《2018年秋高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.1橢圓及其標準方程學案新人教A版選修1-1.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年秋高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.1橢圓及其標準方程學案新人教A版選修1-1.doc-匯文網(wǎng)（9頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、2.1.1橢圓及其標準方程學習目標：1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程(重點)2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程(重點)3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題(難點)自 主 預 習探 新 知1橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距思考：(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么？(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，動點的軌跡是什么？提示(1)點的軌跡

2、是線段F1F2.(2)當距離之和小于|F1F2|時，動點的軌跡不存在2橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(ab0)1(ab0)焦點(c,0)與(c,0)(0，c)與(0，c)a，b，c的關系c2a2b2基礎自測1思考辨析(1)到平面內(nèi)兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓()(2)到兩定點F1(2,0)和F2(2,0)的距離之和為3的點M的軌跡為橢圓()(3)橢圓1的焦點在x軸上()答案(1)(2)(3)2已知橢圓1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3，到另一焦點距離為7，則m等于()A10 B5 C15 D25D由題意知2a3710，a5，ma225.3橢圓的兩個焦點坐標分

3、別為F1(0，8)，F(xiàn)2(0,8)，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為20，則此橢圓的標準方程為() 【導學號：97792051】A.1 B.1C.1 D.1C由題意知c8,2a20，a10，b2a2c236，故橢圓的方程為1.合 作 探 究攻 重 難求橢圓的標準方程求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；(3)經(jīng)過點A(，2)和點B(2，1)解(1)由于橢圓的焦點在x軸上，設它的標準方程為1(ab0)a5，c4，b2a2c225169.故所求橢圓的標準方程為1.(2)由于

4、橢圓的焦點在y軸上，設它的標準方程為1(ab0)a2，b1.故所求橢圓的標準方程為x21.(3)法一：當焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為1(ab0)依題意有解得故所求橢圓的標準方程為1.當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為1(ab0)依題意有解得因為ab0，所以無解所以所求橢圓的標準方程為1.法二：設所求橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，依題意有解得所以所求橢圓的標準方程為1.規(guī)律方法1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程(1)先確定焦點位置；(2)設出方程；(3)尋求a，b，c的等量關系；(4)求a，b的值，代入所設方程2當焦點位置不確定時，可設橢圓方程為mx2ny21(mn，m

5、0，n0)因為它包括焦點在x軸上(mn)或焦點在y軸上(mn)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而簡化了運算跟蹤訓練1已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點A(0，2)和B，求橢圓的標準方程解設橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，將A，B兩點坐標代入方程得解得所求橢圓方程為x21.橢圓中的焦點三角形問題(1)橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|4，則F1PF2的大小為_(2)已知橢圓1中，點P是橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，且PF1F2120，則PF1F2的面積為_. 【導學號：97792052】思路探究(1)(2) 解析(1)由1，知a3，b，c.

6、|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，F(xiàn)1PF2120.(2)由1，可知a2，b，所以c1，從而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由橢圓定義得|PF1|PF2|2a4.由聯(lián)立可得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sinPF1F22.答案(1)120(2)規(guī)律方法1.橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.2橢圓中的焦點三角形橢圓上一點P與橢

7、圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的PF1F2，稱為焦點三角形在處理橢圓中的焦點三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|MF2|2a及三角形中的有關定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解跟蹤訓練2(1)已知P是橢圓1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且F1PF230，則F1PF2的面積是_84由橢圓的標準方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由橢圓的定義，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420

8、(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2)SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF216(2)84.(2)設P是橢圓1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，若PF1F290，則F1PF2的面積是_由橢圓方程1，知a2，c1，由橢圓定義，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.從而(4|PF1|)2|PF1|24，則|PF1|，因此SPF1F2|F1F2|PF1|.故所求PF1F2的面積為.與橢圓有關的軌跡問題探究問題1.如圖211，P為圓B：(x2)2y236上一動點，點A的坐標為(2,0)，線段AP的垂直

9、平分線交直線BP于點Q，求點Q的軌跡方程圖211提示：用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為坐標軸，最后由定義確定橢圓的基本量a，b，c.所求點Q的軌跡方程為1.2.如圖212，在圓x2y24上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程是什么？為什么？圖212提示：當題目中所求動點和已知動點存在明顯關系時，一般利用代入法(相關點法)求解用代入法(相關點法)求軌跡方程的基本步驟為：(1)設點：設所求軌跡上動點坐標為M(x，y)，已知曲線上動點坐標為P(x1，

10、y1)(2)求關系式：用點M的坐標表示出點P的坐標，即得關系式(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所得方程化簡即可所求點M的軌跡方程為y21.(1)已知P是橢圓1上一動點；O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為_(2)一個動圓與圓Q1：(x3)2y21外切，與圓Q2：(x3)2y281內(nèi)切，試求這個動圓圓心的軌跡方程. 【導學號：97792053】思路探究(1)點Q為OP的中點點Q與點P的坐標關系代入法求解(2)由圓的相切，及動圓圓心與兩個定圓圓心、半徑的關系得軌跡解析(1)設Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x02x，y02y，又1.

11、所以1，即x21.答案x21.(2)由已知，得兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(3,0)，R11；Q2(3,0)，R29.設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，如圖由題設有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.由橢圓的定義，知點M在以Q1，Q2為焦點的橢圓上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故動圓圓心的軌跡方程為1.規(guī)律方法1.與橢圓有關的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例(1)所用方法為代入法例(2)所用方法為定義法2對定義法求軌跡方程的認識如果能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，

12、這種求軌跡方程的方法稱為定義法定義法在我們后續(xù)要學習的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法3代入法(相關點法)若所求軌跡上的動點P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)0上的動點Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點Q的坐標用點P的坐標表示出來，然后代入已知曲線C的方程 F(x，y)0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關點法)跟蹤訓練3(1)已知x軸上一定點A(1,0)，Q為橢圓y21上任一點，求線段AQ中點M的軌跡方程解設中點M的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x0，y0)利用中點坐標公式，得Q(x0，y0)在橢圓y21上，y1.將x02x1，y

13、02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ的中點M的軌跡方程是4y21.(2)在RtABC中，CAB90，|AB|2，|AC|，曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且|PA|PB|是定值建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線E的方程解以AB的中點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系由題意可知，曲線E是以A，B為焦點，且過點C的橢圓，設其方程為1(ab0)則2a|AC|BC|4,2c|AB|2，所以a2，c1，所以b2a2c23.所以曲線E的方程為1.當 堂 達 標固 雙 基1已知A(5,0)，B(5,0)動點C滿足|AC|BC|10，則點C的軌跡是()A橢圓B直線C線段D點C由|AC|BC|10|

14、AB|知點C的軌跡是線段AB.2已知橢圓4x2ky24的一個焦點坐標是(0,1)，則實數(shù)k的值是() 【導學號：97792054】A1 B2 C3 D4B橢圓方程可化為x21，由題意知，解得k2.3已知橢圓的焦點為(1,0)和(1,0)，點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()A.1 B.y21C.1 D.x21A由題意知c1，a2，b2a2c23.橢圓的方程為1.4已知橢圓1上一點P與橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的連線夾角為直角，則|PF1|PF2|_.48由題意知2得2|PF1|PF2|96.所以|PF1|PF2|48.5已知橢圓的中心在原點，兩焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且過點A(4,3)若F1AF2A，求橢圓的標準方程. 【導學號：97792055】解設所求橢圓的標準方程為1(ab0)設焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c0)F1AF2A，0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.所求橢圓的標準方程為1.