《課標(biāo)通用2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案理.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《課標(biāo)通用2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案理.doc-匯文網(wǎng)（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考綱展示1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本運(yùn)算1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于_，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母_表示，定義表達(dá)式為anan1d(常數(shù))(nN*，n2)或an1and(常數(shù))(nN*)(2)等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A.答案：(1)2同一個(gè)常

2、數(shù)d2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是_(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和Snna1d或Sn.答案：(1)ana1(n1)d(1)教材習(xí)題改編已知等差數(shù)列5，2,1，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為_(kāi)答案：52(2)教材習(xí)題改編在100以內(nèi)的正整數(shù)中有_個(gè)能被6整除的數(shù)答案：16知三求二 等差數(shù)列中，有五個(gè)基本量，a1，d ，n，an，Sn，這五個(gè)基本量通過(guò)_，_聯(lián)系起來(lái)，如果已知其中三個(gè)量，利用這些公式，便可以求出其余兩個(gè)的值，這其間主要是通過(guò)方程思想，列方程組求解答案：通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式 典題1(1)設(shè)

3、Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S84a3，a72，則a9()A6 B4 C2 D2答案A解析解法一(常規(guī)解法)：設(shè)公差為d，則8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6.解法二(結(jié)合性質(zhì)求解)：根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，可得S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.(2)2017河北武邑中學(xué)高三期中等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，a19，2，則S10()A0 B9 C10 D10答案A解析因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且公差為d1，故1(101)990，故選A.(3)2017河北唐山模擬設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S36，S412

4、，則S6_.答案30解析解法一：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S36，S412，可得 解得 則S66a115d30.解法二：等差數(shù)列an，故可設(shè)SnAn2Bn，由S36，S412，可得 解得 即Snn2n，則S636630.點(diǎn)石成金等差數(shù)列運(yùn)算的解題思路及答題步驟(1)解題思路由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中的三個(gè)便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”，“知三求二”的實(shí)質(zhì)是方程思想，即建立方程組求解(2)答題步驟步驟一：結(jié)合所求結(jié)論，尋找已知與未知的關(guān)系；步驟二：根據(jù)已知條件列方程求出未知量；步驟三：利用前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果考點(diǎn)2等差數(shù)列的判斷與證明 等

5、差數(shù)列的概念的兩個(gè)易誤點(diǎn)：同一個(gè)常數(shù)；常數(shù). (1)在數(shù)列an中，若a11，an1an2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an_.答案：2n1解析：由an1an2，知an為等差數(shù)列，其公差為2，故an1(n1)22n1.(2)若數(shù)列an滿足a11，an1ann，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.答案：1解析：由an1ann，得a2a11，a3a22，anan1n1，各式相加，得ana112n1，故an1.典題2 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明當(dāng)n2時(shí)，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2.又2，

6、故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)，可得2n，Sn.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.當(dāng)n1時(shí)，a1不適合上式故an 題點(diǎn)發(fā)散1若將母題條件變?yōu)椋簲?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，2Snnann.求證：an為等差數(shù)列證明：2Snnann，當(dāng)n2時(shí)，2Sn1(n1)an1n1，得(2n)an(n1)an11，則(1n)an1nan1，2anan1an1(n2)，數(shù)列an為等差數(shù)列題點(diǎn)發(fā)散2若母題變?yōu)椋阂阎獢?shù)列an中，a12，an2(n2，nN*)，設(shè)bn(nN*)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：an2，an12.bn1bn1，bn是首項(xiàng)為b11，公差為1的等差數(shù)列點(diǎn)石成金等差數(shù)列的判定與證

7、明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于n2的任意自然數(shù)，anan1(n2，nN*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法anpnq(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證SnAn2Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列2017陜西西安模擬已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3a4117，a2a522.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，是否存在非零實(shí)數(shù)c使得bn為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1

8、)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d0，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2a5a3a422，所以a3，a4是關(guān)于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通項(xiàng)為an1(n1)44n3.(2)由(1)知，Sn2n2n，所以bn.解法一：所以b1，b2，b3(c0)由2b2b1b3，解得c.當(dāng)c時(shí)，bn2n，當(dāng)n2時(shí)，bnbn12.故當(dāng)c時(shí)，數(shù)列bn為等差數(shù)列解法二：由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列即存在一個(gè)非零常數(shù)c，使數(shù)列bn為等差數(shù)列考點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an

9、am_(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則_(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為_(kāi)(4)若an，bn是等差數(shù)列，公差為d，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為_(kāi)的等差數(shù)列(6)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(7)S2n1(2n1)an.(8)若n為偶數(shù)，則S偶S奇；若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項(xiàng))答案：(1)(nm)d(2)akalaman(3)2d(5)md等差數(shù)列的基本公式：通項(xiàng)公式；前n項(xiàng)和公式(1)等差數(shù)列an中，a2a31，a5

10、2a127，則a5_.答案：13解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有2a13d1,4da127，解得d5，a17，所以a5a14d13.(2)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差為4，前n項(xiàng)和為120，則n_.答案：8解析：an1(n1)44n3，所以Sn120，解得n8或n(舍去).等差數(shù)列運(yùn)算的兩個(gè)方法：應(yīng)用性質(zhì)；巧妙設(shè)元(1)在等差數(shù)列an中，已知a4a1012，則該數(shù)列前13項(xiàng)和S13_.答案：78解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和公式，得S1378.(2)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8，則an的通項(xiàng)公式是_答案：an3n5或an3n7解析：設(shè)等差數(shù)列an的前三項(xiàng)為a2d，a2，a2

