《北京四中高中數(shù)學(xué) 平面向量的線性運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)講解 新人教A版必修1.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北京四中高中數(shù)學(xué) 平面向量的線性運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)講解 新人教A版必修1.doc（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

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2、知兩個(gè)不共線向量，作，則三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定要點(diǎn)詮釋：兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn).要點(diǎn)二：向量求和的多邊形法則及加法運(yùn)算律1.向量求和的多邊形法則的概念已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則特別地，當(dāng)與重合，即一個(gè)圖形為封閉圖形時(shí)，有2向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：要點(diǎn)三：向量的三角形不等式

3、由向量的三角形法則，可以得到(1)當(dāng)不共線時(shí)，；(2)當(dāng)同向且共線時(shí)，同向，則；(3) 當(dāng)反向且共線時(shí)，若，則同向，；若，則同向，要點(diǎn)四：向量的減法1向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法此定義是向量加法的逆運(yùn)算給出的相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實(shí)質(zhì)就是把向量減法化為向量加法要點(diǎn)詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實(shí)質(zhì)是一樣的（2）對(duì)于相反向量有；若，互為相反向量，則（3）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量2向量減法的作圖方法（1）已知向量

4、，（如圖），作，則=,即向量等于終點(diǎn)向量（）減去起點(diǎn)向量（）利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)的，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量（2）利用相反向量作圖，通過(guò)向量加法的平行四邊形法則作出作，則，如圖由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量要點(diǎn)五：數(shù)乘向量1.向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：(1)；(2)當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí).的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.2向量數(shù)乘的幾何意義由實(shí)數(shù)與向量積的定義知，實(shí)數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上

5、伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=-，與互為相反向量；當(dāng)時(shí)，=實(shí)數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法3.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：； 分配律：，要點(diǎn)六：向量共線的條件 1向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，2向量共線的判定定理 是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線3向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，

6、使要點(diǎn)詮釋：（1）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.【典型例題】類型一：向量加法的幾何運(yùn)算例1如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）；（3）【解析】（1）由圖知，OABC為平行四邊形，（2）由圖知，（3），又，【總結(jié)升華】利用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則求兩個(gè)向量的和向量，注意當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍適用，而平行四邊形法則不適用舉一反三：【變式1】在平

7、行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F若，則（ ）A B C D 【答案】B 類型二：向量減法的幾何運(yùn)算例2如圖，解答下列各題：（1）用，d，e表示；（2）用，c表示；（3）用，e表示；（4）用d，表示【答案】（1）（2）【解析】 ，（1）（2）（3）（4）【總結(jié)升華】在本題中，我們看到，這兩個(gè)向量的表示并不唯一在解決這類問(wèn)題時(shí)，要注意向量加法、減法和共線（相等）向量的應(yīng)用當(dāng)運(yùn)用三角形法則時(shí)，要注意兩向量首尾相接，當(dāng)兩個(gè)向量起點(diǎn)相同時(shí)，可以考慮用減法舉一反三：【高清課堂：向量的線性運(yùn)算 395568 例1】【變式1】為正六邊形的中心，設(shè),，則等于

8、（ ）（） （） （） （）【答案】【變式2】如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè) ，求證： 【解析】，即類型三：與向量的模有關(guān)的問(wèn)題例3 已知非零向量，滿足，且|=4，求|+|的值【解析】 如圖，則以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則由于故，所以O(shè)AB是AOB為90的直角三角形，從而OAOB，所以O(shè)ACB是矩形根據(jù)矩形的對(duì)角線相等有，即|+|=4【總結(jié)升華】 （1）向量+，的幾何意義在證明、運(yùn)算中具有重要的應(yīng)用對(duì)于平行四邊形、菱形、矩形、正方形對(duì)角線具有的性質(zhì)要熟悉并會(huì)應(yīng)用（2）關(guān)于向量的加減法運(yùn)算除掌握法則外，還應(yīng)注意一些特殊情況，如零向量、共線向量等要注意到

