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1、14.2 14.2 乘法公式乘法公式14.2.1 14.2.1 平平方差公式方差公式 人教人教版版 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 八八年級年級 上冊上冊 某某同學(xué)在計算同學(xué)在計算97103時將其變時將其變成成(1003)(100+3)并并很快得出結(jié)果，你知道他運用了什么知識嗎？這很快得出結(jié)果，你知道他運用了什么知識嗎？這節(jié)節(jié)課，我們就來一起探討課，我們就來一起探討上述計算的規(guī)律上述計算的規(guī)律.導(dǎo)入新知導(dǎo)入新知觀察與思考觀察與思考1.掌握掌握平方差公式平方差公式的推導(dǎo)及應(yīng)用的推導(dǎo)及應(yīng)用.2.了解平方差公式的幾何意義了解平方差公式的幾何意義，體會，體會數(shù)形數(shù)形結(jié)合結(jié)合的思想方法的思想方法.素養(yǎng)目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo)多項式與多項

2、式是如何相乘的多項式與多項式是如何相乘的？(x 3)(x5)=x25x 3x 15=x28x15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究新知探究新知知識點 1平方差公式平方差公式探究探究面積變了嗎？面積變了嗎？a米米5米米5米米a米米(a5)相等嗎？相等嗎？探究新知探究新知探究探究(x 1)(x1)；(m 2)(m2)；(2m 1)(2m1)；(5y z)(5yz).計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？做一做做一做探究新知探究新知x2 12m222(2m)2 12(5y)2 z2 這這些計算結(jié)果有什么特點？些計算結(jié)果有什么特點？想一想想一想(a

3、+b)(ab)=a2b2兩數(shù)兩數(shù)和和與這兩數(shù)與這兩數(shù)差差的積的積,等于等于這兩個數(shù)的這兩個數(shù)的平方差平方差.u公式變形:1.(a b)(a+b)=a2 b22.(b+a)(b+a)=a2 b2探究新知探究新知平方差公式平方差公式注：注：這里的兩數(shù)可以是兩個這里的兩數(shù)可以是兩個單項式單項式單項式單項式也可以是兩個也可以是兩個多項式多項式多項式多項式等等 (a+b)(ab)=(a)2(b)2 相同為a 相反為b，b適當(dāng)交換適當(dāng)交換合理加括號合理加括號探究新知探究新知平方差公式平方差公式1.公式公式中的中的a和和b，既可以是，既可以是具體的數(shù)具體的數(shù)，也可以是，也可以是單單項項 式式或者多項式；或者

4、多項式；2.左邊左邊是兩個二項式的積，并且有一項完全是兩個二項式的積，并且有一項完全相同相同，另另 一一項互為項互為相反數(shù)；相反數(shù)；3.右邊右邊是相同項的平方是相同項的平方減去減去相反項的絕對值的平方。相反項的絕對值的平方。(a+b)(a b)=a2 b2.溫馨提示溫馨提示探究新知探究新知(1+x)(1x)(3+a)(3a)(0.3x1)(1+0.3x)(1+a)(1+a)aba2b21x3a12x2(3)2a2a1a212 0.3x1(0.3x)212(ab)(a+b)填一填填一填探究新知探究新知口答下列各題口答下列各題：(l)(a+b)(a+b)=_.(2)(ab)(b+a)=_.(3)(

5、ab)(a+b)=_.(4)(ab)(ab)=_.a2b2a2b2b2a2b2a2做一做做一做探究新知探究新知例例1 計算計算：(1)(3x2)(3x2)；(2)(x+2y)(x2y).(2)原原式式=(x)2 (2y)2=x2 4y2.解：解：(1)原式原式=(3x)222=9x24；素素養(yǎng)養(yǎng)考考點點 1利用平方差公式計算利用平方差公式計算易錯警示：當(dāng)相同項帶有當(dāng)相同項帶有“負(fù)號負(fù)號”時，必須用時，必須用括號括起來括號括起來.探究新知探究新知1.利用利用平方差公式計算：平方差公式計算：(1)(3x5)(3x5)；(2)(2ab)(b2a)；(3)(7m8n)(8n7m)解解：(1)原原式式=

