《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)（二十七）第二章 平面解析幾何 2.6.2.1 雙曲線的幾何性質(zhì)（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)（二十七）第二章 平面解析幾何 2.6.2.1 雙曲線的幾何性質(zhì)（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網(wǎng)（12頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、二十七雙曲線的幾何性質(zhì)(15分鐘30分)1雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是()A2 B2 C4 D4【解析】選C.將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)形式為1，得2a4.2(2020·全國卷)設(shè)雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且F1PF2P.若PF1F2的面積為4，則a()A1 B2 C4 D8【解析】選A.設(shè)PF1m，PF2n，mn，SPF1F2mn4，mn2a，m2n24c2，e，所以a1.3雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且C經(jīng)過點(diǎn)A(2，)，則雙曲線C的方程為()Ax2y21 B1C1 D1【解析】選A.由雙曲線C的一條漸近線方程為y

2、x，則雙曲線為等軸雙曲線，即ab，雙曲線C：x2y2a2，將A(2，)代入雙曲線方程，解得a1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21.4設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為()A B C D【解析】選C.不妨設(shè)|PF1|PF2|，則|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，則PF1F2是PF1F2的最小內(nèi)角，為30°，所以|PF2|2|PF1|2|F2F1|22|PF1|F2F1|cos 30°，所以(2a)2(4a)2(2

3、c)22×4a×2c×，化為e22e30，解得e.5(2020·荊州高二檢測)已知雙曲線y21(a0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足|PF1|2|PF2|24，求PF1F2的周長【解析】由題意得2，得a，c，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以2a.因?yàn)?2()()4，所以2，所以PF1F2的周長為2.所以PF1F2的周長為.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy

4、±x【解析】選C.已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，故有，所以，解得.故雙曲線C的漸近線方程為y±x.2已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線與直線x0的夾角為60°，若以雙曲線C的實(shí)軸和虛軸為對角線的四邊形周長為8，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay21 B1C1 Dx21【解析】選A.雙曲線的漸近線為y±x，因?yàn)闈u近線與直線x0的夾角為60°，所以tan 30°，因?yàn)橐噪p曲線C的實(shí)軸和虛軸為對角線的四邊形的周長為8，所以48，由，解得a23，b21.所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.3(2020·保

5、定高二檢測)已知雙曲線C：1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)N在C的漸近線上(異于原點(diǎn))，若M點(diǎn)滿足，且·0，則|MN|()A2a Ba C4a D2a【解析】選C.不妨設(shè)雙曲線C：1的一條漸近線為y2x，其斜率為2，所以b2a，F(xiàn)(a，0).因?yàn)镸點(diǎn)滿足，且·0，所以F是OM的中點(diǎn)，且ONMN，作FHON于H，如圖所示：則點(diǎn)F到漸近線的距離為|FH|2a，所以|MN|4a.4(2020·大慶高二檢測)雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，且PF1·0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，cos PF2F1，則雙曲線C的離心率為()A

6、2 B C D【解析】選D.如圖，取PF1的中點(diǎn)為M，則.由·0，得·0，即.因?yàn)镺M為PF1F2的中位線，所以由cos PF2F1，設(shè)12，則13，5，所以2a7，2c13，得雙曲線C的離心率為.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5(2020·濟(jì)南高二檢測)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C：x21上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，下列結(jié)論正確的是()AC的離心率為2BC的漸近線方程為y±xC動(dòng)點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值D當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，的最大值為【解析】選AC.對于雙曲線C：x21，a

7、1，b，c2，所以雙曲線C的離心率為e2，漸近線方程為y±x，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則x1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為xy0和xy0，則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為·，C選項(xiàng)正確；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，ca1，2a2，當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)，等號成立，所以，的最大值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤6(2020·濟(jì)寧高二檢測)設(shè)雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l分別與雙曲線左右兩支交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過F2，且·2，則以下結(jié)論正確的是()AF1MF2120°B雙曲線C的離心率為C雙

8、曲線C的漸近線方程為y±xD直線l的斜率為1【解析】選BC.如圖，作F2DMN于點(diǎn)D，則··cos F2MN22，所以，所以D是MN的中點(diǎn)，從而.根據(jù)雙曲線定義，得2a，2a，所以4a，又以MN為直徑的圓過F2，所以MF2NF2，MNF2NMF245°，于是F1MF2135°，A錯(cuò)；又2a，(22)a，由余弦定理2222cos 45°得4c2(2a)2(22)2a22×2a×(22)a×，化簡得3，所以e，B正確；由3得2，即，所以漸近線方程為y±x，C正確；由圖易知NF1F2<NMF24

9、5°，所以kMNtan NF1F2<1，D錯(cuò)三、填空題(每小題5分，共10分)7若橢圓1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線1的漸近線方程為_.【解析】因?yàn)閑，不妨設(shè)a4，c1，則b，所以對應(yīng)雙曲線的漸近線方程為y±x±x.答案：y±x8(2020·六安高二檢測)已知雙曲線C：1的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3.現(xiàn)有如下條件：雙曲線C的離心率為；雙曲線C與橢圓C：1共焦點(diǎn)；雙曲線右支上的一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差是虛軸長的倍請從上述3個(gè)條件中任選一個(gè)，得到雙曲線C的方程為_.【解析】依題意，雙曲線C：1，漸近線方程為y±x

10、，即bx±ay0，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，故3，即b3；若選，雙曲線C的離心率為，故；又b3，且a2b2c2，所以a4，c5，故雙曲線C的方程為1；若選，橢圓C：1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)，(5，0)，故c5；又a2b2c2，故a4，故雙曲線C的方程為1；若選，依題意，設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，故·2b，故a4，故雙曲線C的方程為1.答案：1四、解答題(每小題10分，共20分)9已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)2到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)當(dāng)F1PF260°時(shí)

11、，PF1F2的面積為48，求此雙曲線的方程【解析】(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為bx±ay0，則點(diǎn)F2到漸近線距離為b(其中c是雙曲線的半焦距)，所以由題意知ca2b.又因?yàn)閍2b2c2，解得ba，故所求雙曲線的漸近線方程是4x±3y0.(2)因?yàn)镕1PF260°，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos 60°|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2|PF1|·|PF2|4c2.又由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a，平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|4a2，相減得|PF1

12、|·|PF2|4c24a24b2.根據(jù)三角形的面積公式得S|PF1|·|PF2|sin 60°·4b2b248，得b248.再由(1)得a2b227，故所求雙曲線方程是1.10(2020·綿陽高二檢測)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的上焦點(diǎn)為F.(1)若雙曲線C是等軸雙曲線，且c2，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為30°的直線l與雙曲線C的上支交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAF是以線段AF為底邊的等腰三角形，求雙曲線C的離心率及漸近線方程【解析】(1)由雙曲線為等軸雙曲線，則ab，又c2，則a2b2c24，所

13、以a2b22，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；(2)由題意得c，又OA的傾斜角為30°，A則2a(1)c，ac，所以e1，又e21，則32，則漸近線方程為y±x.【創(chuàng)新遷移】1(2020·上饒高二檢測)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1的左右焦點(diǎn)，過F1的直線與圓x2y2a2相切，切點(diǎn)為T，且交雙曲線右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線C的離心率為()A2 B C D【解析】選C.如圖，連接OT，PF2，由F1P與圓x2y2a2相切于點(diǎn)T可得F1TO.因?yàn)閏，a，故b，所以cos PF1F2.又22b，故3b，所以3b2a.在PF1F2中，由余弦定理得24c29b22×2c×3b×，整理得2b3a，所以49a2，即，所以e.2已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求雙曲線的離心率e的取值范圍