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1、1,第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解,2,本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法,靜態(tài)電磁場：場量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場,時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立,3,3.1 靜電場分析,學(xué)習(xí)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量 3.1.5 靜電力,4,2. 邊界條件,微分形式：,本構(gòu)關(guān)系：,1

2、. 基本方程,積分形式：,或,若分界面上不存在面電荷，即S0，則,或,3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件,5,在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為,或,場矢量的折射關(guān)系,導(dǎo)體表面的邊界條件,介質(zhì)1,導(dǎo)體,6,由,即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù) 稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。,1. 電位函數(shù)的定義,3.1.2 電位函數(shù),7,2. 電位的表達(dá)式,對于連續(xù)的體分布電荷，由,面電荷的電位：,故得,點(diǎn)電荷的電位：,線電荷的電位：,8,3. 電位差,上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得,關(guān)于電位差的說明,P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從

3、P點(diǎn)移至Q 點(diǎn) 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用U 表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。,9,靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即,選參考點(diǎn),令參考點(diǎn)電位為零,電位確定值(電位差),兩點(diǎn)間電位差有定值,選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義； 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)； 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。,4. 電位參考點(diǎn),為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即,10,在均

4、勻介質(zhì)中，有,5. 電位的微分方程,在無源區(qū)域，,11,6. 靜電位的邊界條件,設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí),若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即,導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：,由 和,常數(shù)，,12,例 3.1.1 求電偶極子的電位.,解 在球坐標(biāo)系中,用二項(xiàng)式展開，由于，得,代入上式，得,表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。,13,將 和 代入上式，解得E線方程為,由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度,電場線微分方程：,等位線方程：,14,解 選定均勻電場空間中的一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的位置矢量為r，則,若選擇點(diǎn)o為電

5、位參考點(diǎn)，即 ，則,在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有,在圓柱面坐標(biāo)系中，取 與x軸方向一致，即 ，而 ，故,例3.1.2 求均勻電場的電位分布。,15,解 采用圓柱面坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對稱性，電位與 無關(guān)。在帶電線上位于 處的線元 ，它到點(diǎn) 的距離 ，則,例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。,16,在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為,當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有,并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)

6、。例如，選擇= a 的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有,17,例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x = 0和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。,解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程,方程的解為,18,利用邊界條件，有,處，,最后得,處，,處，,所以,由此解得,19,電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路；

7、在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率；,3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容,20,電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷能力的物理量。,孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位 的比值，即,1. 電容,孤立導(dǎo)體的電容,兩個(gè)帶等量異號電荷（q）的導(dǎo) 體組成的電容器，其電容為,電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。,21,(1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和 -q ； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；,計(jì)算電容的步驟：,(4) 求比值 ，即得出所求電容。,(3) 由

8、，求出兩導(dǎo)體間的電位差；,22,解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場,同心導(dǎo)體間的電壓,球形電容器的電容,當(dāng) 時(shí)，,例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。,23,例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D a，求傳輸線單位長度的電容。,解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和 。由于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的電場強(qiáng)度為,兩導(dǎo)線間的電位差,故單位長度的電容為,24,例3.1.6

9、同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。,內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差,解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為,故得同軸線單位長度的電容為,25,2 部份電容,在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體 上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。,在由N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為,式中：, 自電位系數(shù), 互電位系數(shù),（1） 電位系數(shù),26,i j 在數(shù)值上等于第i 個(gè)導(dǎo)體

10、上的總電量為一個(gè)單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第 j 個(gè)導(dǎo)體上的電位，即,i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；,具有對稱性，即i j = j i 。,i j 0 ；,電位系數(shù)的特點(diǎn)：,27,若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為,式中：, 自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù), 互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù),（2） 電容系數(shù),28,i j 在數(shù)值上等于第 j個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo) 體接地時(shí)，第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量，即,i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；,具有對稱

11、性，即i j = j i 。,i i 0 、 ；,電容系數(shù)的特點(diǎn)：,29,將各導(dǎo)體的電量表示為,式中：,（3） 部分電容, 導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體 j 之間的部分電容, 導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容,30,Ci i 在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第 i 個(gè)導(dǎo) 體上的電量；,Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；,具有對稱性，即Ci j = Cj i 。,Ci j 0 ；,Ci j 在數(shù)值上等于第 j 個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余 導(dǎo)體都接地時(shí)，第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量；,部分電容的特點(diǎn)：,31,在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個(gè)導(dǎo)

12、體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在這兩個(gè)電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為 ，則比值 稱為這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。,（4）等效電容,如圖所示，有三個(gè)部分電容,導(dǎo)線 1 和 2 間的等效電容為,導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為,導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為,32,如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。,靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量,靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。,任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立(或

13、充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。,3.1.4 靜電場的能量,33,1. 靜電場的能量,設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 。 充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為q、電位為 。 (01) 當(dāng)增加為(+ d)時(shí)，外電源做功為: (q d)。 對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量We ，即,對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元dV中的電荷dV具有的電場能量為,34,故體分布電荷的電場能量為,對于面分布電荷，電場能量為,對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有, 第i個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷, 第i個(gè)導(dǎo)體

14、的電位,式中：,35,2. 電場能量密度,從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。,電場能量密度：,電場的總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，則有,36,由于體積V外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有,故,推證：,37,例3.1.7 半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。,解： 方法一，利用 計(jì)算,根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度,故,38,方法二：利用 計(jì)算,先求出電位分布,故,39,已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜

15、的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計(jì)算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計(jì)算靜電力。,虛位移法：假設(shè)第i個(gè)帶電導(dǎo)體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dAFidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為,其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。,具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。,3.1.5 靜電力,40,1. 各帶電導(dǎo)體的電位不變,此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量,系統(tǒng)所改變的靜電能量,即,此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此,2. 各帶電導(dǎo)體的電荷不變,式中

16、的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。,41,例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極板面積為lb，板間距離為d，用一塊介質(zhì)片（寬度為b、厚度為d，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。,所以電容器內(nèi)的電場能量為,由 可求得介質(zhì)片受到的靜電力為,解 平行板電容器的電容為,42,此題也可用式 來計(jì)算,q不變,設(shè)極板上保持總電荷q不變，則,由此可得,由于,同樣得到,43,3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析,由JE 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。,恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （1）恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。 （2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。,恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。,44,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件,1. 基本方程,恒定電場的基本方程為,微分形式：,積分形式：,恒定