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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年考研數(shù)學(xué)（一）試題解析一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點的個數(shù)為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（C）【解析】拐點出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，并且在這點的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號.因此，由的圖形可得，曲線存在兩個拐點.故選（C）.(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（A）【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線

2、性微分方程的反問題已知解來確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來求解，也就是下面演示的解法.【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，從而原方程變?yōu)椋賹⑻亟獯氲?故選（A）(3) 若級數(shù)條件收斂，則 與依次為冪級數(shù)的 ( )(A) 收斂點，收斂點 (B) 收斂點，發(fā)散點 (C) 發(fā)散點，收斂點(D) 發(fā)散點，發(fā)散點【答案】（B）【分析】此題考查冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的性質(zhì).【解析】因為條件收斂，即為冪級數(shù)的條件收斂點，所以的收斂半徑為

3、1，收斂區(qū)間為.而冪級數(shù)逐項求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是.因而與依次為冪級數(shù)的收斂點，發(fā)散點.故選（B）. (4) 設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（B）【分析】此題考查將二重積分化成極坐標系下的累次積分【解析】先畫出D的圖形，所以，故選（B）(5) 設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，由，故或，同時或.故選（D） (6)設(shè)二次型 在正交變換為 下的標準形為 ，其中 ，若 ，則在正交變換下的標準形為( )(A) (B) (C) (

4、D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.由已知可得:故有所以.選（A）(7) 若A,B為任意兩個隨機事件，則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) .(8)設(shè)隨機變量不相關(guān)，且，則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】 ，選(D) .二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 【答案】【分析】此題考查型未定式極限，可直接用洛必達法則，也可以用等價無窮小替換.【解析】方法一：方法二： (10) 【答案】【分析】此題考查定積分的計算，需要用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性

5、質(zhì)化簡. 【解析】 (11)若函數(shù)由方程確定，則【答案】【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo).【解析】令，則又當(dāng)時，即.所以，因而(12)設(shè)是由平面與三個坐標平面平面所圍成的空間區(qū)域，則【答案】【分析】此題考查三重積分的計算，可直接計算，也可以利用輪換對稱性化簡后再計算.【解析】由輪換對稱性，得，其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以 (13) 階行列式【答案】【解析】按第一行展開得(14)設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則【答案】 【解析】由題設(shè)知，而且相互獨立，從而 .三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10

6、分) 設(shè)函數(shù)，若與在是等價無窮小，求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：因為分子的極限為0，則，分子的極限為0，(16)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的，由線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達式.【答案】.【解析】設(shè)在點處的切線方程為：令，得到，故由題意，即，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，即，可分離變量得到通解為：，已知，得到，因此；即.(17)(本題滿分10分)已知函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).【答案】3【解析】因為沿著梯度的方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.，故，模為，此題目轉(zhuǎn)化為對函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極

7、值問題.為了計算簡單，可以轉(zhuǎn)化為對在約束條件下的最大值.構(gòu)造函數(shù)：，得到.所以最大值為.(18)(本題滿分 10 分)（I）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明（II）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，寫出的求導(dǎo)公式.【解析】（I） （II）由題意得 (19)(本題滿分 10 分) 已知曲線L的方程為起點為，終點為，計算曲線積分.【答案】【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程， (20) (本題滿11分) 設(shè)向量組內(nèi)的一個基，.（I）證明向量組為的一個基;（II）當(dāng)k為何值時，存在非0向量在基與基下的坐標相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)證明： 故為的一個基.（II）由題意知，即即即，得k=0 (21) (本題滿分11 分) 設(shè)

8、矩陣相似于矩陣.(I) 求的值；（II）求可逆矩陣，使為對角矩陣.【解析】(I) (II)的特征值時的基礎(chǔ)解系為時的基礎(chǔ)解系為A的特征值令，(22) (本題滿分11 分) 設(shè)隨機變量的概率密度為對 進行獨立重復(fù)的觀測,直到2個大于3的觀測值出現(xiàn)的停止.記為觀測次數(shù).(I)求的概率分布;(II)求 【解析】(I) 記為觀測值大于3的概率，則，從而， 為的概率分布； (II) 法一:分解法:將隨機變量分解成兩個過程,其中表示從到次試驗觀測值大于首次發(fā)生，表示從次到第試驗觀測值大于首次發(fā)生.則，(注：Ge表示幾何分布)所以.法二:直接計算記，則，所以，從而.(23) (本題滿分 11 分)設(shè)總體X的概率密度為：其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機樣本.(I)求的矩估計量.(II)求的最大似然估計量.【解析】(I) ，令，即，解得為的矩估計量；(II) 似然函數(shù)，當(dāng)時，則.從而，關(guān)于單調(diào)增加，所以為的最大似然估計量.文檔內(nèi)容由經(jīng)濟學(xué)金程考研網(wǎng) 整理發(fā)布。專心-專注-專業(yè)