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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上論臺球碰撞中的力學(xué)問題摘要：本文利用剛體平面平行運動的有關(guān)理論對（臺球）運動中的一些力學(xué)問題作了具體的分析，首先以在理想狀態(tài)下臺球在桌面上的彈性碰撞為切入點，思考并找到計算兩球碰撞后運動狀態(tài)的方法；再由剛體平面平行運動知識對（臺球）在桌面上運動時的速度和加速度分別作了具體的分析和推理。 關(guān)鍵詞：臺球；碰撞；平面運動；速度；加速度；相互作用力；目錄引言41 理想狀態(tài)下母球1與目標(biāo)球2的彈性碰撞41.1 母球1與目標(biāo)球2發(fā)生正碰41.2 目標(biāo)球2與母球1的斜碰51.3 母球與目標(biāo)球相切52 球桿擊球后臺球的運動53 受桿沖擊后臺球上各點速度的分析63.1 臺球在運動中的速

2、度分析63.2 球桿擊球后在桌面上母球任一點速度的兩種計算方法的討論73.2.1 運動分解法(簡稱基點法)73.2.2 瞬時速度中心法(簡稱瞬心法)94 在運動中臺球上各點加速度的分析104.1 運動分解法(或基點法)104.2 瞬時加速度中心法115 小結(jié)126 參考文獻(xiàn)12引言 臺球作為一項紳士運動廣為流傳，傳入我國后，到現(xiàn)在臺球已經(jīng)在我國廣為普及。我作為一個臺球愛好者，在學(xué)習(xí)了力學(xué)之后，對臺球運動中蘊含的許多碰撞和剛體平面平行運動的理論產(chǎn)生了濃厚的興趣也進(jìn)行了簡單的分析研究。本文就臺球碰撞及運動中所包含的一些力學(xué)問題作了簡單的分析。1 理想狀態(tài)下母球1與目標(biāo)球2的彈性碰撞目標(biāo)球2起初在桌

3、面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，母球1以（質(zhì)心速度為）的速度與靜止的靶球2發(fā)生碰撞（彈性碰撞），兩球質(zhì)量都為m且半徑均為R。 設(shè)的方向與目標(biāo)球球心間的距離為d ,碰撞后母球1與目標(biāo)球2的質(zhì)心速度分別為、。下面我們對兩球的碰撞作相應(yīng)的討論。由于兩球所作碰撞時間極短幾乎沒有動量和能量的損失彈性碰撞，由動量及能量相關(guān)守恒律知： 解得(即垂直于)，故母球1與目標(biāo)球2碰撞完成并彼此離開的時候，兩球的即速度總是相互垂直。當(dāng)靶球2被母球1撞擊時，在碰撞瞬間，母球1將其一部分動量分給了（變慢的）靶球2，而將剩余部分動量傳送給目標(biāo)球，兩球速度大小的改變量與兩球滾動的距離成正相關(guān)（轉(zhuǎn)化法，利用為代替速度大?。?。下面以平面碰撞來

4、推導(dǎo)公式，只單作純地計算母球動量的傳遞方式及傳遞的量，不考碰撞產(chǎn)生的熱所消耗的能量、空氣阻力對球能量的消耗，球發(fā)生轉(zhuǎn)動的能量以及桌面阻力對球消耗的能量，如圖1所示：V圖1 （1） （2）1.1 母球1與目標(biāo)2球發(fā)生正碰當(dāng)d=0時，母球與目標(biāo)球發(fā)生的是正碰，母球1的速變?yōu)榱?，目?biāo)球2以母球1原來的速度沿著母球1的運動方向繼續(xù)運動。 得 ： 即：要使目標(biāo)球落袋，母球應(yīng)具有的質(zhì)心加速度大小為。 1.2 目標(biāo)球2與母球1的一般斜碰當(dāng)0< d < 2R 時, 為一般斜碰撞. 設(shè)目標(biāo)球2與球袋距離為l ,要使目標(biāo)球入袋, 則由能量守恒定律得: （為臺球與桌面臺泥之間的滑動摩擦系數(shù)）。將代入（2

