多少？(3)哪些棱所

9、在直線與直線AA垂直？解：(1)由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直線分別與BA是異面直線.(2)由BBCC可知，BBA是異面直線BA和CC的夾角，BBA=45，所以直線BA和CC的夾角為45.（3）直線AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分別與直線AA垂直.變式訓練 如圖8，已知正方體ABCDABCD.圖8（1）求異面直線BC與AB所成的角的度數(shù)；(2)求異面直線CD和BC所成的角的度數(shù).解：（1）由ABCD可知，BCD是異面直線BC與AB所成的角，BCCD，異面直線BC與AB所成的角的度數(shù)為90.（2）連接AD,AC,由ADBC可知，ADC是異面直線C

10、D和BC所成的角，ADC是等邊三角形.ADC=60，即異面直線CD和BC所成的角的度數(shù)為60.點評：“平移法”是求兩異面直線所成角的基本方法.思路2例1 在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和棱CC1的中點.求證：EB1DF，EDB1F.活動：學生先思考或討論，然后再回答，教師點撥、提示并及時評價學生.證明：如圖9，設G是DD1的中點，分別連接EG，GC1.圖9EGA1D1，B1C1A1D1,EGB1C1.四邊形EB1C1G是平行四邊形,EB1GC1.同理可證DFGC1，EB1DF.四邊形EB1FD是平行四邊形.EDB1F.變式訓練 如圖10，在正方體ABCDA1B1C1D

11、1中，E、F分別是AA1、AB的中點，試判斷下列各對線段所在直線的位置關系：圖10（1）AB與CC1；（2）A1B1與DC；（3）A1C與D1B；（4）DC與BD1；（5）D1E與CF.解：（1）C平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,AB與CC1異面.（2）A1B1AB，ABDC，A1B1DC.（3）A1D1B1C1，B1C1BC，A1D1BC，則A1、B、C、D1在同一平面內(nèi).A1C與D1B相交.（4）B平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,DC與BD1異面.（5）如圖10，CF與DA的延長線交于G，連接D1G，AFDC，F(xiàn)為AB中點，A為DG的

12、中點.又AEDD1，GD1過AA1的中點E.直線D1E與CF相交.點評：兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行（或重合）.兩條直線相交，總可以找到它們的交點.作圖時用實點標出.兩條直線異面，有時看上去像平行（如圖中的EB與A1C），有時看上去像相交（如圖中的DC與D1B）.所以要仔細觀察，培養(yǎng)空間想象能力，尤其要學會兩條直線異面判定的方法.例2 如圖11，點A是BCD所在平面外一點，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點，且EF=AD，求異面直線AD和BC所成的角.圖11解：設G是AC中點，連接EG、FG.因E、F分別是AB、CD中點，故EGBC且EG=，F(xiàn)GAD，且FG=.

13、由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即EGF為所求.由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得EGF=90.點評：本題的平移點是AC中點G，按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在EFG中求角.通常在出現(xiàn)線段中點時，常取另一線段中點，以構成中位線，既可用平行關系，又可用線段的倍半關系.變式訓練 設空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點，若AB=，CD=，且HGHEsinEHG=，求AB和CD所成的角.解：如圖12，由三角形中位線的性質(zhì)知，HGAB，HECD，圖12EHG就是異面直線AB和CD所成的角.由

14、題意可知EFGH是平行四邊形，HG=，HE=，HGHEsinEHG=sinEHG.sinEHG=.sinEHG=.故EHG=45.AB和CD所成的角為45.知能訓練 如圖13，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有對_.圖13答案：三拓展提升 圖14是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：圖14AB與CD所在直線垂直；CD與EF所在直線平行；AB與MN所在直線成60角；MN與EF所在直線異面.其中正確命題的序號是（ ）A. B. C. D.答案：D課堂小結 本節(jié)學習了空間兩直線的三種位置關系：平行、相交、異面，其中異面關系是重點和難點. 為了準確理解兩異面直線所成角的概念，我們學習了公理4和等角定理.作業(yè) 課本習題2.1 A組3、4.設計感想 空間中直線與直線的位置關系是立體幾何的基礎，本節(jié)通過空間模型讓學生直觀感受兩直線的位置關系，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力.兩直線的異面關系是本節(jié)的重點和難點，本節(jié)選用大量典型題目訓練學生求兩異面直線所成的角，使學生熟練掌握直線與直線的位置關系.另外,本節(jié)加強了三種語言的相互轉(zhuǎn)換，因此這是一節(jié)值得期待的精彩課例.7