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1、第三章,不等式,【本章內(nèi)容】,3.1 不等關(guān)系與不等式,3.2 一元二次不等式及其解法,3.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,3.4 基本不等式:,第三章 小結(jié),第一課時(shí),第二課時(shí),3.2,一元二次不等式,及其解法,(第一課時(shí)),1. 一元二次不等式的幾何意義是什么? 與一元二次函數(shù)和一元二次方程有什么關(guān)系?,2. 解一元二次不等式有哪些基本步驟?,問(wèn)題1. 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象是什么? 二次不等式 ax2+bx+c0 的幾何意義是什么? 怎樣才能求得這個(gè)不等式的解的集合?,二次函數(shù)的圖象是一條拋物線.,二次不等式 ax2+bx+c0 的幾何意義是:,這部分圖象上

2、的 y 坐標(biāo)大于 0,二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象在 x 軸上方的部分,對(duì)應(yīng)的 x 坐標(biāo)的范圍就是不等,式的解的集合.,問(wèn): 要確定 x 的范圍, 關(guān)鍵是確定什么?,問(wèn)題1. 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象是什么? 二次不等式 ax2+bx+c0 的幾何意義是什么? 怎樣才能求得這個(gè)不等式的解的集合?,要確定解集關(guān)鍵是要求得圖象與 x 軸的交點(diǎn),圖象與 x 軸的交點(diǎn)就是方程 ax2+bx+c=0 的根.,的聯(lián)系.,所以二次函數(shù), 二次不等式, 二次方程有著緊密,x2,xx1,xx2,x1,問(wèn)題1. 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象是什么? 二次不等式 ax2+bx+c0

3、 的幾何意義是什么? 怎樣才能求得這個(gè)不等式的解的集合?,要確定解集關(guān)鍵是要求得圖象與 x 軸的交點(diǎn),圖象與 x 軸的交點(diǎn)就是方程 ax2+bx+c=0 的根.,的聯(lián)系.,所以二次函數(shù), 二次不等式, 二次方程有著緊密,x1xx2,當(dāng)拋物線的開(kāi)口向下時(shí),如圖,不等式 ax2+bx+c0 的,解集在兩根之間.,x2,xx1,xx2,x1,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30;(3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40;(5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(1),解方程 x2-4x+3=0 的根得,x1=1, x

4、2=3.,使 x2-4x+30 如圖,得不等式的解集為, x | x3 .,x1,x3,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30;(3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40;(5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(2),解方程 x2-4x+3=0 的根得,x1=1, x2=3.,使 x2-4x+30 如圖,得不等式的解集為, x | 1 x3 .,將原不等式同解變形為,x2-4x+30,1x3,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30;(3) x2-4x+40; (4) -

5、x2+4x-40;(5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(3),解方程 x2-4x+4=0 的根得,x1=x2=2.,使 x2-4x+40 如圖,得不等式的解集為, x | x2, xR .,x2,x2,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30;(3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40;(5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(4),解方程 x2-4x+4=0 的根得,x1=x2=2.,使 x2-4x+40 如圖,得不等式的解集為, x | x=2 .,將原不等式同解變形為,x2-4x+4

6、0,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30;(3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40;(5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(5),方程 x2-4x+5=0 無(wú)實(shí)根,使 x2-4x+50 如圖,得不等式的解集為, x | xR .,=16-20 = -4,0,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) x2-4x+30; (2) -x2+4x-30;(3) x2-4x+40; (4) -x2+4x-40;(5) x2-4x+50; (6) -x2+4x-50.,解:,(6),使 x2-4x+50 如圖,得不等式的解集為

7、,x.,將原不等式同解變形為,x2-4x+50,方程 x2-4x+5=0 無(wú)實(shí)根,=16-20 = -4,0,(請(qǐng)同學(xué)們歸納一元二次不等式的解法),無(wú)圖象,如圖是解一元二次不等式的程序框圖,請(qǐng)完成其中的步驟.,0,xR, xx1,xx2,練習(xí): (課本80頁(yè)),第 1 題.,1. 求下列不等式的解集: (1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0; (7) 3x2+5x0.,解:,(1),練習(xí): (課本80頁(yè)),原不等式變?yōu)?3x2-7x-100,解得方程 3x2-7x-10=0 的根為,原不等式的解集為,解:,(2),原不等式變?yōu)?2x2-x+50,= -