11、d，由題意得 解得 或 所以an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7. 典題32017河南洛陽(yáng)統(tǒng)考設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9()A63 B45 C36 D27答案B解析由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故選B.點(diǎn)石成金在等差數(shù)列an中，數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具.1.2017寧夏銀川模擬已知等差數(shù)列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1332.若am8，則m()A8 B12 C6 D

12、4答案：A解析：由a3a6a10a1332，得(a3a13)(a6a10)32，即4a832，a88，m8.故選A.2已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.答案：60解析：S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.考點(diǎn)4等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題典題4在等差數(shù)列an中，a129，S10S20，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最大值為()AS15 BS16 CS15或S16 DS17答案A解析a129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n(2)n230n(n15)2225.當(dāng)

13、n15時(shí)，Sn取得最大值題點(diǎn)發(fā)散1若將條件“a129，S10S20”改為“a10，S5S12”，如何求解？解：解法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S5S12，得5a110d12a166d，解得da10，nN*，所以當(dāng)n8或n9時(shí)，Sn有最大值解法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，同解法一得da10.設(shè)此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大，則即解得即8n9，又nN*，所以當(dāng)n8或n9時(shí)，Sn有最大值解法三：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，同解法一得da10，S130”，如何求解？解：因?yàn)閍3a12d12，所以a1122d，所以即解得d3.故公差d的取值范圍為.解法一：由d0可知，an為遞減數(shù)列，因此，在1n12中，必存在

14、一個(gè)自然數(shù)n，使得an0，an10，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于于是a70，因此S6最大解法二：由d0可知an是遞減數(shù)列，令可得由d3，可得所以5.5n0，a4a70，且SpSq(pq)，則若pq為偶數(shù)，則當(dāng)n時(shí)，Sn最大；若pq為奇數(shù)，則當(dāng)n或n時(shí)，Sn最大.1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5a74，a6a82，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n()A5 B6 C7 D8答案：B解析：依題意，得2a64,2a72，a620，a710.又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n6，故選B.22017安徽望江中學(xué)模

15、擬設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S65a110d，則Sn取最大值時(shí)，n()A5 B6 C5或6 D11答案：C解析：由題意，得S66a115d5a110d，所以a60，故當(dāng)n5或6時(shí)，Sn最大，故選C.方法技巧1.在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為：(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可視具體情況而定2數(shù)列an為等差數(shù)列(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；.(2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1，則S2n1(2n1)an；S奇S偶an；.3若數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn，則

16、.4若amn，anm(m0)，則amn0.易錯(cuò)防范1.公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列2求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件若對(duì)稱軸取不到，需考慮最接近對(duì)稱軸的自變量n(n為正整數(shù))；若對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)在兩個(gè)正整數(shù)的中間，此時(shí)應(yīng)有兩個(gè)符合題意的n值 真題演練集訓(xùn) 12016新課標(biāo)全國(guó)卷已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A100 B99 C98 D97答案：C解析：由等差數(shù)列性質(zhì)知，S99a527，解得a53，而a10

17、8，因此公差d1，a100a1090d98，故選C.22015北京卷設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A若a1a20，則a2a30B若a1a30，則a1a20C若0a1a2，則a2D若a10，則(a2a1)(a2a3)0答案：C解析：A，B選項(xiàng)易舉反例C中若0a1a2，a3a2a10，a1a32，又2a2a1a3，2a22，即a2成立D中，若a10，則(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選C.32016江蘇卷已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_答案：20解析：設(shè)等差數(shù)列an公差為d，由題意，得 解得 則a9a18d48320.4201

18、6新課標(biāo)全國(guó)卷Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和解：(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎n 所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1902900311 893. 課外拓展閱讀 巧用三點(diǎn)共線解等差數(shù)列問(wèn)題1等差數(shù)列的求解由等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系可知：對(duì)于公差為d(d0)的等差數(shù)列an，其通項(xiàng)公式為andn(a1d)，則點(diǎn)(n，a

19、n)(nN*)共線，又d(nm)，所以d為過(guò)(m，am)，(n，an)兩點(diǎn)的直線的斜率由此可用三點(diǎn)共線解決等差數(shù)列問(wèn)題典例1若數(shù)列an為等差數(shù)列，apq，aqp(pq)，則apq_.思路分析解析解法一：設(shè)數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍paq(pq)d，所以qp(pq)d，即qp(pq)d.因?yàn)閜q，所以d1.所以apqap(pqp)dqq(1)0.解法二：因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以點(diǎn)(n，an)(nN*)在一條直線上不妨設(shè)pq，記點(diǎn)A(p，q)，B(q，p)，則直線AB的斜率k1，如圖所示，由圖知OCpq，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(pq,0)，故apq0.答案0典例2已知an為等差數(shù)列，且a100304，a300904，求a1 000.思路分析 解因?yàn)閍n為等差數(shù)列，則(100,304)，(300,904)，(1 000，a1 000)三點(diǎn)共線，所以，解得a1 0003 004.2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求解在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的變形Snn2n中，兩邊同除以n得n.該式說(shuō)明對(duì)任意nN*，所有的點(diǎn)都在同一條直線上，從而對(duì)m，nN*(mn)有(常數(shù))，即數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列典例3已知在等差數(shù)列an中，Sn33，S2n44，求這個(gè)數(shù)列的前3n項(xiàng)的和S3n.解由題意知，三點(diǎn)在同一條直線上，從而有，解得S3n33.所以該數(shù)列的前3n項(xiàng)的和為33.