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1、高等流體力學(xué)高等流體力學(xué)第三章流體力學(xué)基本方程3 流體力學(xué)基本方程流體力學(xué)基本方程 流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵循物理學(xué)三大守恒定律，即：質(zhì)質(zhì)量量守守恒恒定律、動(dòng)動(dòng)量量守守恒恒定律和能能量量守守恒恒定律。流體動(dòng)力學(xué)基本方程組就是這三大定律對流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述。但是，流體力學(xué)基本方程組是不封閉的，要使其封閉還需增加輔助的物性關(guān)系，如：密度、比熱、粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)隨溫度、壓強(qiáng)的變化關(guān)系等。目前尚不能求得這一方程組的解析解，但研究這一方程組的性質(zhì)卻具有極其重要的意義，因?yàn)閷?shí)際流體的流動(dòng)過程遵循這一基本方程組。3.1 系統(tǒng)和控制體的概念系統(tǒng)和控制體的概念 3.1.1系統(tǒng)包含著確定不變的物質(zhì)的任何集合，稱之為系

2、系統(tǒng)統(tǒng)，系統(tǒng)以外的一切，統(tǒng)稱為外界。系統(tǒng)的邊界是把系統(tǒng)和外界分開的真實(shí)或假想的表面。在流體力學(xué)中，系統(tǒng)就是指由由確確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)。3.1.1 系統(tǒng)系統(tǒng) 流體系統(tǒng)的邊界有如下特點(diǎn)：系系統(tǒng)統(tǒng)的邊邊界界隨隨著流流體體一起運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)。系統(tǒng)的體積邊界面的形狀和大小可以隨時(shí)間變化；在系系統(tǒng)統(tǒng)的邊邊界界處處沒沒有有質(zhì)質(zhì)量量交交換換，即沒有流體進(jìn)入或跑出系統(tǒng)的邊界；在系系統(tǒng)統(tǒng)的邊邊界界上上，受受到到外外界作用在系統(tǒng)上的表面力力；在系系統(tǒng)統(tǒng)邊邊界界上上可以有有能能量量交交換換，即可以有能量(熱或功)通過邊界進(jìn)入或離開系統(tǒng)。3.1.1 系統(tǒng)系統(tǒng) 如果我們使用系統(tǒng)來研究連續(xù)介質(zhì)

3、的流動(dòng)，那就意味著采用拉格朗日觀點(diǎn)，即以確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)作為研究的對象。但是對大多數(shù)實(shí)際的流體力學(xué)問題來說，采用歐拉觀點(diǎn)更為方便，與此相應(yīng)，必須引進(jìn)控制體的概念。3.1 系統(tǒng)和控制體的概念系統(tǒng)和控制體的概念 3.1.2控制體 被流體所流過的相對于某個(gè)坐標(biāo)系來說是固定不變的任何體積稱之為控控制制體體。控制體的邊界面，稱之為控控制制面面。它總是封閉表面。占據(jù)控制體的諸流體質(zhì)點(diǎn)是隨著時(shí)間而改變的。3.1.2 控制體控制體 控制面有如下待點(diǎn)：控制體的邊界(控控制制面面)相對于坐標(biāo)系是是固固定定的的；在控控制制面面上上可以有有質(zhì)質(zhì)量量交交換換，即有流體跑進(jìn)或跑出控制面；在控控制制面面上上受受

4、到到控制體以外外物體加在控制體之內(nèi)物體上的力力；在控控制制面面上上可以有有能能量量交交換換，即可以有能量(內(nèi)能、動(dòng)能、熱或功)跑進(jìn)或跑出控制面。3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在運(yùn)動(dòng)流體中的數(shù)學(xué)表達(dá)式。連續(xù)性方程是運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，它與力無關(guān)，所以既適用于理想流體也適用于粘性流體。在流動(dòng)空間中，考察一微元控制體，其體積為dxdydz，對某一固定參考系統(tǒng)，它是固定在空間中的，如下圖所示。3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 質(zhì)質(zhì)量量守守恒恒定定律律可表述如下：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量應(yīng)等于從控制體凈流出的流體質(zhì)量。控制體內(nèi)流體的流入與流出yxuxdzdxdyoz3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方