8、390,原不等式的解集為實(shí)數(shù)集 R.,1. 求下列不等式的解集: (1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0; (7) 3x2+5x0.,練習(xí): (課本80頁(yè)),解:,(3),1. 求下列不等式的解集: (1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0; (7) 3x2+5x0.,練習(xí): (課本80頁(yè)),原不等式變?yōu)?x2-4x+40,解方程 x2-4x+4=0 的根為,原不等式的解集為,x1=x2=2,x|x2.,解:,(4),1. 求下列不等式的解集: (1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -

9、2x2+x0; (7) 3x2+5x0.,練習(xí): (課本80頁(yè)),原不等式的解集為,方程 的根為,解:,(5),1. 求下列不等式的解集: (1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0; (7) 3x2+5x0.,練習(xí): (課本80頁(yè)),原不等式變?yōu)?2x2-x-30,解方程 2x2-x-3=0 的根為,原不等式的解集為,解:,(6),1. 求下列不等式的解集: (1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0; (7) 3x2+5x0.,練習(xí): (課本80頁(yè)),方程 12x2-31x+20=0 的根為,原不等式的解集為,解:

10、,(7),1. 求下列不等式的解集: (1) 3x2-7x10; (2) -2x2+x-50; (5) -2x2+x0; (7) 3x2+5x0.,練習(xí): (課本80頁(yè)),方程 3x2+5x=0 的根為,原不等式的解集為,【課時(shí)小結(jié)】,1. 一元二次不等式的幾何意義,ax2+bx+c0,表示函數(shù) y=ax2+bx+c 的,圖象在 x 軸上方的部分.,ax2+bx+c0,表示函數(shù) y=ax2+bx+c 的,圖象在 x 軸上方的部分.,ax2+bx+c0,ax2+bx+c0,【課時(shí)小結(jié)】,1. 一元二次不等式的幾何意義,ax2+bx+c0,解集表示 x 軸上方部分,圖象的 x 坐標(biāo)的范圍;,ax2

11、+bx+c0,解集表示 x 軸下方部分,圖象的 x 坐標(biāo)的范圍.,【課時(shí)小結(jié)】,2. 一元二次不等式的解法步驟,(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎?,(2) 判斷對(duì)應(yīng)方程是否有根.,(3) 根據(jù)根的情況確定解集:, 若有兩不等根, 解出這兩根:,(設(shè) x1x2),當(dāng) ax2+bx+c0 (a0) 時(shí),解集為 x | xx2.,當(dāng) ax2+bx+c0) 時(shí),解集為 x | x1xx2.,【課時(shí)小結(jié)】,2. 一元二次不等式的解法步驟,(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎?,(2) 判斷對(duì)應(yīng)方程是否有根.,(3) 根據(jù)根的情況確定解集:, 若有兩相等根(一根 x0):,當(dāng) ax2+bx+c0 (a0) 時(shí),解集為 x

12、 | xR, xx0.,當(dāng) ax2+bx+c0) 時(shí),解集為空集 ( x ).,【課時(shí)小結(jié)】,2. 一元二次不等式的解法步驟,(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎?,(2) 判斷對(duì)應(yīng)方程是否有根.,(3) 根據(jù)根的情況確定解集:, 若無(wú)實(shí)根:,當(dāng) ax2+bx+c0 (a0) 時(shí),解集為實(shí)數(shù)集 ( xR ).,當(dāng) ax2+bx+c0) 時(shí),解集為空集 ( x ).,習(xí)題3.2,A 組,第 1、2、3 題.,B 組,第 1 題.,1. 求下列不等式的解集: (1) 4x2-4x15; (2) 13-4x20; (3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,原不等式變?yōu)?4x2-4x-150

13、,解方程 2x2-x-3=0 的根為,原不等式的解集為,(1),1. 求下列不等式的解集: (1) 4x2-4x15; (2) 13-4x20; (3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,原不等式變?yōu)?4x2-130,方程 4x2-13=0 的根為,原不等式的解集為,(2),1. 求下列不等式的解集: (1) 4x2-4x15; (2) 13-4x20; (3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,方程 x2-3x-10=0 的根為,原不等式的解集為,(3),x1= -2, x2=5,x|x5.,1. 求下列不等式的解集: (1) 4x2-4x15; (2

14、) 13-4x20; (3) x2-3x-100; (4) x(9-x)0.,解:,原不等式變?yōu)?x2-9x0,其方程 x2-9x0 的根為,(4),原不等式的解集為,x1= 0, x2=9,x|0 x9.,2. 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2),解:,(1),要使函數(shù)有意義, 需,x2-4x+90,方程 x2-4x+9=0 無(wú)實(shí)根,函數(shù) x2-4x+9=0 的圖象在 x 軸的上方, x2-4x+9 恒大于0,即原函數(shù)的定義域?yàn)?-, +).,2. 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2),解:,(2),要使函數(shù)有意義, 需,-2x2+12x-180,方程 x2-6x+9=0 有兩相等實(shí)根,得

