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1、勾股定理全章知識點總結(jié)大全一基礎(chǔ)知識點：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一

2、定理時應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和

3、題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；

4、等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)

5、合”的理解我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）勾股定理典型例題及專項訓(xùn)練專題一：直接考查勾股定理及逆定理例.在中，已知，求的長 已知，求的長分析： 練習(xí)：1、如圖所示，在四邊形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。2已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。3、已知：如圖，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。例2：已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。練習(xí)：在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=

6、12，則BC的長為多少？例3：（1）.已知ABC的三邊、滿足，則ABC為 三角形（2）.在ABC中，若=（+）（-），則ABC是 三角形，且 練習(xí)：1、已知 與互為相反數(shù)，試判斷以、為三邊的三角形的形狀。2、.若ABC的三邊、滿足條件，試判斷ABC的形狀。3.已知則以、為邊的三角形是 例4：已知如圖，在ABC中，C=60，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長。如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）（2）（3）以為三邊的三角形是直角三角形經(jīng)典圖形突破：練習(xí)1.如圖，ABC中，AB=AC，A=45，AC的垂直平分線分別交

7、AB、AC于D、E，若CD=1，則BD等于( )A1 B C D2.已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是2+，求這個三角形的面積3.ABC中，D是AB的中點，若AC=12，BC=5，CD=65 求證：ABC是直角三角形4.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且EC=BC，猜想AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由5.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積6.如圖2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點，且ADAC，求BD的長7.如圖2-9，ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù)8.已

8、知ABC中，ACB=90，AC=3,BC=4,（1）AD平分BAC,交BC于D點。求CD長 （2）BE平分ABC,交AC于E，求CE長9.如圖，在四邊形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，求AB的長10.如圖，P為ABC邊BC上一點，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度數(shù)。11、已知ABC中，BAC750，C600，BC，求AB、AC的長。 12、如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE于G。 （1）求證：G是CE的中點； （2）B2BCE。 （3）若AC=6,AB=8，求DG的長。專題二 勾股定理的證明1、利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖

9、所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個直角三角形面積因而c2 化簡后即為c2 abc2、如圖，是 8月北京第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長分別為 abcl3、 8月2028日在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會大會會標(biāo)如圖所示，它是由四個相同的直角三角形拼成的（直角邊長分別為2和3），則大正方形的面積是 4、如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）（）4（）6（）16（）55aAADAABCbc第4題圖5、一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們

10、發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的一個側(cè)面倒下到的位置，連結(jié)，設(shè)，請利用四邊形的面積證明勾股定理：.6、如圖是 8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形. 證：ABFDAE7、（20XX年遼寧省丹東市）圖是一個邊長為的正方形，小穎將圖圖第7題圖圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗證的式子是（ ）A B C D專題三 網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（ ） ABC（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）

11、AB、CD、EF2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 33、（20XX年四川省眉山市）如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B60 C45 D304、如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個得到，可得ABC，則邊AC上的高為（ ）A. B. C. D. 5、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點稱為格點，請以圖中的格點為頂點畫一個邊長為3、的三角形所畫的三角形是直角三角形嗎?說明理由6、如圖，每個小正方形的邊長是1，在圖中畫出面積為

12、2的三個形狀不同的三角形（要求頂點在交點處，其中至少有一個鈍角三角形）專題四 實際應(yīng)用建模測長1、如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.2、有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？3、臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺

13、風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達到或走過四級，則稱為受臺風(fēng)影響.（1）該城市是否會受到這交臺風(fēng)的影響？請說明理由.（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市持續(xù)時間有多少？（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？專題五 梯子問題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？AABABOA第20題圖2、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？ 3

14、、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，ACBC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯足B沿CB方向滑動y米，則x與y的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 不能確定專題六 最短路線1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學(xué)為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了（）步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草A、6B、5 C、4D、32、如圖，一圓柱體的底面周長為20，高AB為10，BC是上底面的直徑。一螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程。3、如圖，有一個圓柱體，底面周長為20，高AB為10，在圓柱的下底面A點處有一只螞蟻，它想繞圓柱體

15、側(cè)面一周爬行到它的頂端C點處，那么它所行走的路程是多少？AC4、如圖，假如這是一個圓柱體的玻璃杯， AD是杯底直徑，C是杯口一點，其他已知條件不變，螞蟻從外部點A處爬到杯子的內(nèi)壁到達高CD的中點E處，最短該走多遠(yuǎn)呢？(杯子的厚度不計）5、為籌備迎新生晚會，同學(xué)們設(shè)計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖，已知圓筒高108cm，其圓筒底面周長為36cm，如果在表面纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長油紙？BA6、如圖，一只螞蟻從一個棱長為1米，且封閉的正方體盒子外部的頂點A向頂點B爬行，問這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？7、（2004淄博）如圖是一塊長，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長

16、方體木塊一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）A、（3+2）cmB、cmC、cmD、cm8、如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高 為20cm，點B到點C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從A點爬到B點，需要爬行的最短距離是多少？BCA2015109、如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點，最少要花幾秒鐘？10、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m，

17、A和B是臺階上兩個相對的頂點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，問螞蟻沿著臺階爬行到B點的最短路程是多少？AB030.22.11、(2010福建泉州市惠安縣)如圖，長方體的底面邊長分別為1cm 和3cm，高為6cmBA6cm3cm1cm第17題圖如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，那么所用細(xì)線最短需要_cm；如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞3圈到達點B，那么所用細(xì)線最短需要_cm專題七 折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8。現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長 2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個直角三角形的紙片

18、，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？3、三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，將AB向AC方向?qū)φ郏賹D折疊到CA邊上，折痕CE，求三角形ACE的面積4、如圖, ABC的三邊BC=3，AC=4、AB=5,把ABC沿最長邊AB翻折后得到ABC，則CC的長等于（ ）A. B. C. D.專題八 折疊四邊形1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求（1）CF的長 （2）EC的長.2、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，

19、求（1）DE的長；（2）EF的長。3.(2010福建泉州市惠安縣)矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為_.ABCDEG第16題圖F4、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積為_5、如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G。如果M為CD邊的中點，且DE=6，求正方形ABCD的面積6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它對折，折痕為EF，展開后再沿BG折疊

20、，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的長。7、如圖，把矩形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，點落在點處。（1）求證：；（2）設(shè)，試猜想之間的一種關(guān)系，并給予證明8、如圖，B=90，AB=BC=4，AD=2，CD=6（1） ACD是什么三角形？為什么？（2） 把ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點E，若重疊部分面積為4，求DE的長。9、邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對角線AC折疊后，點B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交x軸于點D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線解析式.10、（20XX年廣東省廣州市）如圖所示，四邊形

21、OABC是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E（1）記ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.CDBAEO專題九 旋轉(zhuǎn)問題：1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP=3，求PP的長。2、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的

22、邊長.3、如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的點，且EAF=45，試探究間的關(guān)系，并說明理由. 4、如圖所示，P為正方形ABCD內(nèi)一點，將ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)到CBE的位置，若BP=，求：以PE為邊長的正方形的面積 5、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。6、如圖所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一點，求證：BD。 7、如圖，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為8cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊上（

23、不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，(1) 求BP+CP的值（2）請你求出這時 AP 的長。8、已知AOB=90，在AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與點C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的反向延長線）相交于點D、E。當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時，如圖，易證：；當(dāng)三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，如圖、這兩種情況下，上述結(jié)論還是否成立？若成立，請給與證明；若不成立，線段OE、OC、OD之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明。9、（20XX年寧德市）（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點在何處時，AMCM的值最??；當(dāng)M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.EA DB CNM