5、程(1)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的變化dt時(shí)間中控制體內(nèi)流體密度的變化為dt時(shí)間中控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量為3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程(2)通過控制面凈流出控制體的流體質(zhì)量dt時(shí)間內(nèi)在x方向通過左右兩個(gè)側(cè)面(控制面)凈流出的流體質(zhì)量為同理，dt時(shí)間中在y、z方向通過相應(yīng)控制面凈流出的流體質(zhì)量分別為3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程(3)流體流動(dòng)的連續(xù)性方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，由上述分析可得出對于單位時(shí)間單位體積空間而言這就是直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的連連續(xù)續(xù)性性方方程程式式，將之寫成向量形式即得3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 按求和約定，連續(xù)性方程可表示成使用恒等式，連續(xù)性方程可寫成其中：3.2 連續(xù)性方程

6、連續(xù)性方程 對于定常流動(dòng)，連續(xù)性方程變成按求和約定，上式表示成它表示了單位時(shí)間流出單位體積空間的質(zhì)量等于流入該體積空間的質(zhì)量，也可以說微元控制體內(nèi)的流體密度不隨時(shí)間而改變。3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 對于不可壓縮流體的流動(dòng)問題，不可壓縮流體流動(dòng)的連續(xù)性方程為按求和約定，上式表示成上式說明，由于流體微團(tuán)的密度和質(zhì)量在流動(dòng)過程中都不變，所以流體微團(tuán)的體積在運(yùn)動(dòng)中也不會(huì)改變。3.2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 在圓柱坐標(biāo)系(r,z)中，流體流動(dòng)的連續(xù)性方程為在球坐標(biāo)系(r,)中，流體流動(dòng)的連續(xù)性方程為3.3 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 一般而言，所謂本構(gòu)方程是指描述物質(zhì)對所受力的力學(xué)響應(yīng)的方程。對運(yùn)動(dòng)的粘性流體而

7、言，應(yīng)力與變形速度之間的關(guān)系稱為本構(gòu)方程。3.3.1流體的表面應(yīng)力張量 為了建立流體動(dòng)力學(xué)方程，需要分析流體微團(tuán)上所受到的各種作用力。流體微團(tuán)受到的作用力可以分為兩大類：一類是質(zhì)量力，它是作用在流體所有質(zhì)點(diǎn)上的非接觸力，如重力、慣性力、電磁力等；另一類是表面力，它是作用在流體微團(tuán)界面上的接觸力，如壓力、摩擦力等?，F(xiàn)只考慮表面力。3.3.1 流體的表面應(yīng)力張量流體的表面應(yīng)力張量 如右圖所示的正六面體流體微團(tuán)，在垂直于x軸的左右兩個(gè)側(cè)表面上，分別作用有合應(yīng)力 px 和流體微團(tuán)的表面應(yīng)力張量 xxxzzpx(x,y,z)xydydzdxoxy3.3.1 流體的表面應(yīng)力張量流體的表面應(yīng)力張量 此處的下

8、標(biāo)x表示應(yīng)力向量作用在與x軸垂直的微元面上。由此可得到作用在垂直于x軸的微元面上的表面力的合力為同理，作用在垂直于y軸和z軸的微元面上的表面力的合力分別為3.3.1 流體的表面應(yīng)力張量流體的表面應(yīng)力張量 綜和上述結(jié)果，可得到作用于單位體積流體的表面力的合力上式中px、py和pz都是向量，可以將它們沿三個(gè)坐標(biāo)方向分解，即分解成垂直于各微元面的正應(yīng)力和平行于各微元面的切應(yīng)力，例如上面圖中作用于與x軸垂直的微元面上的應(yīng)力px可分解成同理3.3.1 流體的表面應(yīng)力張量流體的表面應(yīng)力張量 下標(biāo)規(guī)定：第一個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力所在平面的外法線方向，第二個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力的方向。例如，xy表示作用在與x軸垂直的平面上沿