5、）式中，測量l、的值，并代入解得v的數(shù)值，即為母球1為使目標(biāo)球落袋應(yīng)有的質(zhì)心的初速度。1.3 母球1與目標(biāo)2球相切當(dāng)d=2R時，母球與目標(biāo)球相切，要使目標(biāo)球落袋，母球必須被用力打出，即母球質(zhì)心初速度v須足夠的大。2 球桿擊球后臺球的運動 設(shè)：臺球的質(zhì)量為m，其半徑為R，當(dāng)球桿撞擊球時，球桿對母球有一水平方向作 用力使母球產(chǎn)生水平動量； 如圖2所示。球桿打擊母球的沖量為I，不計摩擦力及其他阻力產(chǎn)生的沖量，則有hIRPf圖2 為母球受球桿撞擊后開始運動的速度。由于受到?jīng)_力（沖力矩）的作用，與此同時母球也發(fā)生了轉(zhuǎn)動，假設(shè)球桿作用點距桌面的豎直距離為h，則以質(zhì)心為參考點對質(zhì)心的力矩為I（h-R），有下

6、面地關(guān)系式 是母球受沖擊后產(chǎn)生的角速度，J代表母球的轉(zhuǎn)動慣量，且 所以： 或 由以上兩式得受球桿沖擊后母球與桌面接觸點P的速率。 （1）當(dāng)h=7/5R時，母球無滑動地作純滾動，不會產(chǎn)生滑動摩擦力，只有滾動的阻力。(2）當(dāng)h>7/5R時，母球既滑動又滾動的運動，且滑動摩擦力使質(zhì)心產(chǎn)生加速度，使之質(zhì)心的速度增加，并使它的轉(zhuǎn)動角速度變小，直到母球作純滾動為止。(3）當(dāng)h<7/5R時，母球作既滑動又滾動的運動，滑動摩擦力產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生角加速度使它轉(zhuǎn)動角速度加快、質(zhì)心速率則會由于總能量不會增加而變慢，直到母球只滾動而沒有滑動。3 臺球上個點在桿撞擊后的速度分析3.1 臺球在運動過程中的速度的分

7、析臺球可以看作剛體，利用其定義：（剛體的平面平行的運動：剛體內(nèi)任一點與固定平面始終保持一定距離的運動稱為剛體平面平行運動）。在球桿擊球后，臺球在桌面上做的是平行運動，遵循其相關(guān)的規(guī)律。由剛體平面運動的特性可得，作一平面L與固定平面(臺球桌面)平行，與臺球相交。假設(shè)該平面內(nèi)的點運動在其自身所在平面內(nèi)，在該平面內(nèi)作坐標(biāo)系OXY。 xoyABGC圖3只要確定圖形,上任意一條線段AB的位置，就可確定圖形C,在坐標(biāo)系中的具體位置。因為圖形上任何第三點至A、B兩點的距離都不變，當(dāng)線段AB的位置確定后，其余各點的位置也就完全確定了。線段AB的位置完全由A點的坐標(biāo)、（或矢徑）和自ox軸到線段AB所量的角所確定

8、。當(dāng)圖形運動時，角、坐標(biāo)和全部是隨時間t變化的連續(xù)函數(shù)，即： 由上式可以推出臺球在任一時刻的位置及任何一點的運動情況。OyxABM在這兒用點的相關(guān)的運動知識。任意點M的矢徑如圖4所示： （1）表示M點對于A點的矢徑。因臺球不會變形，的模和角均為常數(shù)（C），M點的方程為： （2）圖4將上式對t求一次導(dǎo)，可得出點M的速度V,在各坐標(biāo)軸上的投影： （3） 上式對時間求導(dǎo),在坐標(biāo)軸上的投影表示為： (4) 由此可知，從點的運動學(xué)看，只要知道臺球的運動情況及表達(dá)式，用求導(dǎo)函數(shù)的方法就可求得臺球上任一點的速度與角速度。所求得的結(jié)果的物理意義可作如：從以上式子中得知，式的右端第一個數(shù)表示加速度，以后各項表示

