《2018高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教師用書文.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教師用書文.doc-匯文網(wǎng)（53頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的 單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)

2、平行四邊形法則減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab3共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba小題體驗(yàn)1下列四個(gè)命題中，正確的命題是()A若ab，則abB若|a|b|，則abC若|a|b|，則ab D若ab，則|a|b|答案：D2(教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)：(1)( )_(2) _答案：(1)(2)03已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量ab與(b3a)共線，則_答案：1在

3、利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤2在向量共線的重要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)3要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系小題糾偏1若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|_解析：|2答案：22已知a，b是非零向量，命題p：ab，命題q：|ab|a|b|，則p是q的_條件解析：若ab，則|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq若|ab|a|b|，由加法的運(yùn)算知a與b同向共線，即ab，且0，故q/ pp是q的充分不必要條件答案：充分不必要 題組練透1設(shè)a0為單位向量，下列命題中：若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平

4、行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0假命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是32(易錯(cuò)題)給出下列命題：若ab，bc，則ac；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac其中正確命題的序號(hào)是_解析：正確ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且

5、方向相同，故ac正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，不正確當(dāng)ab且方向相反時(shí)，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件不正確考慮b0這種特殊情況綜上所述，正確命題的序號(hào)是答案：謹(jǐn)記通法向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量：方向、長(zhǎng)度(2)非零共線向量：方向相同或相反(3)單位向量：長(zhǎng)度是一個(gè)單位長(zhǎng)度(4)零向量：方向沒有限制，長(zhǎng)度是0(5)相等相量：方向相同且長(zhǎng)度相等如“題組練透”第2題易混淆有關(guān)概念題組練透1(2017武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交

6、點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則等于()A B2C3 D4解析：選D因?yàn)镸是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，所以2，2，所以42(2017唐山統(tǒng)考)在等腰梯形ABCD中，2，M為BC的中點(diǎn)，則()A BC D解析：選B因?yàn)?，所以2又M是BC的中點(diǎn)，所以()()3設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_解析：()，所以1，2，即12答案：謹(jǐn)記通法1平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中

7、位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解2利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式(3)比較、觀察可知所求典例引領(lǐng)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb同向解：(1)證明：ab，2a8b，3a3b，2a8b3a3b5(ab)5，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab與akb同向，存在實(shí)數(shù)(0)，使kab(akb)，即kabakb(k)a(k1)ba，b是不共線的兩個(gè)非零向量，解

8、得或又0，k1由題悟法共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用(1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)，使ab，則a與b共線(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)，使，則A，B，C三點(diǎn)共線(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值提醒證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)即時(shí)應(yīng)用如圖，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因?yàn)椋泄颤c(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線

9、一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若，則()A1B2C4 D6解析：選B根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則可知，2，故22在ABC中，2，a，b，c，則下列等式成立的是()Ac2ba Bc2abCcab Dcba解析：選D依題意得2()，即ba3在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，則四邊形ABCD的形狀是()A矩形 B平行四邊形C梯形 D以上都不對(duì)解析：選C由已知，得8a2b2(4ab)2，故又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形4(2017揚(yáng)州模擬)在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且，P是BN上一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值是_解析：如圖，因?yàn)?，P是BN

10、上一點(diǎn)所以，mm，因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以m1，則m答案：5已知ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且a，b，則_，_(用a，b表示)解析：如圖，ba，ab答案：baab二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且a，b, 則等于()Aba BabCab Dba解析：選Cababa，故選C2已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)的值為()A1 BC1或 D1或解析：選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使ckd(k0)，于是abk整理得abka(2kk)b由于a，b不共線，所以有整理得2210，解得1或又因?yàn)閗0，所以0

11、，故3下列四個(gè)結(jié)論：0；0；0；0，其中一定正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選C0，正確；，錯(cuò)；0，正確；0，正確故正確4設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且2，2，2，則與 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：選A由題意得，因此()，故與反向平行5設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為()A3 B4C5 D6解析：選BD為AB的中點(diǎn)，則()，又20，O為CD的中點(diǎn)，又D為AB中點(diǎn)，SAOCSADCSABC，則46在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_(用a，b表示)解析：由3，得(a

12、b)，ab，所以(ab)ab答案：ab7設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，216，|，則|_解析：由|可知，則AM為RtABC斜邊BC上的中線，因此，|2答案：28已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且a，b，給出下列命題：ab；ab；ab；0其中正確命題的個(gè)數(shù)為_解析：a，b，ab，故錯(cuò)；ab，故正確；()(ab)ab，故正確；baabba0，故正確正確命題為答案：39在ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB2GE，設(shè)a，b，試用a，b表示，解：()ab()()ab10設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e