15、不等式 x2-6x+90 的解集為, 3 ,原函數(shù)的定義域?yàn)?3 .,不等式變形為,x2-6x+90,x1=x2=3,3. 若關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-(m+1)x-m=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 求 m 的取值范圍.,解:,=(-m-1)2+4m0,整理得 m2+6m+10,方程 m2+6m+1=0 的根為,則 m 的取值范圍是,解:,(1),原不等式變?yōu)?4x2-20 x-250,解得方程 4x2-20 x-25=0 的根為,原不等式的解集為空集.,B 組,1. 求下列不等式的解集: (1) 4x2-20 x0; (4) x(1-x)x(2x-3)+1.,解:,(2),x1=3, x

16、2=7,方程 (x-3)(x-7)0 的根為,原不等式的解集為,x|3x7.,B 組,1. 求下列不等式的解集: (1) 4x2-20 x0; (4) x(1-x)x(2x-3)+1.,解:,(3),原不等式變?yōu)?3x2-5x+40,原不等式的解集為空集., = -23 0,B 組,1. 求下列不等式的解集: (1) 4x2-20 x0; (4) x(1-x)x(2x-3)+1.,解:,(4),原不等式變?yōu)?3x2-4x+10,解得方程 3x2-4x+1=0 的根為,原不等式的解集為,第一課時(shí),第二課時(shí),3.2,一元二次不等式,及其解法,(第二課時(shí)),1. 拋物線開(kāi)口向下時(shí), 怎樣根據(jù)圖象求一

17、元二次不等式的解集?,2. 一元二次不等式的應(yīng)用.,問(wèn)題1. 上一節(jié)我們解一元二次不等式時(shí), 始終把二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎? 如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí), 可直接根據(jù)拋物線求解嗎?,二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí), 只是拋物線開(kāi)口方向不同,同樣 x 軸上方表示 “0”, x 軸,不等式 ax2+bx+c0 的解集為,x|x1xx2.,不等式 ax2+bx+c0 的解集為,x|xx2.,下方表示 “0”.,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) 2x2-3x+10.,(1),解:,方程 2x2-3x+1=0 的根是,不等式 2x2-3x+10,的解集為,例(補(bǔ)充). 解下列不等式:(1) 2x2-3x+10.,解:,(2),

18、方程 -2x2-3x-1=0 的根是,圖象開(kāi)口向下(如圖),不等式 -2x2+3x-10,的解集為,2. 自變量 x 在什么范圍取值時(shí), 下列函數(shù)的值等于 0? 大于 0? 小于 0 呢? (1) y=3x2-6x+2; (2) y=25-x2; (3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(1),方程 3x2-6x+2=0 的根為,當(dāng) 時(shí), 函數(shù)值等于 0;,當(dāng) 時(shí), 函數(shù)值大于 0;,當(dāng) 時(shí), 函數(shù)值小于 0.,拋物線 y=3x2-6x+2 的開(kāi)口向上,練習(xí): (課本80頁(yè)),2. 自變量 x 在什么范圍取值時(shí), 下列函數(shù)的值等于 0? 大于 0? 小于 0

19、 呢? (1) y=3x2-6x+2; (2) y=25-x2; (3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(2),方程 25-x2=0 的根為,當(dāng) x=5 時(shí), 函數(shù)值等于 0;,當(dāng) -5x5 時(shí), 函數(shù)值大于 0;,當(dāng) x5 時(shí), 函數(shù)值小于 0.,x=5,拋物線 y=25-x2 的開(kāi)口向下,練習(xí): (課本80頁(yè)),2. 自變量 x 在什么范圍取值時(shí), 下列函數(shù)的值等于 0? 大于 0? 小于 0 呢? (1) y=3x2-6x+2; (2) y=25-x2; (3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(3), = -4