9、y方向的切應(yīng)力。由上述分析可見，要完全描述微元體上的應(yīng)力，則需要九個(gè)分量，這九個(gè)分量就組成了應(yīng)力張量，應(yīng)力張量可表示成3.3.1 流體的表面應(yīng)力張量流體的表面應(yīng)力張量 可以證明，應(yīng)力張量是二階對稱張量。正應(yīng)力的正方向?yàn)樽饔妹嫱夥ň€方向；對于切應(yīng)力，當(dāng)作用面的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)，取沿坐標(biāo)軸正方向的切應(yīng)力為正，當(dāng)作用面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)，取沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的切應(yīng)力為正。這樣，單位體積流體的表面力可寫成3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 物質(zhì)所受到的應(yīng)力與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間存在著一定的關(guān)系。在彈性力學(xué)中，這種關(guān)系是由虎克定律表示的，即彈性固體中應(yīng)力與應(yīng)變成正比；在流體力學(xué)中，不

10、同性質(zhì)的流體這種關(guān)系有不同的類型，對于水、空氣和潤滑油等化學(xué)結(jié)構(gòu)比較簡單的低分子流體，應(yīng)力與變形速率成正比，也就是說，應(yīng)應(yīng)力力與與變變形形速速率率之之間間存存在在著著線線性性關(guān)關(guān)系系，服從這種線性關(guān)系的流體的流體稱為牛頓流體牛頓流體。3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 牛頓提出了關(guān)于粘性流體作直線層狀運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩流體層間的切應(yīng)力的假設(shè)。認(rèn)為切應(yīng)力與層間速度梯度成正比，即 為動(dòng)力粘性系數(shù)，其值取決于流體的物理性質(zhì)。通常稱上式為牛頓內(nèi)摩擦牛頓內(nèi)摩擦定律定律。odyuu+duzxy3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 根據(jù)變形率張量和應(yīng)力張量，上式左邊對應(yīng)于平面直線運(yùn)動(dòng)特殊情

11、況下的應(yīng)力張量的一個(gè)切向分量，右邊的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對應(yīng)于變形率張量的一個(gè)分量。因此，可以理解為yx與yx成正比例3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 斯托克斯將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到粘性流體的任意流動(dòng)情形中去，假設(shè)：1)流體是連續(xù)的，其應(yīng)力張量是變形率張量的線性函數(shù)。2)流體是各向同性的，即它的性質(zhì)與方向無關(guān)。因此，無論坐標(biāo)系如何選取，它的應(yīng)力與變形率的關(guān)系是相同的。3)當(dāng)流體靜止，即變形率為零時(shí)，流體中的應(yīng)力就是流體靜壓力。3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 或者式中的負(fù)號(hào)表示壓力的方向總是與微元體表面外法線方向相反，I為單位張量實(shí)驗(yàn)證明，對大多數(shù)常見的液體和氣體，上述假設(shè)是

12、對的。3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 根據(jù)應(yīng)力張量與變形率張量是線性關(guān)系以及流體是各向同性的假設(shè)，可以將應(yīng)力張量與變形率張量的線性關(guān)系式寫成式中的系數(shù)a和b應(yīng)該是標(biāo)量。由于關(guān)系式是線性的，因此系數(shù)a不可能與張量和中的分量有關(guān)，而應(yīng)該與流體運(yùn)動(dòng)形態(tài)無關(guān)，它是取決于流體的物理屬性的系數(shù)。參照牛頓內(nèi)摩擦定律，令3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 至于系數(shù)b，由于在應(yīng)力張量與變形率張量線性關(guān)系式中右邊第二項(xiàng)是b與單位張量I的乘積，要保持該式的線性關(guān)系，b只能由張量與的分量線性地組成。又由于b是標(biāo)量，因此它應(yīng)該由張量與的分量中，那些當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)其值不變的分量組合來構(gòu)成。