13、2(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值解：(1)證明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2又與有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線， (R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，點(diǎn)E在線段CD上，若，則的取值范圍是_解析：由題意可求得AD1，CD，所以2點(diǎn)E在線段CD上， (01)，又2，1，即01，0即的取值范圍是答案：2已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且mn (m，nR)(

14、1)若mn1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：mn1證明：(1)若mn1，則m(1m)m()，m()，即m，與共線又與有公共點(diǎn)B，A，P，B三點(diǎn)共線(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使，()又mn故有m(n1)，即(m)(n1)0O，A，B不共線，不共線，mn1第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a(x1

15、，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則abx1y2x2y10小題體驗(yàn)1已知a(4,2)，b(6，m)，若ab，則m的值為_答案：32(教材習(xí)題改編)已知a(2,1)，b(3,4)，則3a4b_答案：(6,19)3設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線

16、性組合，即e1e2_a_b解析：由題意，設(shè)e1e2m an b因?yàn)閍e12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2由平面向量基本定理，得所以答案：1向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10小題糾偏1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若1e12e20，則12_答案：02(2015江蘇高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，

17、則mn的值為_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253答案：3題組練透1如圖，在三角形ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，若a，b，則()AabBabCab Dab解析：選D在三角形ABC中，BE是AC邊上的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，()ab2(易錯(cuò)題)如圖，以向量a，b為鄰邊作OADB，用a，b表示，解：ab，ab，abab，ab，ababab綜上，ab，ab，ab謹(jǐn)記通法用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便另外，要熟練運(yùn)用平

18、面幾何的一些性質(zhì)定理，如“題組練透”第2題題組練透1向量a，b滿足ab(1,5)，ab(5，3)，則b為()A(3,4)B(3,4)C(3，4) D(3，4)解析：選A由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，b(6,8)(3,4)，故選A2已知點(diǎn)M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A(2,0)B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析：選A3a3(1，2)(3,6)，設(shè)N(x，y)，則(x5，y6)(3,6)，所以即3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，

19、n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)謹(jǐn)記通法平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解典例引領(lǐng)

20、已知a(1,0)，b(2,1)(1)當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a2b共線；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值解：(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab與a2b共線，2(k2)(1)50，k(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三點(diǎn)共線，8m3(2m1)0，m由題悟法向量共線的充要條件(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)當(dāng)涉及向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)一般利用(2)比較方便即時(shí)應(yīng)用1已知向量(k,

21、12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()ABCD解析：選A(4k，7)，(2k，2)A，B，C三點(diǎn)共線，共線，2(4k)7(2k)，解得k2(2017貴陽監(jiān)測(cè))已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則_解析：因?yàn)閙n(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，所以(23)(1)3(1)，解得0答案：0一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，若(2,4)，(1,3)，則()A(2，4)B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析：選B由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)2已知A(1，1)，B(m，m2)，

22、C(2,5)三點(diǎn)共線，則m的值為()A1 B2C3 D4解析：選A(m，m2)(1，1)(m1，m3)，(2,5)(1，1)(3,6)，A，B，C三點(diǎn)共線，3(m3)6(m1)0，m1故選A3如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，xy，且2，則()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y解析：選A由題意知，又2，所以()，所以x，y4已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角_解析：因?yàn)閍b，所以(1sin )(1sin )10，得cos2，所以cos ，又為銳角，答案：5在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若 (4,3)，(1,5)，則_解析：(3,2)，2(6,4)(2,

23、7)，3(6,21)答案：(6,21)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，則c()A(23，12) B(23,12)C(7,0) D(7,0)解析：選A由題意可得3a2bc(23x,12y)(0,0)，所以解得所以c(23，12)2已知向量a，b不共線，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向 Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向 Dk1且c與d反向解析：選D由題意可得c與d共線，則存在實(shí)數(shù)，使得cd，即解得k1cab(ab)d，故c與d反向3在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，c(x,3

24、)，若(2ab)c，則x()A2 B4C3 D1解析：選Dab(3,1)，a(3,1)b，則b(4,2)2ab(2,6)又(2ab)c，66x，x1故選D4已知點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若 (R)，且點(diǎn)P在直線x2y0上，則的值為()A BC D解析：選B設(shè)P(x，y)，則由，得(x2，y3)(2,2)(5,7)(25，27)，x54，y75又點(diǎn)P在直線x2y0上，故542(75)0，解得故選B5在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F若a，b，則()Aab BabCab Dab解析：選C如圖，a，b，abE是OD的中點(diǎn)，|

