《北京四中高中數(shù)學(xué) 平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)知識(shí)講解 新人教A版必修1.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北京四中高中數(shù)學(xué) 平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)知識(shí)講解 新人教A版必修1.doc（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、此資料由網(wǎng)絡(luò)收集而來(lái)，如有侵權(quán)請(qǐng)告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負(fù)責(zé)傳遞知識(shí)。平面向量的數(shù)量積 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一： 平面向量的數(shù)量積1. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要點(diǎn)詮釋：1. 兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很

2、大區(qū)別(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě)成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“”代替.(3)在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出.因?yàn)槠渲杏锌赡転?.2. 投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為；當(dāng)=180時(shí)投影為.要點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義圖（1）（2）（3）所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)

3、向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即 事實(shí)上，當(dāng)為銳角時(shí)，由于，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以，此時(shí)與重合；當(dāng)時(shí)，由于，所以；當(dāng)當(dāng)時(shí)，由于，所以要點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量.1.2.3.當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，. 特別的或4.5.要點(diǎn)四：向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1.交換律：2.數(shù)乘結(jié)合律：3.分配律：要點(diǎn)詮釋：1.已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c.但是；2.在實(shí)數(shù)中，有(ab)c=a(bc)，但是顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線.要點(diǎn)五：向量

4、數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.已知兩個(gè)非零向量，2.設(shè)，則或3.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式).要點(diǎn)六：向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的充要條件(2)證明垂直問(wèn)題，常用垂直的充要條件(3)求夾角問(wèn)題由向量，數(shù)量積可知，若它們的夾角為，則，利用(4)求線段的長(zhǎng)度，可以利用或【典型例題】類型一：平面向量數(shù)量積的概念例1已知、是三個(gè)非零向量，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（ ）=|；、反向=|；|+|=|；|=|=|A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】C【解析】（1）=| |b|cos，由=| |及、為非零向量可得co

5、s=1，=0或，且以上各步均可逆，故敘述是正確的（2）若、反向，則、的夾角為，=| |cos=| |且以上各步均可逆，故敘述是正確的（3）當(dāng)時(shí)，將向量、的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)，則以向量、為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)相等，即有|+|=|反過(guò)來(lái)，若|+|=|，則以、為鄰邊的四邊形為矩形，故敘述是正確的（4）當(dāng)|=|，但與的夾角和與的夾角不等時(shí)，就有|，反過(guò)來(lái)的由|=|也推不出|=|故敘述是不正確的綜上所述，在四個(gè)敘述中，前3個(gè)是正確的，而第4個(gè)是不正確的【總結(jié)升華】需對(duì)以上四個(gè)敘述逐一判斷，依據(jù)有兩條，一是向量數(shù)量積的定義；二是向量加法與減法的平行四邊形法則舉一反三

6、：【變式1】如果=，且0，那么（ ）A= B= C D、在方向上的投影相等【答案】D類型二：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例2已知|=4，|=5，當(dāng)（1），（2），（3）與的夾角為30時(shí)，分別求與的數(shù)量積【思路點(diǎn)撥】 已知向量|與|，求，只需確定其夾角【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有=0和=180兩種可能若與同向，則=0，=| |b|cos0=451=20；若與反向，則=180，=| |cos180=45(1)=20（2）當(dāng)時(shí)，=90，=| |cos90=0（3）當(dāng)與的夾角為30時(shí)，=| |cos30=45【總結(jié)升華】（1）在表示向量的數(shù)量積時(shí)，與之間必須用實(shí)心圓“”來(lái)連接，而不能用“”連接，也不能省略（2）求平

7、面向量數(shù)量積的步驟是：求與的夾角，0，180分別求|和|求它們的數(shù)量積，即=| |cos 舉一反三：【變式1】已知|=5，|=4，=，求（+）.【答案】35【解析】（+）=35例3（1）若|=4，=6，求在方向上的投影；（2）已知|=6，為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角分別等于60、90、120時(shí)，求出在方向上的正投影，并畫(huà)圖說(shuō)明【答案】（1）（2）略【解析】 （1）=| |cos=6，又|=4，4|cos=6，（2）在方向上的投影為|cos 如上圖所示，當(dāng)=60時(shí)，在方向上的正投影的數(shù)量為|cos60=3；當(dāng)=90時(shí)，在方向上的投影的數(shù)量為|cos90=0；當(dāng)=120時(shí)，在方向上的正投影的數(shù)量為

