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1、1,第一章 矢量分析,2,本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)1.2 常用正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理,3,1. 標(biāo)量和矢量,矢量的大小或模：,矢量的單位矢量：,標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。,矢量的代數(shù)表示：,1.1 矢量代數(shù),矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。,矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示,注意：單位矢量不一定是常矢量。,常矢量：大小和方向均不變的矢量。,4,矢量用坐標(biāo)分量表示,5,（1）矢量的加減法,兩矢量的

2、加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。,矢量的加減符合交換律和結(jié)合律,2. 矢量的代數(shù)運算,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：,結(jié)合律,交換律,6,（2）標(biāo)量乘矢量,（3）矢量的標(biāo)積（點積）,矢量的標(biāo)積符合交換律,7,（4）矢量的矢積（叉積）,用坐標(biāo)分量表示為,寫成行列式形式為,若 ，則,若 ，則,8,（5）矢量的混合運算, 分配律, 分配律, 標(biāo)量三重積, 矢量三重積,9,三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。,1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系,在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。,三條正交曲線組成的

3、確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。,10,1、直角坐標(biāo)系,位置矢量,面元矢量,線元矢量,體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,11,2、圓柱面坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位置矢量,線元矢量,體積元,面元矢量,12,3、球面坐標(biāo)系,球面坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位置矢量,線元矢量,體積元,面元矢量,13,4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系,直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系,o,q,r,z,單位圓,柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系,q,q,o,f,x,y,單位圓,直角

4、坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間,坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系,f,14,1.3 標(biāo)量場的梯度,如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。,時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：,確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。,從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：,標(biāo)量場和矢量場,靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：,15,標(biāo)量場的等值面,標(biāo)量場的等值線(面),等值面: 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。,等值面方程：,常數(shù)C 取一系列不同的值，就

5、得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。,等值面的特點：,意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。,16,2. 方向?qū)?shù),意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。,概念：, u(M)沿 方向增加；, u(M)沿 方向減??；, u(M)沿 方向無變化。,特點：方向性導(dǎo)數(shù)既與點M0有關(guān)，也與 方向有關(guān)。,問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？,17,梯度的表達(dá)式：,圓柱面坐標(biāo)系,球面坐標(biāo)系,直角面坐標(biāo)系,3、標(biāo)量場的梯度（ 或 ）,意義：描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向,概念： ，其中 取得最大值的

6、方向,18,標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。,梯度的性質(zhì)：,梯度運算的基本公式：,標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）,19,例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。試求： (1) 該函數(shù) 在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量； (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量 el= ex cos60ey cos45 ez cos60方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，

7、得出相應(yīng)結(jié)論。,解 (1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為,20,表征其方向的單位矢量,(2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為,對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為,21,而該點的梯度值為,顯然，梯度 描述了P點處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。,22,1.4 矢量場的通量與散度,1、矢量線,意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。,矢量線方程：,概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。,23,2、矢量場的通量,問題：如何定量描述矢量場的大?。?引入通量的概念。,通量的概念：,面積元的法向單位矢量；,

8、穿過面積元 的通量；,如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：,24,通過閉合曲面有凈的矢量線穿出,有凈的矢量線進(jìn)入,進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等,矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果,閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。,通量的物理意義,25,3、矢量場的散度,為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：,稱為矢量場的散度。,散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。,26,柱面坐標(biāo)系,球

9、面坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,散度的表達(dá)式：,散度的有關(guān)公式：,27,直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo),由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為,不失一般性，令包圍P點的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則,28,根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為,同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為,29,4、散度定理,從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即,散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。,30,1.5 矢量場的環(huán)流和旋度,矢量場的環(huán)流與旋渦源,例如：

10、流速場,不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。,31,如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：,上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。,32,如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。,環(huán)流的概念,矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即,33,過點M 作一微小曲面S，它的

11、邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限,稱為矢量場在點M 處沿方向n的環(huán)流面密度。,矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。,特點：其值與點M 處的方向n有關(guān)。,2、矢量場的旋度（ ）,（1）環(huán)流面密度,34,而,推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。,直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式,35,于是,同理可得,故得,概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面 密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法 線方向，即,物理意義：旋渦源密度矢量。,性質(zhì)：,（2）矢量場的旋度,36,

12、旋度的計算公式:,37,旋度的有關(guān)公式：,38,3、Stokes定理,Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。,從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即,39,4、散度和旋度的區(qū)別,40,1、矢量場的源,散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；,旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，

13、這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。,1.6 無旋場與無散場,41,2、矢量場按源的分類,（1）無旋場,僅有散度源而無旋度源的矢量場，,無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為,例如：靜電場,42,（2）無散場,僅有旋度源而無散度源的矢量場，即,性質(zhì)：,無散場可以表示為另一個矢量場的旋度,例如，恒定磁場,43,（3）無旋、無散場,（源在所討論的區(qū)域之外）,（4）有散、有旋場,這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分,44,1.7 拉普拉斯運算與格林定理,1、拉普拉斯運算,標(biāo)量拉普拉斯運算,概念：, 拉普拉斯算符,直角坐標(biāo)系,計算公式：,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,45,矢量拉普拉斯運

14、算,概念：,即,注意：對于非直角分量，,直角坐標(biāo)系中：,如：,46,2. 格林定理,設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)量場 及 滿足下列等式。,根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成,式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標(biāo)量場 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。,以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。,47,基于上式還可獲得下列兩式：,上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。,格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。,此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。,格林定理廣泛地用于電磁理論。,48,亥姆霍茲定理:,若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為,式中：,亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定。,1.8 亥姆霍茲定理,49,有界區(qū)域,在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。,