《高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 利用導(dǎo)數(shù)求最值素材 北師大版選修1-1（通用）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 利用導(dǎo)數(shù)求最值素材 北師大版選修1-1（通用）.doc（5頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、利用導(dǎo)數(shù)求最值導(dǎo)數(shù)是研究數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是研究客觀事物變化率和優(yōu)化問題的有利工具，研究導(dǎo)數(shù)，有利于對數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值的認(rèn)識。導(dǎo)數(shù)的工具性已滲透到數(shù)學(xué)的很多分支，在函數(shù)的研究中得到充分的體現(xiàn)，主要涉及到研究曲線的切線問題、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、最值等。下面就利用導(dǎo)數(shù)求最值作一闡述，供參考。一、函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，在上求最大值與最小值的步驟：先求 在（）內(nèi)的極值；再將的各極值與、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：首先：求導(dǎo)數(shù)；再求導(dǎo)數(shù)=0的根；最后：檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取極大值；如

2、果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取極小值。二、利用導(dǎo)數(shù)求最值例1、設(shè)，求的最小值。解：設(shè)，則令，由，解得。列表：（0，1）10最小值由表可知，當(dāng)時(shí)，有最小值1。評注：利用導(dǎo)數(shù)求最值，先確定函數(shù)的極值是關(guān)鍵，同時(shí)，最值通常應(yīng)在極值及端點(diǎn)處取得。當(dāng)函數(shù)f（x）為連續(xù)函數(shù)且在上單調(diào)時(shí)，其最大值、最小值在端點(diǎn)處取得；當(dāng)連續(xù)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)可疑點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f（x）有極大（?。┲?，則可以判定f（x）在該點(diǎn)處取得最大（小）值，這里（a，b）也可以是無窮區(qū)間。練習(xí)1：已知a 0，函數(shù)f（x）（x22ax）ex，當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）取得最小值？并證明你的結(jié)論；三、利用導(dǎo)數(shù)求最值的運(yùn)用（一）求

3、函數(shù)的值域例2 、求函數(shù)的值域解：由得的定義域?yàn)?。因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，時(shí)，。所以值域?yàn)椤Ｔu注：求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求在閉區(qū)間上的最大值和最小值的問題，考慮其單調(diào)性易求值域，必須注意函數(shù)的定義域。練習(xí)2：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式，求xy的最大值。（二）利用最值求參數(shù)的值（或范圍）例3、設(shè)，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求a，b的值。解：，當(dāng)x變化時(shí)，變化情況列表如下：x1（1，0）0（0，a）a（a，1）1+00+b當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取極大值b，而，故需比較f（0）與f（1）的大小。，f（x）最大值為f（0）=b=1。又。，。評注：這是一道求函數(shù)的最值的逆向思維問題。本題的關(guān)鍵

4、是比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，列表解題一目了然，從而確定出a，b的值。（三）利用最值研究恒成立問題例4、設(shè)函數(shù)若對于任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 令得或。當(dāng)或時(shí)，在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在處有極大值，在處有極小值。極大值為, 而, 在上的最大值為7。若對于任意x都有成立, 得m的范圍 。評注：利用最值可以研究一類恒成立問題，一般地，f(x)a對xR恒成立 f(x)的最小值a成立；f(x)a對xR恒成立f(x)的最大值a成立。練習(xí)2：已知函數(shù)在與x1時(shí)都取得極值。求a、b的值；若對恒成立，求c的取值范圍。四、利用最值證明不等式例5、已知是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極

5、值-2。（1）求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）對任意，求證：不等式恒成立。解：（1）f(x)是奇函數(shù)， f(0)=0, d=0因此由條件f(1)=-2為f(x)的極值，f,(1)=0，解之得：a=1，c=-3則， 令，得f(x)的單調(diào)減區(qū)間是-1，1，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)有極大值2。（2）證明：由（1）知f(x)在-1，1上是減函數(shù)，且f(x)在-1，1上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2對任意， 恒有評注：本題（2）借助于最值證明不等式，最值的研究利用了導(dǎo)數(shù)法，同時(shí)對于可導(dǎo)函數(shù)，某點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件是這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0；某一點(diǎn)是極值點(diǎn)的充分條件是在這點(diǎn)

6、兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號。此外，函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是不可導(dǎo)點(diǎn)。附練習(xí)答案：1、解：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f（x）（x22ax）ex+（2x2a）exx2+2（1-a）x-2aex。令f（x）0，得x2+2（1-a）x-2aex0，從而x2+2（1a）x2a0。解得 ，其中x1x2。當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f（x）的變化如下表：x（ ，x1 ）x1（ x1 ， x2）x2（x2 ，+）f （x）+00+f （x）極大值極小值當(dāng)f（x）在xx1處取到極大值，在xx2處取到極小值.當(dāng)a0時(shí)，x11，x2 0，f（x）在（x1，x2）為減函數(shù)，在（x2，+）為增函數(shù).而當(dāng)x0時(shí)，f（x）x（x2a）ex0；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0.所以當(dāng)時(shí)，f（x）取得最小值。2、解：由題意，設(shè)f（x）。當(dāng)時(shí)，令，得或x=0（舍去）。當(dāng)x在內(nèi)變化時(shí)，y/，y有如下變化情況：x2y/+0y極大值0由上表可知，當(dāng)x=時(shí)，f（x）最大值為，亦即xy的最大值為。3、解：；令，故對任意恒成立。，列表知對任意，y的最大值為g（2）2，2c2c，得c1或c2。