第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波1第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 常用正交曲線坐標系常用正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波31.1.標量和矢量標量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標量標量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波4矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示zxy第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波5（1）矢量的加減法）矢量的加減法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 矢量的加法矢量的加法矢量的減法矢量的減法 在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律交換律交換律第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波6（2 2）標量乘矢量）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）矢量的標積符合交換律矢量的標積符合交換律q矢量矢量 與與 的夾角的夾角第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波7（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量矢量 與與 的叉積的叉積用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為若若 ，則，則若若 ，則，則第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波8（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算 分配律分配律 分配律分配律 標量三重積標量三重積 矢量三重積矢量三重積第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波9 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。確定。1.21.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：三種常用的正交曲線坐標系為：直角直角坐坐標系、圓柱坐標系和球面坐標系標系、圓柱坐標系和球面坐標系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱；描述坐標軸的量稱為為坐標變量坐標變量。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波101、直角坐標系、直角坐標系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量體積元體積元坐標變量坐標變量坐標單位矢量坐標單位矢量 點點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）o x y z0 xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 x yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydx第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波112、圓柱面坐標系、圓柱面坐標系坐標變量坐標變量坐標單位矢量坐標單位矢量位置矢量位置矢量線元矢量線元矢量體積元體積元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波123、球面坐標系、球面坐標系球面坐標系球面坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元坐標變量坐標變量坐標單位矢量坐標單位矢量位置矢量位置矢量線元矢量線元矢量體積元體積元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波134、坐標單位矢量之間的關(guān)系、坐標單位矢量之間的關(guān)系 直角坐標直角坐標與與圓柱坐標系圓柱坐標系圓柱坐標圓柱坐標與與球坐標系球坐標系直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐標系oqrz單位圓單位圓 柱坐標系與求坐標系之間柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系qq ofxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系 f第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波141.3 標量場的梯度標量場的梯度q如果物理量是標量，稱該場為如果物理量是標量，稱該場為標量場標量場。例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。例如例如：流速場：流速場、重力場重力場、電場、磁場等。、電場、磁場等。q如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：時變標量場和矢量場可分別表示為：確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場標量場和矢量場靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波151.1.標量場的等值面標量場的等值面標量場的等值線標量場的等值線(面面)等值面等值面:標量場取得同一數(shù)值的點在空標量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。標量場的等值面互不相交。等值面的特點等值面的特點：意義意義:形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波162.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向性導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率：方向性導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念概念：u(M)沿沿 方向增加；方向增加；u(M)沿沿 方向減??；方向減??；u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。M0M方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 特點特點：方向性導數(shù)既與點：方向性導數(shù)既與點M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？的方向余弦。的方向余弦。式中式中：第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波17梯度的表達式梯度的表達式：圓柱面坐標系圓柱面坐標系 球面坐標系球面坐標系直角面坐標系直角面坐標系 3、標量場的梯度、標量場的梯度（或或 ）意義意義：描述標量描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念概念：，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波18標量場的梯度是矢量場，它在空間某標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 例例1.2.1 設設一一標標量量函函數(shù)數(shù) (x,y,z)=x2y2z 描描述述了了空空間間標標量量場場。試求：試求：(1)該該函函數(shù)數(shù) 在在點點P(1,1,1)處處的的梯梯度度，以以及及表表示示該該梯梯度度方方向向的的單單位矢量；位矢量；(2)求求該該函函數(shù)數(shù) 沿沿單單位位矢矢量量 el=ex cos60 ey cos45 ez cos60 方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù)，并并以以點點P(1,1,1)處處的的方方向向?qū)?shù)數(shù)值值與與該該點點的的梯度值作以比較，得出相應結(jié)論。梯度值作以比較，得出相應結(jié)論。解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點的梯度為點的梯度為第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波20表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 (2)由由方方向向?qū)?shù)數(shù)與與梯梯度度之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式可可知知，沿沿el方方向向的的方方向向?qū)?shù)為數(shù)為對于給定的對于給定的P P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波21而該點的梯度值為而該點的梯度值為 顯顯然然，梯梯度度 描描述述了了P P點點處處標標量量函函數(shù)數(shù) 的的最最大大變變化化率率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波221.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1、矢量線、矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線oM 第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波232、矢量場的通量、矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大?。咳绾味棵枋鍪噶繄龅拇笮?？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念通量的概念：其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；穿過面積元穿過面積元 的通量；的通量；如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量面積元矢量第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波24通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義通量的物理意義第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波253、矢量場的散度、矢量場的散度 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的稱為矢量場的散度散度。散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波26柱面坐標系柱面坐標系球面坐標系球面坐標系直角坐標系直角坐標系散度的表達式散度的表達式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波27直角坐標系下散度表達式的推導直角坐標系下散度表達式的推導 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為通量值為oxy在直角坐標系中計算在直角坐標系中計算FzzDxDyDP 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的微體積點的微體積 V 為一直平行六面體，如為一直平行六面體，如圖所示。則圖所示。則第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波28根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度 表達式為表達式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波294、散度定理、散度定理體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應用。泛的應用。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波301.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 1.矢量場的環(huán)流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場例如：流速場 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。零。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波31 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波32q如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無無旋場旋場，又稱為，又稱為保守場保守場。q如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波33 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法線，曲面的法線方向方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當與曲線的繞向成右手螺旋法則。當 S0時，極限時，極限稱為稱為矢量場在矢量場在點點M 處沿方向處沿方向n的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。量場的旋度。特點特點：其值：其值與與點點M 處的方向處的方向n有關(guān)。有關(guān)。2、矢量場的旋度、矢量場的旋度（）（1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波34而而 推導推導 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。oyDz DyCMzx1234計算計算 的示意圖的示意圖 直角坐標系中直角坐標系中 、的表達式的表達式第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波35于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量場在矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面點的環(huán)流面 密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法 線方向，即線方向，即物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。性質(zhì)性質(zhì)：（2）矢量場的旋度）矢量場的旋度第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波36旋度的計算公式旋度的計算公式:直角坐標系直角坐標系圓柱面坐標系圓柱面坐標系球面坐標系球面坐標系第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波37旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波383、Stokes定理定理 Stokes定理是閉合曲線積定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。泛的應用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波394、散度和旋度的區(qū)別、散度和旋度的區(qū)別 第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波401、矢量場的源、矢量場的源散度源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；場在該點的散度；旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波412、矢量場按源的分類、矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場性質(zhì)性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場無旋場可以用標量場的梯度表示為可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場例如：靜電場第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波42（2）無散場）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即性質(zhì)性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場例如，恒定磁場第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波43（3 3）無旋、無散場）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）（4 4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波441.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 1、拉普拉斯運算、拉普拉斯運算 標標量拉普拉斯運算量拉普拉斯運算概念概念：拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐直角坐標標系系計算公式計算公式：圓柱坐標系圓柱坐標系球坐標系球坐標系第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波45 矢量拉普拉斯運算矢量拉普拉斯運算概念概念：即即注意注意：對對于非直角分量，于非直角分量，直角坐標系中：直角坐標系中：如：如：第1章 矢量分析電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社出版出版電磁場與電磁波電磁場與電磁波462.格林定理