8、|cos120=3【總結(jié)升華】 要注意在方向上的投影與在方向上的投影不是不同的類型三：平面向量模的問(wèn)題例4已知|=|=4，向量與的夾角為，求|+|，|【解析】因?yàn)?=|2=16，2=|2=16，所以同事可求【總結(jié)升華】關(guān)系式2=|2，可使向量的長(zhǎng)度與向量的數(shù)量積互相轉(zhuǎn)化因此欲求|+|，可求(+)(+)，并將此式展開(kāi)由已知|=|=4，得=16，也可求得為8，將上面各式的值代入，即可求得被求式的值舉一反三：【高清課堂：平面向量的數(shù)量積395485 例4】【變式1】已知，求【答案】 【解析】，同理，【變式2】已知向量滿足，且的夾角為60，求.【答案】 【解析】 ，且的夾角為60 ； 【總結(jié)升華】要根

9、據(jù)實(shí)際問(wèn)題選取恰當(dāng)?shù)墓筋愋退模合蛄看怪保ɑ驃A角）問(wèn)題 例5已知是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足，求的夾角.【思路點(diǎn)撥】利用求出兩個(gè)向量的夾角【解析】法一：將兩邊平方得， 則， 故的夾角為30.法二： 數(shù)形結(jié)合法如圖，構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，向量是向量與向量夾角的角平分線，所以向量與向量所成的夾角為30【總結(jié)升華】注意兩個(gè)向量夾角共起點(diǎn)，靈活應(yīng)用兩個(gè)向量夾角的兩種求法. 舉一反三：【變式1】已知向量,滿足（）(2+)= 4,且|=2，| |=4，求,【答案】120【解析】原式=，=,=120例6已知、都是非零向量，且+3與75垂直，4與72垂直求與的夾角【思路點(diǎn)撥】由題意知， =0，解得|=|【解析】+3

10、與75垂直，(+3)(75)=04與72垂直，(4)(72)=0于是有由得 2=2 將代入得 2=2，|=|0180，=60【總結(jié)升華】 正確理解和把握向量數(shù)量積性質(zhì)的運(yùn)用，以及向量夾角的范圍，由2=2，不能得出2=，同樣由2=2，也不能得出=或=舉一反三：【變式1】已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向+與向量k垂直，則k=_【答案】【變式2】設(shè)非零向量，滿足，求證： 【證明】 類型五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算例7已知向量與同向，=（1，2），=10 （1）求向量的坐標(biāo)；（2）若=（2，1）求（）【解析】 （1）與同向，又=（1，2），設(shè)=，則=（，2）又=10，1+22=10，

11、解得=20=2符合與同向的條件，=（2，4）（2）=12+2(1)=0，（）=0【總結(jié)升華】（1）注意本題由與共線且同向的設(shè)法及驗(yàn)證；（2）通過(guò)本題可以看出（）=0，（）=10（2，1）=（20，10），顯然（）（），即向量運(yùn)算結(jié)合律一般不成立舉一反三：【變式1】已知向量和，若=，試求模為的向量的坐標(biāo)【解析】 設(shè)=（x，y），則，由=及，得，解得 或 所以或【總結(jié)升華】涉及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及相關(guān)的模長(zhǎng)公式和夾角公式，在這個(gè)過(guò)程中還要熟練運(yùn)用方程的思想；值得注意的是，對(duì)于一些向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的問(wèn)題，有時(shí)考慮其幾何意義可使問(wèn)題快速獲解例8已知三個(gè)點(diǎn)

12、A（2，1），B（3，2），D（1，4）（1）求證：ABAD；（2）要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值【思路點(diǎn)撥】（1）先用坐標(biāo)把兩條直線用向量表示來(lái)，然后利用向量數(shù)量積等于零證明（2）利用向量相等求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求出兩條對(duì)角線的夾角【答案】（1）略（2）【解析】（1）A（2，1），B（3，2），D（1，4），又，即ABAD（2），四邊形ABCD為矩形，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則由，得，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）從而，且，設(shè)與的夾角為，則，求得矩形的兩條對(duì)角線所夾銳角的余弦值為【總結(jié)升華】在求兩向量夾角的余弦值時(shí)，要注意根據(jù)題意選取向量的方向本題若利用，求出cos0不符合要求，當(dāng)遇到這種情況時(shí)，要根據(jù)三角公式進(jìn)行變換舉一反三：【變式1】已知=（1，1），=（0，2）當(dāng)k為何值時(shí)，（1）k與+共線；（2）k與+的夾角為120 【解析】=（1，1），=（0，2），k=k（1，1）（0，2）=（k，k+2）+=（1，1）+（0，2）=（1，1）（1）k與+共線，k+2(k)=0k=1（2），(k)(+)=(k，k+2)(1，1)=kk2=2，而k與+的夾角為120，即化簡(jiǎn)，整理得k2+2k2=0，解之得