9、圖形上M點相對于以A點為原點的平動坐標(biāo)系的運動。因此，用點的復(fù)合運動的方法來分析臺球運動的問題。 由剛體平面運動方程： 可以得到兩種特殊情形：a、當(dāng)常數(shù)時，而、。則線段AB的方向和位置保持不變。這表示臺球在平面內(nèi)作平動。b、當(dāng)和都為常數(shù)，而角隨時間變化，即。這表示圖形繞垂直于平面的固定軸A轉(zhuǎn)動。3.2 球桿擊球后在桌面上母球任一點速度的兩種計算方法的討論3.2.1 運動的分解隨著母球運動的分解，對母球上任意點的運動也作相應(yīng)地分解，利用點的復(fù)合運動的有關(guān)方程及分析方法，可以求出母球1上任一點的速度。AM如圖5，選取運動的母球上任一點A選為基點來分解運動。令某A點瞬時的線速度，母球的瞬時角速度為，

10、圖5，母球上任一點M的絕對速度為：因動坐標(biāo)系隨基點平動，故質(zhì)心速度。又因M點的相對運動是以基點為中心的圓周運動，故速度，是由基點A引向M點的矢徑，的方向與垂直。因此，M點的速度為 此式表明母球上任一點M的速度等于基點的速度和M點對以基點為原點的平動坐標(biāo)系的相對速度的矢量和。C因母球中心O點速度順心是已知的，故選O點為參考點。OABD建立平動坐標(biāo)系O,將母球的平面運動分解為平面運動和轉(zhuǎn)動，則母球上任一點的運動可相應(yīng)的加以分解，（質(zhì)量中心）運動為動坐標(biāo)系O,隨O點的平動。圖6根據(jù)相關(guān)定理，母球上點M的速度可表示成： 相對速度大小為R ，方向垂直于半徑。對于，利用母球無滑動的滾動的條件，它與地面的接

11、觸點C的速度為零，即 因此 由圖可知，為角速度。求得后，各質(zhì)點的速度就很容易求得，其關(guān)系如下： 各點運動的方向如上圖6所示。3.2.2 瞬時速度中心法，簡稱瞬心法AC用式求臺球上任一點速度時，發(fā)現(xiàn)在垂直于A點的速度矢量的直線AC上必有一點C在此瞬時的速度為零，如圖7所示，則由A到C點的矢徑滿足以下條件： 或?qū)懗?圖7 ，CMNC點稱為臺球的瞬時速度中心，簡稱瞬心。如果在此瞬時選擇瞬心C為基點來分析臺球的運動，那么求母球上任一點的速度的方法就可以簡化。因此瞬時基點速度，式就變?yōu)?這里是M點對于瞬心C的矢徑，如圖7所示，是臺球的角速度。 換句話說，這時質(zhì)心速度為零，只剩下圖8臺球繞瞬心C轉(zhuǎn)動的相對

12、速度；或者說臺球的瞬時運動是繞瞬心C以角速度的轉(zhuǎn)動。此瞬時臺球上各點速度的分布情形如右圖8所示，它與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時各點速度的分布情形相同。但臺球的運動與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動并不相同，因C點不是固定點，它只是在這一瞬時速度為零。因為不同的瞬時，瞬心C的位置不同，故臺球的平面運動可以看成是繞一系列的瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動。OABCD如圖9，臺球與地面相接觸的C點的速度為零，C點即臺球的瞬心。利用已知速度，可求得臺球的角速度為 為順時針轉(zhuǎn)向。臺球上B的速度方向垂直于連線CB，大小為,表示從C點到B點的距離。圖9 同理，可求的臺球邊緣上其他各點的速度，結(jié)果同前。4 臺球上各質(zhì)點加速度的分析4.1 運動分解法，或基點法應(yīng)用平面運動知識，臺球上任一點M的運動可表示為 將上式對時間求一次導(dǎo)數(shù)，即可求得M點的速度變化快慢程度+。OM圖10 這里表示基點A的加速度，表示臺球的角加速度，表示M點在動坐標(biāo)系，O中的相對矢徑，如圖10，因動坐標(biāo)系做平動，所以上式中對求絕對導(dǎo)數(shù)時不必考慮動坐標(biāo)系本身的運動，或者