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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三

2、角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一

3、個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一：，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡(jiǎn)得證6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾

4、股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程

5、主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）勾股定理典型例題及專項(xiàng)訓(xùn)練專題一：直接考查勾股定理及逆定理例.在中，已知，求的長(zhǎng) 已知，求的長(zhǎng)分析： 練習(xí)：1、如圖所示，在四邊形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。2已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是16，求這個(gè)等腰三角形的面積。3、已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。例2：已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和

6、12，求第三邊。練習(xí)：在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長(zhǎng)為多少？例3：（1）.已知ABC的三邊、滿足，則ABC為 三角形（2）.在ABC中，若=（+）（-），則ABC是 三角形，且 練習(xí)：1、已知 與互為相反數(shù)，試判斷以、為三邊的三角形的形狀。2、.若ABC的三邊、滿足條件，試判斷ABC的形狀。3.已知?jiǎng)t以、為邊的三角形是 例4：已知如圖，在ABC中，C=60°，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)。如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）（2）（3）以為三邊的三角形是直

7、角三角形經(jīng)典圖形突破：練習(xí)1.如圖，ABC中，AB=AC，A=45º，AC的垂直平分線分別交AB、AC于D、E，若CD=1，則BD等于(    )A1                         B           

8、60;        C                    D2.已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積3.ABC中，D是AB的中點(diǎn)，若AC=12，BC=5，CD=65 求證：ABC是直角三角形4.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，猜想AF與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由5.如圖，,分別以

9、各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積6.如圖2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng)7.如圖2-9，ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù)8.已知ABC中，ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD平分BAC,交BC于D點(diǎn)。求CD長(zhǎng) （2）BE平分ABC,交AC于E，求CE長(zhǎng)9.如圖，在四邊形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，求AB的長(zhǎng)10.如圖，P為ABC邊BC上一點(diǎn)，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度數(shù)。11、已知ABC

10、中，BAC750，C600，BC，求AB、AC的長(zhǎng)。 12、如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE于G。 （1）求證：G是CE的中點(diǎn)； （2）B2BCE。 （3）若AC=6,AB=8，求DG的長(zhǎng)。專題二 勾股定理的證明1、利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱為弦圖從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積因而c2 化簡(jiǎn)后即為c2 abc2、如圖，是2002年8月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為 abcl3、2002年8月2028日在北

11、京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形拼成的（直角邊長(zhǎng)分別為2和3），則大正方形的面積是 4、如圖，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）（）4（）6（）16（）55aAADAABCbc第4題圖5、一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面倒下到的位置，連結(jié)，設(shè)，請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理：.6、如圖是2002年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形. 證：ABFDAE7、（2010年遼寧省丹東市）圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，小穎將圖圖第7

12、題圖圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是（ ）A B C D專題三 網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（ ） ABC（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 33、（2010年四川省眉山市）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ）A90° B60° C4

13、5° D30°4、如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)得到，可得ABC，則邊AC上的高為（ ）A. B. C. D. 5、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3、的三角形所畫的三角形是直角三角形嗎?說(shuō)明理由6、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，在圖中畫出面積為2的三個(gè)形狀不同的三角形（要求頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形）專題四 實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？