13、對二階張量而言，主對角線上三個(gè)分量的和為它的線性不變量(即第一不變量)。3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 對于應(yīng)力張量的線性不變量為對于變形率張量的線性不變量為通過上述分析，可以寫出標(biāo)量b的一般關(guān)系式式中的b1、b2、b3為待定常數(shù)。3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 將標(biāo)量b的表達(dá)式代入應(yīng)力張量與變形率張量線性關(guān)系式中，得取等式兩邊主對角線上三個(gè)分量之和，可得歸并同類項(xiàng)后，得在靜止?fàn)顟B(tài)下，而且，因此，上式可以寫成3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 由于b1、b3均為常數(shù)，而且要求在靜壓力p0值為任意情況下均成立，則只有而這三個(gè)系數(shù)確定以后，就可得出

14、應(yīng)力張量與變形率張量之間的一般線性關(guān)系式3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 對于非粘性流體，一點(diǎn)的壓強(qiáng)在各個(gè)方向是相等的，此處引入平均壓強(qiáng)的概念，即對于粘性流體來講，類似地采用這樣的平均法向應(yīng)力，有如果待定常數(shù)b2記為，則通常稱上式為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，稱為膨脹粘性系數(shù)。3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 如以ui和xi(i1,2,3)分別代替ux,uy,uz和x,y,z，則可以寫出在直角坐標(biāo)系中應(yīng)力張量與變形率張量各分量之間的關(guān)系式3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 對于不可壓縮流體，則3.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程牛頓流體的本構(gòu)方程 廣義牛頓內(nèi)摩擦

15、定律建立了在一般情況下應(yīng)力張量與變形率張量之間的關(guān)系，它是粘性流體力學(xué)的個(gè)理論基礎(chǔ)。雖然在推廣的過程中采用了一些無法用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的不很嚴(yán)格的假定，但是根據(jù)這一關(guān)系所得出的粘性流體力學(xué)方程組對許多問題的解，均被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。因此間接地證明了這些推廣的可靠性。3.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)量方程)是動(dòng)量守恒定律對于運(yùn)動(dòng)流體的表達(dá)式。在充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間中，任取一控制閉曲面A，其所包圍的流體體積為V。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，該體積流體的動(dòng)量變化率等于作用在該體積流體上的質(zhì)量力和表面力之和。設(shè)單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力為f，當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時(shí)，fg。單位面積上的表面力為n，對粘性流體來講可以有

16、切向分量與法向分量。作用在該流體上的質(zhì)量力和表面力之和為而動(dòng)量的變化率為3.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 根據(jù)動(dòng)量定理有根據(jù)張量運(yùn)算的高斯公式(體積積分與面積積分的關(guān)系)，上式右邊可改寫成式中為應(yīng)力張量的散度。再根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式這樣，就有3.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 由于被積函數(shù)連續(xù)，且體積V是任意選取的，因此此即為粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式。在直角坐標(biāo)系中可寫成3.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 在質(zhì)量力已知的情況下，對于不可壓縮流體有12個(gè)未知量：3個(gè)速度分量及9個(gè)應(yīng)力分量，而僅有4個(gè)方程(3個(gè)分量的動(dòng)量方程和連續(xù)性方程)，不足以解12個(gè)未知數(shù)(至于可壓縮流體雖然又多了一個(gè)未知量密度，但可以多一個(gè)熱力學(xué)方程，不影響上述分析)。因此，需要運(yùn)用廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，將應(yīng)力張量用變形率張量來表示。3.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 廣義牛頓內(nèi)摩擦定律為所以 這就是向量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程式，在此方程式中則僅包括四個(gè)未知數(shù)：三個(gè)速度分量及一個(gè)壓強(qiáng)p。由此也可以進(jìn)一步體會(huì)到廣義牛頓內(nèi)摩擦定律在粘性流體力學(xué)中的重要意義。3.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程粘性流體運(yùn)動(dòng)方程 根