20、0,函數(shù)的圖象全部在 x 軸上邊,x 取一切實(shí)數(shù)函數(shù)值都大于 0.,拋物線 y=3x2+6x+10 的開(kāi)口向上,練習(xí): (課本80頁(yè)),2. 自變量 x 在什么范圍取值時(shí), 下列函數(shù)的值等于 0? 大于 0? 小于 0 呢? (1) y=3x2-6x+2; (2) y=25-x2; (3) y=x2+6x+10; (4) y=-3x2+12x-12.,解:,(4),方程 -3x2+12x-12=0 的根為,當(dāng) x=2 時(shí), 函數(shù)值等于 0;,函數(shù)值不大于 0.,x2 時(shí), 函數(shù)值小于 0;,x1=x2=2,頂點(diǎn)在 x 上, 圖象在下半平面,拋物線 y= -3x2+12x-12 的開(kāi)口向下,練習(xí)

21、: (課本80頁(yè)),【一元二次不等式的應(yīng)用】,解:,剎車距離 s 大于39.5 m, 即,不等式變?yōu)?x2+9x-71100,解得 x 79.94.,答: 這輛車剎車前的速度至少是79.94 km/h.,例4. 一個(gè)車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線, 這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量 x (輛) 與創(chuàng)造的價(jià)值 y (元) 之間有如下的關(guān)系: y = -2x2+220 x. 若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上, 那么它在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車?,解:,要?jiǎng)?chuàng)收6000元以上, 需,-2x2+220 x6000,不等式變?yōu)?x2-110 x+30000,解得 5

22、0 x60,答: 一個(gè)星期內(nèi)應(yīng)生產(chǎn)5159輛之間.,注意: 摩托車的輛數(shù)應(yīng)為整數(shù).,習(xí)題3.2,A 組,第 4、5、6 題.,B 組,第 2、3、4 題.,4. 已知集合 A=x | x2-160, 求AB.,解:,解不等式 x2-160 得,-4x4.,解不等式 x2-4x+30 得,x3.,x| xR.,-4,4,1,3,則 AB =,5. 在一次體育課上, 某同學(xué)以初速度 v0 = 12 m/s豎直上拋一排球, 該排球能夠在地面 2 m 以上的位置最多停留多長(zhǎng)時(shí)間? (注: 若不計(jì)空氣阻力, 則豎直上拋的物體距離地面的高度 h 與時(shí)間 x 滿足關(guān)系 h = v0t - gt2, 其中g(shù)

23、=9.8 m/s2.),解:,高度在 2 m 以上, 則,整理得 49 t2 -120 t +200,解得 0.18t2.27.,答: 最多停留 2 秒.,2.27-0.18=2.09.,6. 某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈, 若按每盞臺(tái)燈 15元的價(jià)格銷售, 每天能賣出30盞; 若售價(jià)每提高 1 元,日銷售量將減少 2 盞. 為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上的銷售收入, 應(yīng)怎樣制定這批臺(tái)燈的銷售價(jià)格?,解:,設(shè)銷售價(jià)比原來(lái)提高 x 元, 則,每天賣出的臺(tái)燈數(shù)將減少 2x 盞;,每天可獲得的銷售收入是,(30-2x)(15+x).,要獲得400元以上的收入, 需,(30-2x)(15+x)400,

24、整理得 x225,x0,解得 -5x5.,0 x5.,則臺(tái)燈應(yīng)定價(jià)為15到19元.,(答略),2. m 是什么實(shí)數(shù)時(shí), 關(guān)于 x 的一元二次方程 mx2-(1-m)x+m=0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根?,解:,一元二次方程 mx2-(1-m)x+m=0 無(wú)實(shí)根, 需,m0,(-1+m)2-4m20,整理得,解得 m -1, 或,即 m -1, 或 時(shí), 所給一元二次方程無(wú)實(shí)根.,B 組,3. 已知函數(shù) 求使函數(shù)值大于0的 x 的取值范圍.,解:,使函數(shù)值大于0, 即,解這個(gè)不等式得,即要使函數(shù)值大于 0, x 的取值范圍是,4. 如圖, 據(jù)氣象部門預(yù)報(bào), 在距離某碼頭南偏東45方向600 km 處的熱帶風(fēng)暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移動(dòng), 距風(fēng)暴中心 450 km 以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響. 從現(xiàn)在起多長(zhǎng)時(shí)間后, 該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴的影響, 影響時(shí)間大約為多長(zhǎng)?,解:,若碼頭受到風(fēng)暴影響, 則,|OB|450 km.,風(fēng)暴中心從A點(diǎn)向B點(diǎn)移動(dòng),AB=20t.,OAB=45,在OAB中, OA=600,則,13.7t28.7,答: 13.7小時(shí)后, 碼頭將受到風(fēng)暴的影響, 受風(fēng)暴影響的時(shí)間約有15個(gè)小時(shí).,28.7-13.7=15,完,完,3.2節(jié)完了, OK! ,