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1、第三章 流體力學(xué)基本方程,本章研究： 流體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律及其在工程中的初步應(yīng)用。,為什么河道較窄的地方流速較大？,思考1,高樓頂層的水壓為什么較低？,思考2,自來(lái)水可以爬上幾十米的高樓，洪水為什么不能爬上幾米的岸邊山坡？,思考3,水流速度V2是多少？,思考4,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,1.拉格朗日法：,一.拉格朗日法與歐拉法：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,1.拉格朗日法：,設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的軌跡為： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。(a,b,c

2、)為質(zhì)點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)。,研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。,一.拉格朗日法與歐拉法：,上式中用粗體字母表示矢量。,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,1.拉格朗日法：,速度：,加速度：,研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。,一.拉格朗日法與歐拉法：,u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t),研究流場(chǎng)空間中某個(gè)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)，并給出這些參數(shù)的分布。,2. 歐拉法：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,2. 歐拉法：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,上式中用粗體字母表示矢量

3、。,由速度分布求加速度：,2. 歐拉法：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t),由速度分布求加速度：,某質(zhì)點(diǎn)t 時(shí)刻位于（x, y, z），速度為：,t+t 時(shí)刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t),速度為：,V0和V1的關(guān)系為：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,(泰勒展開(kāi)式),加速度：,而：,注意到：,因此：,用粗體字母表示矢量，則：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,加速度的投影值：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,作業(yè)：P52-53，第19題、第21題。,1.恒定流（

4、定常流動(dòng)）：,2.非恒定流（非定常流動(dòng)）：,流場(chǎng)中各點(diǎn)處的所有流動(dòng)參數(shù)均不隨時(shí)間而變化的流動(dòng)。,流場(chǎng)中各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的所有流動(dòng)參數(shù)中只要有一個(gè)隨時(shí)間而變化，這樣的流動(dòng)就稱(chēng)為非恒定流。,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,二.恒定流與非恒定流：,跡線：給定質(zhì)點(diǎn)在一段連續(xù)時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,三.跡線和流線：,流線：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,三.跡線和流線：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,三.跡線和流線：,流線和跡線的區(qū)別：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,三.跡線和流線：,流線微分方程：,設(shè)流線微段為：,該點(diǎn)的流體的速度為：,因?yàn)椋?故兩矢量的坐標(biāo)分量對(duì)應(yīng)成比例：,3-1 描述流

5、體運(yùn)動(dòng)的方法,1. 流管：,2. 流束：,3. 元流：,在流場(chǎng)中任一條封閉曲線（不是流線）上的每一點(diǎn)作流線，這些流線所圍成的管狀表面稱(chēng)為流管。,流管內(nèi)的一束運(yùn)動(dòng)流體稱(chēng)為流束。,如果流管的橫截面積為dA,這種流管稱(chēng)為微流管,微流管內(nèi)的流束稱(chēng)為元流。,無(wú)數(shù)元流的總和稱(chēng)為總流。,4. 總流：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,四.流管、流束、元流、總流：,過(guò)流斷面：與流線正交的橫斷面。,平均流速：V = Q / A,對(duì)曲面A,（體積）流量 Q：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)過(guò)流斷面的流體體積。,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,五.流量：,1. 均勻流與非均勻流：,2. 漸變流與急變流：,在給定時(shí)刻，流場(chǎng)中各流線都是平行直線的

6、流動(dòng)稱(chēng)為均勻流；否之，則為非均勻流。,在非均勻流中，各流線是接近于平行直線的流動(dòng)稱(chēng)為漸變流（或稱(chēng)緩變流）；否之，則為急變流。,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,六.均勻流、非均勻流、漸變流、急變流：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,若流體的流動(dòng)參數(shù)是空間三個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱(chēng)為三元流動(dòng)；若流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱(chēng)為二元流動(dòng)；若流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱(chēng)為一元流動(dòng)。,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,七.一元流動(dòng)、二元流動(dòng)、三元流動(dòng)：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,動(dòng),3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,求：t = 0 時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）的流

7、線方程。,例1：,已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0,解： t = 0時(shí)，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流線微分方程：,流線過(guò)點(diǎn)A（-1，-1） C =1,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,流線方程為：,例2：已知某流場(chǎng)中流速分布為：u = -x， v = 2y, w = 5-z。求通過(guò)點(diǎn)(x,y,z) = (2,4,1)的流線方程。,解：,流線微分方程為：,由上述兩式分別積分，并整理得：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法,即流線為曲面 和平面 的交線。,將 (x,y,z)=(2,4,1) ,代入可確定 c1 和c2,故通點(diǎn)(2,4,1)的流線方程為：,3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)

