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1、配餐作業(yè)(六十)定點、定值、探索性問題(時間：40分鐘)1. (2016山西聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為F(1,0)，右頂點為A，且|AF|1。(1)求橢圓C的標準方程；(2)若動直線l：ykxm與橢圓C有且只有一個交點P，且與直線x4交于點Q，問：是否存在一個定點M(t,0)，使得0。若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由。解析(1)由c1，ac1，得a2，b，故橢圓C的標準方程為1。(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2。設P(xP，yP)，則xP，yPkxPmm，即P。M(t,0)，Q(4,4km)

2、，(4t,4km)，(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1。存在點M(1,0)符合題意。答案(1)1(2)存在點M(1,0)2(2017赤峰模擬)已知E(2,2)是拋物線C：y22px上一點，經(jīng)過點(2,0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(不同于點E)，直線EA，EB分別交直線x2于點M，N。(1)求拋物線方程及其焦點坐標；(2)已知O為原點，求證：MON為定值。解析(1)將E(2,2)代入y22px，得p1，所以拋物線方程為y22x，焦點坐標為。(2)證明：設A，B，M(xM，yM)，N(xN，yN)，設直線l的方程為xmy2與拋物線方程聯(lián)立得到消去x，得：y22my40，

3、則由根與系數(shù)的關系得：y1y24，y1y22m，直線AE的方程為：y2(x2)，即y(x2)2，令x2，得yM，同理可得：yN。又(2，yM)，(2，yN)，4yMyN4440，所以OMON，即MON為定值。答案(1)y22x，焦點坐標(2)見解析3(2016湖南六校聯(lián)考)如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：1上的任一點，從原點O向圓M：(xx0)2(yy0)22作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q。(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并分別記為k1，k2，求證：k1k2為定值；(2)試問|OP|2|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由。解析(1)證明：因為直線OP：yk1x與圓M相

4、切，所以，化簡得(x2)k2x0y0k1y20，同理(x2)k2x0y0k2y20，所以k1，k2是方程(x2)k22x0y0ky20的兩個不相等的實數(shù)根，所以k1k2。因為點M(x0，y0)在橢圓C上，所以1，即y3x，所以k1k2，為定值。(2)|OP|2|OQ|2是定值，定值為9。理由如下：()當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立解得所以xy，同理，得xy，由k1k2，得|OP|2|OQ|2xyxy9。()當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有|OP|2|OQ|29，綜上：|OP|2|OQ|29。答案(1)見解析(2)是定值9(時間：20分鐘)1(

5、2016山西四校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2xy60相切。(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點A，B為動直線yk(x2)(k0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得2為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由。解析(1)由e，得，即ca，又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2y2a2，且該圓與直線2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以橢圓C的標準方程為1。(2)由，得(13k2)x212k2x12k260。設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1

6、x2。根據(jù)題意，假設x軸上存在定點E(m,0)，使得2()為定值，則(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式為定值，即與k無關，只需3m212m103(m26)，解得m，此時，2m26，所以在x軸上存在定點E使得2為定值，且定值為。答案(1)1(2)存在定點E，定值2如圖，已知橢圓E：1(ab0)的離心率為，它的上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線AF1，AF2分別交橢圓于點B、C。(1)求證：直線BO平分線段AC；(2)設點P(m，n)(m，n為常數(shù))在直線BO上且在橢圓外，過點P的動直線l與橢圓交

7、于兩個不同的點M、N，在線段MN上取點Q，滿足，試證明點Q恒在一定直線上。解析(1)證明：由題意，則ac，b2a2c22c2，故橢圓方程為1，即2x23y26c20，其中A(0，c)，F(xiàn)1(c,0)，故直線AF1的斜率為，此時直線AF1的方程為y(xc)，聯(lián)立得2x23cx0，解得x10(舍去)和x2，即B，由對稱性知C。直線BO的方程為yx，線段AC的中點坐標為，線段AC的中點坐標滿足直線BO的方程，即直線BO平分線段AC。(2)設M(x1，y1)、N(x2，y2)、Q(x0，y0)，則2x3y6c2,2x3y6c2。由題意可設，則，求得m，x0，n，y0，故mx0，ny0，所以2mx03ny06c2，由于m，n，c為常數(shù)，所以點Q恒在直線2mx3ny6c20上。答案(1)證明見解析(2)點Q恒在直線2mx3ny6c20上，證明見解析