《北京四中高中數(shù)學(xué) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)知識講解 新人教A版必修1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北京四中高中數(shù)學(xué) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)知識講解 新人教A版必修1.doc（9頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、此資料由網(wǎng)絡(luò)收集而來，如有侵權(quán)請告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負責(zé)傳遞知識。平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.【要點梳理】要點一：平面向量基本定理1平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合.其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.這說明如果且，那么.當(dāng)基底是兩個互相垂

2、直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).要點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量.2如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不供線的向量的線性組合（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的（2）在解具體問題時，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示選擇了不共線的兩

3、個向量、 ，平面上的任何一個向量都可以用、 唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、 的代數(shù)運算要點二：向量的夾角 已知兩個非零向量與，在平面上任取一點O，作，則叫做與的夾角，記為，當(dāng)向量與不共線時，與的夾角；當(dāng)向量與共線時，若同向，則；若反向，則，綜上可知向量與的夾角當(dāng)向量與的夾角是，就說與垂直，記作要點詮釋：（1）向量夾角是指非零向量的夾角，零向量與任何向量不能談夾角問題（2）向量是兩向量夾角的特殊情況，可以理解為兩向量所在直線互相垂直要點三：平面向量的坐標(biāo)表示1正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解要點詮釋：如果基底的兩個基向量、互相垂直，則稱

4、這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式2平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)把=叫做向量的坐標(biāo)表示給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系要點詮

5、釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中（2）要把點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點、終點的坐標(biāo)可以不同比如，若，則；若，則，顯然A、B、C、D四點坐標(biāo)各不相同（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量要點四：平面向量的坐標(biāo)運算 1平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運算運 算坐標(biāo)語言加法與減法記=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)，則=(x，y)2如何進行平面向量的坐標(biāo)運算在進行平面向量的坐標(biāo)運算時，應(yīng)先將平面向量用坐

6、標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運算法則進行計算在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點、終點坐標(biāo)有關(guān)，只有起點在原點時，平面向量的坐標(biāo)與終點的坐標(biāo)才相等（2）進行平面向量坐標(biāo)運算時，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點、終點的關(guān)系（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置無關(guān)

7、要點五：平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示1平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要點詮釋：若，則不能表示成因為分母有可能為0.2.三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若則A，B，C三點共線.【典型例題】類型一：平面向量基本定理例1如果、是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（ ）可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮多個；若向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使得；若實數(shù)，使得，則A

8、 B C D【思路點撥】考查平面向量基本定理【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，是正確的對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的對于，當(dāng)向量與均為零向量，即時，滿足條件的實數(shù)有無數(shù)個故選B【總結(jié)升華】考查兩個向量能否構(gòu)成基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個向量都可以由這組基底唯一表示例2如圖所示，四邊形OADB是以向量，為鄰邊的平行四邊形，C為對角線的交點又，試用，表示，【解析】 由題意，得，所以，則，【總結(jié)升華】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平面四邊

9、形法則結(jié)合實數(shù)與向量的積的定義，解題時要注意解題途徑的優(yōu)化與組合舉一反三：【高清課堂：平面向量基本定理及坐標(biāo)運算394885 例1】【變式1】如圖，在中，是中點，線段與交于點，試用基底表示：（1）；（2）；（3）.【解析】（1） = = = =（2）=（3）在中，取同理：是的中點 =類型二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題例3設(shè)兩個非零向量和不共線 （1）如果，求證：A、C、D三點共線；（2）如果，且A、B、C三點共線，求k的值【思路點撥】向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想【解析】（1）證明：，與共線又與有

10、公共點，A、C、D三點共線（2），A、C、D三點共線，與共線，從而存在實數(shù)使得，即32=(2k)，由平面向量的基本定理，得，解之得，【總結(jié)升華】證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線舉一反三：【變式1】設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，如果，求證：A，C，D三點共線【解析】 因為，所以與共線類型三：平面向量的正交分解例4如下圖，分別用基底，表示向量、，并求出它們的坐標(biāo)【解析】 由圖可知，=（2，3）同理可知=3+4=（3，4）=44=（4，5）【總結(jié)升華】向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示方法，對此要從兩個方面加深理解：一是

11、相等向量的坐標(biāo)相同；二是當(dāng)向量的起點在原點時，終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)舉一反三：【變式1】已知O是坐標(biāo)原點，點M在第二象限，xOM=120，求的坐標(biāo)【解析】設(shè)M（x，y），則 ，即，所以類型四：平面向量的坐標(biāo)運算例5已知，且求M、N及的坐標(biāo).【思路點撥】根據(jù)題意可設(shè)出點C、D的坐標(biāo)，然后利用已知的兩個關(guān)系式，列方程組，求出坐標(biāo).【解析】 設(shè)，則同理可求，因此【總結(jié)升華】向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式，它只與起點、終點、相對位置有關(guān)，三者中給出任意兩個，可求第三個.在求解時，應(yīng)將向量坐標(biāo)看做一“整體”，運用方程的思想求解.向量的坐標(biāo)運算是向量中最常用也是最基本的運算，必須熟練掌握.舉一反三：【變

12、式1】 已知點以及求點C，D的坐標(biāo)和的坐標(biāo).【解析】設(shè)點C、D的坐標(biāo)分別為，由題意得因為，所以有和，解得和所以點C、D的坐標(biāo)分別是(0，4)，(-2，0)，從而類型五：平面向量平行的坐標(biāo)表示例6如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），M、N分別為DC、AB的中點，求、的坐標(biāo)，并判斷、是否共線【解析】 已知A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），又M、N分別為DC、AB的中點，由中點坐標(biāo)公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），其坐標(biāo)滿足2.5(2.5)2.5(2.5)=0，、共線【總結(jié)升華】求出兩向量的坐標(biāo)，驗證x1y

13、2x2y1=0即可舉一反三：【變式1】向量，當(dāng)k為何值時，A、B、C三點共線？【解析】 ，A、B、C三點共線，即(k4)(12k)(k10)7=0整理，得k29k22=0解得k1=2或k2=11當(dāng)k=2或11時，A、B、C三點共線【總結(jié)升華】以上方法是用了A、B、C三點共線即公共點的兩個向量，共線，本題還可以利用A、B、C三點共線或，即得k=2或11時，A、B、C三點共線【變式2】已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）若為實數(shù)，（+），則=（ ）A B C1 D2【答案】B【高清課堂：平面向量基本定理及坐標(biāo)運算394885 例4】例7如圖，已知點A（4，0），B（4，4），C（2，6

14、），求AC與OB的交點P的坐標(biāo)【解析】方法一：由O、P、B三點共線，可設(shè)，則，由與共線得(44)64(2)=0，解得，所以所以P點坐標(biāo)為（3，3）方法二：設(shè)P（x，y），則，因為，且與共線，所以，即x=y又，且與共線，則得(x4)6y(2)=0，解得x=y=3，所以P點坐標(biāo)為（3，3）【總結(jié)升華】（1）平面向量的坐標(biāo)表示，使向量問題完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，這樣很多幾何問題的證明，就轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)量運算（2）要注意把向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)區(qū)別開來，只有當(dāng)始點在原點時，向量坐標(biāo)才與終點坐標(biāo)相等舉一反三：【變式1】如圖，已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，1）、（1，3）、（3，4），試求頂點D的坐標(biāo)【解析】設(shè)頂點D的坐標(biāo)為（x，y），由，得（1，2）=（3x，4y），頂點D的坐標(biāo)為（2，2）