8、的方法,3-2 連續(xù)性方程,1. 系統(tǒng)與控制體：,系統(tǒng)：,控制體：,包含確定不變的物質(zhì)的集合。,一個(gè)空間固定體稱(chēng)為控制體。,一.積分形式的連續(xù)性方程：,系統(tǒng)的流體質(zhì)量為：,質(zhì)量守恒: 系統(tǒng)的質(zhì)量在任何時(shí)刻都相等。,2. 連續(xù)性方程的推導(dǎo)：,我們選取 t 時(shí)刻系統(tǒng)的體積 和表面積 A 為控制體的體積和表面積。,3-2 連續(xù)性方程,3-2 連續(xù)性方程,因此：,對(duì)于任一物理量（如動(dòng)量）：,3-2 連續(xù)性方程,單位體積的某物理量。,即：系統(tǒng)的任一物理量的總變化率等于控制體內(nèi)該物理量的時(shí)間變化率和該物理量通過(guò)控制體表面的凈流出率之和。,由于質(zhì)量守恒，因此：,此方程稱(chēng)為積分形式的連續(xù)性方程。,3-2 連續(xù)

9、性方程,定常流動(dòng)：,一元流動(dòng)：1V1A1=2V2A2,不可壓縮流體的一元流動(dòng)：V1A1=V2A2,3-2 連續(xù)性方程,二元流動(dòng)，取控制體如圖，長(zhǎng)為dx, 寬為dy。設(shè)控制體中心點(diǎn)的速度分別為u，v，密度為。,第一項(xiàng)為：,3-2 連續(xù)性方程,二.微分形式的連續(xù)性方程：,考慮第二項(xiàng)：,左側(cè)面流入質(zhì)量：,右側(cè)面流出質(zhì)量：,x方向凈流出的質(zhì)量為：,3-2 連續(xù)性方程,單位時(shí)間內(nèi)控制體表面的凈流出量。,同理,單位時(shí)間內(nèi)y方向凈流出的質(zhì)量為：,因此：,即：,三元流動(dòng)：,3-2 連續(xù)性方程,對(duì)于定常流動(dòng)（恒定流）：,當(dāng)=常數(shù)時(shí)（不可壓縮流體）：,3-2 連續(xù)性方程,作業(yè)：P106，第6題、第8題。,3-3

10、流體運(yùn)動(dòng)的微分方程,x方向： max = F x,從理想流體中取出邊長(zhǎng)分別為dx、dy和dz的微元平行六面體。設(shè)微元體中心點(diǎn)的速度分量為u、v和w，其壓強(qiáng)為p、密度為。,理想流體的動(dòng)壓強(qiáng)與液體的靜壓強(qiáng)的特性一致。,一. 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：,同理：,即：,理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱(chēng)為歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。,不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱(chēng)為納維-斯托克斯方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為N-S方程。,3-3 流體運(yùn)動(dòng)的微分方程,N-S方程：,在N-S方程中，若 = 0（理想流體），則N-S方程變?yōu)闅W拉運(yùn)動(dòng)微分方程。,3-3 流體運(yùn)動(dòng)的微分方程,3-5 伯努利方程,一.理想流體沿流線s的伯努利方程：,加速度：,如果

11、流動(dòng)恒定，則：,考查理想流體沿流線s的運(yùn)動(dòng)方程：,1. 方程的推導(dǎo)：,3-5 伯努利方程,如果質(zhì)量力僅為重力：,如果為常數(shù)：,積分得：,沿流線積分,或：,位置水頭 (Z)、壓強(qiáng)水頭( p / ) 與流速水頭 (u/2g) 之和稱(chēng)為總水頭（H）。,這就是重力作用下，理想不可壓縮流體恒定流沿流線的伯努利方程。,3-5 伯努利方程,物理意義和幾何意義見(jiàn)第二章,物理意義單位重量的流體所具有的動(dòng)能幾何意義流速水頭,2.方程的物理意義和幾何意義：,恒定元流伯努利方程的物理意義：理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作恒定流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上機(jī)械能守恒。,恒定元流伯努利方程的幾何意義：理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作

12、恒定流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上總水頭保持不變。,由于元流的極限狀態(tài)就是流線，故沿流線的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。,3-5 伯努利方程,二.壓強(qiáng)沿流線法向的變化：,3-5 伯努利方程,漸變流和急變流的概念（復(fù)習(xí)） ： 如果某處的流線的曲率半徑非常大,則此處的流動(dòng)稱(chēng)為漸變流；否則稱(chēng)為急變流。,這時(shí)沿流線的法向有：,在漸變流斷面上有：,3-5 伯努利方程,理想流體沿流線的法向有：,理想流體沿流線(或元流)的伯努利方程：,微分形式的連續(xù)性方程：,積分形式的連續(xù)性方程：,理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：,三.理想流體總流的伯努利方程：,研究總流在斷面1-1和2-2之間的部份。取其中某一元流，速度和斷面積分別