25、DF|AB|()ab，ababab，故選C6已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c與向量kab共線，則實(shí)數(shù)k_解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因?yàn)橄蛄縞與向量kab共線，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1答案：17已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1答案：k18向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則_解析：以向量a和b的

26、交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，則A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即61，23，解得2，4答案：49平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k解：(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0，解得k10如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)設(shè)a，b

27、，試用a，b為基底表示向量，解：babba，bba，bab三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1如圖，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線設(shè)x，y，則_解析：點(diǎn)P，G，Q在一條直線上，()(1)(1)xy，又G是OAB的重心，()而，不共線，由，得解得3答案：32已知三點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a0，b0(1)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形OACB是平行四邊形，試求a，b的值；(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，試求ab的最小值解：(1)因?yàn)樗倪呅蜲ACB是平行四邊形，所以，即(a,0)(2,2b)，解得故a2，b2(2)因?yàn)?a，b)，(2,2b)，由A

28、，B，C三點(diǎn)共線，得，所以a(2b)2b0，即2(ab)ab，因?yàn)閍0，b0，所以2(ab)ab2，即(ab)28(ab)0，解得ab8或ab0因?yàn)閍0，b0，所以ab8，即ab的最小值是8當(dāng)且僅當(dāng)ab4時(shí)，“”成立第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例1向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB就是a與b的夾角設(shè)是a與b的夾角，則的取值范圍是01800或180ab，90ab2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投

29、影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc4平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|小題體驗(yàn)1已知|a|2，|b|6，ab6，則a與b的夾角為()ABCD答案：D2已知|a|5，|b|4，a與b的夾角為120，則ab_答案：103(2016山東高考)已知向量a(1，1)，b(6

30、，4)若a(tab)，則實(shí)數(shù)t的值為_解析：a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，則a(tab)0，即t6t40，解得t5答案：51數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，abac(a0)不能得出bc，兩邊不能約去一個(gè)向量2兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有ab0，反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有ab0，則a和b的夾角為銳角，若ab0，則a和b的夾角為鈍角；(ab)ca(bc)；若ab0，則a0或b0其中正確的說法有_個(gè)答案：02(2016北京高考)已知向量a(1，)，b(，1)，則a與b夾角的大小為_解析：由題意得|a|2，|b|2，ab112設(shè)a與b的夾角為，則cos 0

31、，答案：題組練透1(易錯(cuò)題)設(shè)a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，則(a2b)c()A(15,12)B0C3 D11解析：選Ca2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)32已知(2,1)，點(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為()A B3C D3解析：選C因?yàn)辄c(diǎn)C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影為|cos，3已知向量a與b的夾角為60，且a(2，6)，|b|，則ab_解析：因?yàn)閍(2，6)，所以|a|2，又|b|，向量a與b的夾角為60，所以ab|a|b|cos 60210答案：104如圖，在等腰直

32、角三角形ABC中，C90，AC2，D為BC的中點(diǎn)，則_解析：法一：由題意知，ACBC2，AB2，()|cos 45|cos 4522216法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意得A(0,2)，B(2,0)，D(1,0)，(2,0)(0,2)(2，2)，(1,0)(0,2)(1，2)，2(1)(2)(2)6答案：6謹(jǐn)記通法向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法方法運(yùn)用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2適用于已知

33、相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題，如“題組練透”第1題易錯(cuò)鎖定考向平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題常見的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直 題點(diǎn)全練角度一：平面向量的模1已知e1，e2是單位向量，且e1e2若向量b滿足be1be21，則|b|_解析：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260又be1be210，b，e1b，e230由be11，得|b|e1|cos 301，|b|答案：角度二：平面向量的夾角2(2017山西四校聯(lián)考)已知|a|1，|b|，且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為()ABC D解析：選Ba(ab)，a(ab)a2ab1cosa，b0，cosa，b，a，b3(2017江西八校聯(lián)考)在ABC中，(，)，(1，)，則ABC的面積為_解析：由題意得，(| |)2(|cos，)2(|sin，)2，即(|)2()2(|sin，)2，|sin，2，SABC|sin，1答案：1角度三：平面向量的垂直4(2016山東高考)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n，若n(t mn)，則實(shí)數(shù)t的值為()A4 B4C D解析：選Bn(t mn)，n(t mn)0，即t mn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20又4|m|3|n