9、向量的加法和求模運(yùn)算的次序不能交換，即兩個(gè)向量和的模不一定等于這兩個(gè)向量的模的和因?yàn)橄蛄康募臃▽?shí)施的對(duì)象是向量，而模是數(shù)量，模的加法是數(shù)量的加法舉一反三：【變式1】若，則的取值范圍是多少？【答案】【解析】當(dāng)，同向時(shí)，當(dāng)，反向時(shí)，；當(dāng)，不共線時(shí)，類型四：向量的數(shù)乘運(yùn)算例4 計(jì)算下列各式：（1）4(+)3()；（2）3(2+)(2+3)；（3）【解析】（1）原式=43+4+3=+7（2）原式=36+32+3=7+6（3）原式 【總結(jié)升華】 數(shù)乘向量與數(shù)乘數(shù)不同，前者結(jié)果是一個(gè)向量，后者結(jié)果是一個(gè)數(shù)，0時(shí)，與同向；0時(shí)，與反向；=0時(shí)，=0；故與一定共線應(yīng)用實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律時(shí)，應(yīng)聯(lián)想數(shù)與數(shù)乘積

10、運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，加深對(duì)數(shù)乘向量運(yùn)算律的理解舉一反三： 【變式1】計(jì)算：（1）6(32)+9(2+)；（2）；（3）6(+)4(2+)2(2+)【解析】 （1）原式=181218+9=3（2）（3）原式=66+64+84+42=(64+4)+(86)+(642)=6+2例5.如圖所示，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且用表示【思路點(diǎn)撥】利用三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算，用向量法討論幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)幕蛄勘硎酒渌蛄?，本題的基底就是，由它可以“生”成.【解析】在中 【總結(jié)升華】用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量加、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要

11、盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解，既充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系，運(yùn)用加法三角形、平行四邊形法則，運(yùn)用減法三角形法則，充分利用三角形的中位線，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解.舉一反三：【變式1】如圖，四邊形OADB是以向量，為鄰邊的平行四邊形，又，試用向量、表示，【解析】 ，類型五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題例6.設(shè)兩非零向量和不共線，(1)如果求證三點(diǎn)共線.(2)試確定實(shí)數(shù)，使和共線.【思路點(diǎn)撥】要證明三點(diǎn)共線，須證存在使即可.而若和共線，則

12、一定存在，使.【解析】(1)證明 共線，又有公共點(diǎn)，三點(diǎn)共線.(2)解 和 共線，存在，使，則由于 和不共線，只能有 則.【總結(jié)升華】本題充分地運(yùn)用了向量共線的充要條件，即共線存在使(正用與逆用)舉一反三：【變式1】設(shè)和是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量，試證明：A、C、D三點(diǎn)共線.證明： 又與共線，A、C、D三點(diǎn)共線.【變式2】設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值【解析】，若A，B，D三點(diǎn)共線，則與共線，則21=k(4)，k=8類型六：向量在證明平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用 例7 如圖，已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)求證：【證明】取以點(diǎn)A為起點(diǎn)的向量

13、，應(yīng)用三角形法則求，如下圖E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，又，【總結(jié)升華】 掌握向量的線性運(yùn)算是關(guān)鍵，利用封閉圖形的依次各向量之和為零向量進(jìn)行變形而得到 舉一反三：【變式1】 已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角AC與BD交于O，且AO=OC，DO=OB求證：四邊形ABCD是平行四邊形（要求用向量的方法證明）【證明】根據(jù)向量加法的三角形法則，有，又，ABDC，AB=DC即AB與DC平行且相等四邊形ABCD是平行四邊形【總結(jié)升華】（1）用向量方法證明幾何問(wèn)題，首先要把幾何問(wèn)題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量，通過(guò)向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系，然后再還原成幾何問(wèn)題（2）注意以下兩個(gè)問(wèn)題：法則的靈活應(yīng)用；要注意有向線段表示的向量相等，說(shuō)明有向線段所在直線平行或重合且長(zhǎng)度相等