13、為u1、dA1和u2、dA2。,u1dA1 = u2dA2 或 dQ1=dQ2,3-5 伯努利方程,設(shè)兩斷面1-1和2-2處在漸變流中,故：,3-5 伯努利方程,由于在漸變流斷面上有：,令：,式中： 稱(chēng)為動(dòng)能修正系數(shù)，與斷面速度分布有關(guān)。工程中其值約為1.03-1.07，近似取為1。,理想流體恒定總流的伯努利方程中：各項(xiàng)的物理意義和幾何意義分別與元流的伯努利方程中的相應(yīng)項(xiàng)的物理意義和幾何意義相同。,3-5 伯努利方程,四.粘性總流的伯努利方程：,如圖：1-1斷面在上游， 2-2斷面在下游。由于有粘性，機(jī)械能沿流程減少。,實(shí)際流體具有粘性，在流動(dòng)過(guò)程中，摩擦阻力做功會(huì)消耗掉一部分機(jī)械能。設(shè)單位重

14、量流體從總流的1-1斷面運(yùn)移至2-2斷面的機(jī)械能損失為hw1-2。則：,3-5 伯努利方程,水力坡度J：?jiǎn)挝恢亓苛黧w沿總流單位長(zhǎng)度上的機(jī)械能損失。,或：,3-5 伯努利方程,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,1. 連續(xù)流體（液、氣）。2. 流體均勻不可壓縮，=const.。3. 恒定流。4. 質(zhì)量力僅為重力。5. 所取的兩個(gè)計(jì)算斷面為均勻流斷面或漸變流斷面（兩斷面間可以是急變流）。,單位重量流體從1-1斷面流至0-0斷面：,單位重量流體從2-2斷面流至0-0斷面：,二.有匯流（或分流）的伯努利方程：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,前提：過(guò)流斷面流速均勻,水泵由進(jìn)水管1，出水管2，以及葉輪，渦殼等組成。水由

15、進(jìn)水管進(jìn)入葉輪中心，流經(jīng)葉片之間的通道進(jìn)入渦殼，由于葉輪的高速旋轉(zhuǎn)，水流獲得能量，出口2-2斷面的壓力增高。p2 p1 。,1. 有能量輸入：,三.有能量輸入或輸出的伯努利方程：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,式中Hm為單位重量液體流經(jīng)水泵所獲得的機(jī)械能，也稱(chēng)為水泵的揚(yáng)程。,2. 有能量輸出：,這時(shí)的伯努利方程為：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,式中Hm為單位重量液體傳遞給水輪機(jī)的機(jī)械能，也稱(chēng)為水輪機(jī)的工作水頭。,作業(yè)：P107，第12題、第13題。,四.總流伯努利方程的應(yīng)用舉例：,1.定斷面：應(yīng)將計(jì)算斷面取在已知條件較多的均勻流或漸變流斷面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知數(shù)。2.過(guò)流斷面上計(jì)算點(diǎn)

16、的取定：原則上計(jì)算點(diǎn)可在均勻流或漸變流斷面上任取。但為了方便，管流的計(jì)算點(diǎn)應(yīng)取在管軸中心處；明渠流的計(jì)算點(diǎn)則應(yīng)取在自由表面上。3.定基準(zhǔn)面：兩過(guò)流斷面必須選取同一基準(zhǔn)面，常使Z0。4. 方程中的動(dòng)壓強(qiáng)p1和p2既可為絕對(duì)壓強(qiáng)，也可為相對(duì)壓強(qiáng)。但p1和p2必須同為絕對(duì)壓強(qiáng)或同為相對(duì)壓強(qiáng)。5. 分析和考慮兩過(guò)流斷面間的能量損失hw1-2。,解題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,例1. 求小孔出流的流量：,如圖，對(duì)斷面0-0和斷面1-1列伯努利方程，不計(jì)能量損失，有：,上式中：A為小孔的面積，A為1-1斷面的面積。,解：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,例2. 用文丘里流量計(jì)測(cè)定管道中的流量：,如圖，在1-1及2-2斷面列伯努利方程，不計(jì)能量損失有：,解：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,由于：,故：,又因?yàn)椋?所以：, ：考慮能量損失及其它因素所加的系數(shù)（1）,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,流量為：,例3.用皮托管測(cè)流速：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,書(shū)上P8081例3-10,解：對(duì)1-1和2-2斷面列伯努利方程：,水泵的有效功率：,3-6 伯努利方程的應(yīng)用,水泵抽水,已知: Q=8.510-3