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1、此資料由網絡收集而來，如有侵權請告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負責傳遞知識。平面向量的線性運算【學習目標】1.能熟練運用三角形法則和平行四邊形法則，作出幾個向量的和、差向量.2能結合圖形進行向量的計算3能準確表達向量加法的交換律和結合律，并能熟練地進行向量計算4理解實數與向量的積的意義，會利用實數與向量的積的運算律進行計算5掌握向量共線的條件【要點梳理】要點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1.向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則2向量加法的平行四邊形法則 已知

2、兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則求兩個向量和的運算，叫做向量的加法對于零向量與任一向量，我們規(guī)定要點詮釋：兩個向量的和與差仍是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點.要點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律1.向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量這個法則叫做向量求和的多邊形法則特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有2向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結合律：要點三：向量的三角形不等式由

3、向量的三角形法則，可以得到(1)當不共線時，；(2)當同向且共線時，同向，則；(3) 當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，要點四：向量的減法1向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法此定義是向量加法的逆運算給出的相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質就是把向量減法化為向量加法要點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質是一樣的（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則（3）兩個向量的差仍是一個向量2向量減法的作圖方法（1）已知向量，

4、作，則=,即向量等于終點向量（）減去起點向量（）利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出作，則，如圖由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量要點五：數乘向量1.向量數乘的定義實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作：(1)；(2)當時，的方向與的方向相同；當時.的方向與的方向相反；當時，.2向量數乘的幾何意義由實數與向量積的定義知，實數與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的

5、倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=-，與互為相反向量；當時，=實數與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法3.向量數乘的運算律設為實數結合律：； 分配律：，要點六：向量共線的條件 1向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線（2）當向量時，對于向量如果有一個實數，使，那么由實數與向量的積的定義知與共線反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，2向量共線的判定定理 是一個非零向量，若存在一個實數，使，則向量與非零向量共線3向量共線的性質定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數，使要點詮釋：

6、（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數，使（4）是判定兩個向量共線的重要依據，其本質是位置關系與數量關系的相互轉化，體現了數形結合的高度統(tǒng)一.【典型例題】類型一：向量的加法運算例1如圖所示，已知三個向量、，試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量+ 【解析】 利用三角形法則作+，如圖1所示，作，以A為起點，作，再以B為起點，作，則利用平行四邊形法則作+，如圖2所示，作，以、為鄰邊作平行四邊形OADB，則，再以、為鄰邊作平行四邊形ODEC，則 【總結升華】題中，要求作三個向量的和，首先求作兩個向

7、量的和，因為這兩個向量的和仍為一個向量，然后求這個向量與另一個向量的和，方法是多次使用三角形法則或平行四邊形法則 舉一反三： 【變式1】已知任意四邊形ABCD，E為AD的中點，F為BC的中點，求證：【證明】如圖所示，在四邊形CDEF中，所以在四邊形ABFE中，所以所以因為E、F分別是AD、BC的中點，所以，所以【總結升華】本題主要應用了封閉圖形中所有向量依次相加之和為零向量的知識類型二：向量的減法運算例2（1）在平面內任畫兩個非零向量、，求作；（2）如圖，已知不共線的兩個非零向量、，求作向量，【解析】 （1）當、共線時，若、同向，如下圖甲任取一點A，作，則 若、反向，如上圖乙任取一點，作，則當

8、、不共線時，如下圖（左）在平面內任取一點O，作，則 （2）作，則，如圖（右）【總結升華】（1）題中，需要根據不同的情況分別求解緊扣向量減法的定義是解決問題的關鍵（2）題中，求兩個向量的加法、減法要注意三角形法則和平行四形法測的應用，求兩個向量的減法可以轉化為向量的加法來進行，也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則兩向量的差就是連接兩向量的終點，且指向被減向量的終點舉一反三：【變式1】為正六邊形的中心，設,，則等于（ ）（） （） （） （）【答案】【高清課堂：向量的線性運算 395568 例2】【變式2】化簡 【解析】原式=類型三：與向量的模有關的問題例3（1）已知、的模分

