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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)冪函數(shù) f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指數(shù)函數(shù) f(x)=ax (a>0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 對數(shù)函數(shù) f(x)=logax (a>0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx余切函數(shù) f(x)=cotx1.已知,對一切實數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0, 則已知等式變?yōu)樵谥辛?0則2=2 0=1為偶函數(shù)。2.奇

2、函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。解：由得，為函數(shù)，又在（-1，1）內(nèi)遞減，3.如果=(a>0)對任意的有,比較的大小解：對任意有=2為拋物線=的對稱軸又其開口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，為增函數(shù)(3)<(4),(2)<(1)<(4)4. 已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f

3、（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域為4，2。5. 已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由題設(shè)條件可猜測：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。 解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 < a < 3。6.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存

4、在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，則，。若f（x）0，則對任意，有，這與題設(shè)矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，則，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故對任意x，f（x）0恒成立。7.是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜測存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）x1時，

5、又x N時，f（x）0，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時有，則xk1時，xk1時，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時。8.設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），從而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函數(shù)，故，解之得：8x9。9.設(shè)函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。分析: 由題設(shè)條件可猜測yf（x）是對數(shù)函

6、數(shù)的抽象函數(shù)，又yf（x）的反函數(shù)是yg（x），yg（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（ab）g（a）·g（b）正確。解：設(shè)f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，g（m）a，g（n）b，從而，g（m）·g（n）g（mn），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）·g（b）。10. 己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三條件：當(dāng)是定義域中的數(shù)時，有；f（a）1（a0，a是定義域中的一個數(shù)）；當(dāng)0x2a時，f（x）0。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說明理由。分析

7、: 由題設(shè)知f（x）是y=-cotx的抽象函數(shù)，從而由y=-cotx及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把a(bǔ)看成進(jìn)行猜想）。解：（1）f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且是定義域中的數(shù)時有，在定義域中。，f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0x1x22a，則0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，f（a）1，f（2a）0，設(shè)2ax4a，則0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。設(shè)2ax1x24a，則0x2x12a，從而知f（x1）

8、，f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。11. 已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）f（x）·f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在0，）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在0，）上是增函數(shù)。解：（1）令y1，則f（x）f（x）·f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，時，f（x1）f（

9、x2），故f（x）在0，）上是增函數(shù)。（3）f（27）9，又，又，故。12. 設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時，；當(dāng)時，而所以又當(dāng)時，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在R上為增函數(shù)。13.已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。14.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當(dāng)x>0時，0<f(x)<1。判斷f(x)的單調(diào)性；解：在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當(dāng)時，所以當(dāng)

10、時而所以又當(dāng)x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。15. 設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解析:由單調(diào)性的定義步驟設(shè)x1<x2, 則f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)< f(x1). （x2-x1>0,f(x2-x1)<0）所以f(x)是R上的減函數(shù), 故f(x)在-3,3上的最大值為f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值為f(-3),令x=y=0,得f(0)

11、=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)為奇函數(shù).f(-3)=-f(3)=6.16.設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當(dāng)x>0時，f(x)>1,且對于任意實數(shù)x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求證：f(x)在R上為增函數(shù)。證明：設(shè)R上x1<x2，則f(x2-x1)>1，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此處不能直接得大于f(x1)，因為f(x1)的正負(fù)還沒確定) 。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x>0,y=0，則f(x)=0與x>0時，f(x)>1矛盾，所以f

12、(0)=1，x>0時，f(x)>1>0,x<0時，-x>0，f(-x)>1,由，故f(x)>0，從而f(x2)>f(x1).即f(x)在R上是增函數(shù)。17. 已知偶函數(shù)f(x)的定義域是x0的一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x1,x2都有，且當(dāng)時，（1）f(x)在(0,+)上是增函數(shù)； （2）解不等式解： （1）設(shè)，則，即，在上是增函數(shù)（2），是偶函數(shù)不等式可化為，又函數(shù)在上是增函數(shù)，0，解得：18.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,當(dāng)x>時，f(x)>0.求證：f(x)是單調(diào)

13、遞增函數(shù)；證明：設(shè)x1x2,則x2x1>,由題意f(x2x1)>0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)>0,f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).19.定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足: 對任意實數(shù)m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求證:f(xy)=f(x)+f(y)對任意正數(shù)x,y都成立; (2)證明f(x)是R+上的單調(diào)增函數(shù);(3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范圍.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n為實數(shù),則f(xy)=f(2m+n)

14、=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)故f(x1)<f(x2),即f(x)是R+上的增函數(shù).(3)由f(x)+f(x-3)2及f(x)的性質(zhì),得fx(x-3)2f(2)=f(2)，解得 3<x4.20. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。21. 已知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱且滿足，（2）存在正常數(shù)a，使f(a)=1.求證：f(x)是奇函數(shù)。 證明：設(shè)t=x-y,則，所以f(x)為奇函數(shù)。22. 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k·3)+f