9、別為1、2、3，求|+|的最大值；（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，設，試求|+|的大小【思路點撥】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）構造平行四邊形求向量模的長度【解析】（1）|+|+|+|=1+2+3=6，|+|的最大值為6（2）過點D作AC的平行線，交BC的延長線于E，如圖所示DEAC，ADBE，四邊形ADEC為平行四邊形，于是， 【總結升華】 求若干個向量的和的模（或最值）問題通常按下列方法進行：尋找或構造平行四邊形借助已知長度的向量表示待求模的向量來求模（或利用向量的和的模的性質）舉一反三：【變式1】已知非零向量，滿足，且|=4，求|+|的值【解析】 如圖，則以OA與OB為鄰邊

10、作平行四邊形OACB，則由于故，所以OAB是AOB為90的直角三角形，從而OAOB，所以OACB是矩形根據矩形的對角線相等有，即|+|=4類型四：向量的數乘運算例4 計算下列各式：（1）4(+)3()；（2）3(2+)(2+3)；（3）【解析】 （1）原式=43+4+3=+7（2）原式=36+32+3=7+6（3）原式 【總結升華】數乘向量與數乘數不同，前者結果是一個向量，后者結果是一個數，0時，與同向；0時，與反向；=0時，=0；故與一定共線應用實數與向量的積的運算律時，應聯(lián)想數與數乘積運算的有關知識，加深對數乘向量運算律的理解舉一反三： 【變式1】計算：（1）6(32)+9(2+)；（2）

11、；（3）6(+)4(2+)2(2+)【解析】 （1）原式=181218+9=3（2）（3）原式=66+64+84+42=(64+4)+(86)+(642)=6+2例5.如圖所示，的兩條對角線相交于點，且用表示【思路點撥】利用三角形法則和數乘運算，用向量法討論幾何問題，關鍵是選取適當的基向量表示其他向量，本題的基底就是，由它可以“生”成.【解析】在中 【總結升華】用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量加、減法、數乘向量外，還應充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數乘

12、運算來求解，既充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系，運用加法三角形、平行四邊形法則，運用減法三角形法則，充分利用三角形的中位線，相似三角形對應邊成比例的平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解.舉一反三：【高清課堂：向量的線性運算 395568 例6】【變式1】如圖，已知三邊中點為，求證：.【解析】=【變式2】如圖，四邊形OADB是以向量，為鄰邊的平行四邊形，又，試用向量、表示，【解析】 ，類型五：共線向量與三點共線問題例6.設兩非零向量和不共線，(1)如果求證三點共線.(2)試確定實數，使和共線.【思路點撥】 要證明三點共線，須證存在使即可.而若和共線，則一定存

13、在，使.【解析】(1)證明 共線，又有公共點，三點共線.(2)解 和 共線，存在，使，則由于 和不共線，只能有 則.【總結升華】本題充分地運用了向量共線的充要條件，即共線存在使(正用與逆用)舉一反三：【變式1】兩個非零向量，不共線（1）若，求證：A、B、D三點共線（2）求實數k，使k+與2+k共線【解析】證明三點共線，一般轉化為證明有共同起點的兩個向量共線，可用向量的共線定理進行討論（1）證明：因為，所以與共線，又因為它們有公共起點A，所以A、B、D三點共線（2）解：因為k+與2+k共線，所以存在實數使k+=(2+k)，即(k2)+(1k)=0所以，解得或，所以【總結升華】若與不共線，則向量1

14、+1與向量2+2共線需要滿足條件：（其中20，20）類型六：向量的綜合應用例7已知A、B、C是不共線的三點，O是ABC內一點，若，證明O是ABC的重心【思路點撥】 要證明O是ABC的重心，即證O是ABC各邊中線的交點，可聯(lián)系重心的性質證之【證明】 ，即是與方向相反且長度相等的向量如圖所示，以OB、OC為相鄰兩邊作OBDC，則，在OBDC中，設BC與OD相交于E，則，AE是ABC的BC邊上的中線，且根據平面幾何知識，知O是ABC的重心【總結升華】若且直線AB與直線CD不重合，則ABCD若且直線AB與直線CD不重合，則以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形舉一反三：【變式1】如圖，已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，求證：證明：取以點A為起點的向量，應用三角形法