6、(3x)2529x225；(2)原原式式=(2a)2b24a2b2；(3)原原式式=(7m)2(8n)249m264n2；鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)例例2 計算計算:(1)10298;(2)(y+2)(y2)(y1)(y+5).=100222解解:(1)10298=10000 4=(1002)(1002)=9996；=y24y24y+5(2)(y+2)(y2)(y1)(y+5)=y222(y2+4y5)=4y+1.通過通過合理變形，合理變形，利用平方差公式，可利用平方差公式，可以簡化運算以簡化運算.不不符合平方差公式運符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法算條件的乘法，按乘法法則進行運算則進行運算.素素

7、養(yǎng)養(yǎng)考考點點 2利用平方差公式簡便運算利用平方差公式簡便運算 當(dāng)當(dāng)兩數(shù)相兩數(shù)相乘時，如果這兩乘時，如果這兩個數(shù)與同一個整個數(shù)與同一個整數(shù)的差的絕對值數(shù)的差的絕對值相等，通過變形相等，通過變形利用平方差公式利用平方差公式計算較計算較簡便簡便.探究新知探究新知(1)5149;(2)(3x+4)(3x4)(2x+3)(3x2).解解:(1)原式原式=(501)(501)=50212=2500 1=2499；(2)原式原式=(3x)242(6x2+5x6)=9x2166x25x+6=3x25x10.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)2.計算計算:例例3 先化簡，再求值先化簡，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2y

8、x)，其中其中x1，y2.解：解：原式原式4x2y2(4y2x2)原式原式51252215.4x2y24y2x25x25y2.當(dāng)當(dāng)x1，y2時時，素素養(yǎng)養(yǎng)考考點點 3利用平方差公式進行化簡求值利用平方差公式進行化簡求值探究新知探究新知3.先先化簡化簡,再求值再求值:(3x)(3+x)+(x+1)(x1),其中其中x=2.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)解解：(3x)(3+x)+2(x+1)(x1)=9x2+2(x21)=9x2+2x22 =7+x2 當(dāng)當(dāng)x=2時時，原原式式=7+22=7+4=11例例4 對于任意的正整數(shù)對于任意的正整數(shù)n，整整式式(3n1)(3n1)(3n)(3n)的的值一定是值一定是10的

9、整數(shù)倍嗎？的整數(shù)倍嗎？即即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的的值是值是10的倍數(shù)的倍數(shù)解：解：原式原式9n21(9n2)10n210.(10n210)10=n21.n為正整數(shù)為正整數(shù)，n21為整數(shù)為整數(shù)素素養(yǎng)養(yǎng)考考點點 4利用平方差公式進行證明利用平方差公式進行證明探究新知探究新知 對于對于平方差中的平方差中的a和和b可以是具體的數(shù)，也可可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項以是單項式或多項式式.在在探究整除性或倍數(shù)問題時，探究整除性或倍數(shù)問題時，一般先將一般先將代數(shù)式化為最簡代數(shù)式化為最簡，然后根據(jù)結(jié)果的特征，然后根據(jù)結(jié)果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系

10、 歸納總結(jié)歸納總結(jié)探究新知探究新知鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)4.如果如果兩個連續(xù)奇數(shù)分別是兩個連續(xù)奇數(shù)分別是2n1，2n+1(其其中中n為為正整正整數(shù)數(shù))，證明兩個連續(xù)整數(shù)的平方差是證明兩個連續(xù)整數(shù)的平方差是8的倍數(shù)的倍數(shù).證明證明：(2n+1)2(2n1)2 =(2n+1)+(2n1)(2n+1)(2n1)=(2n+1+2n1)(2n+12n+1)=4n2 =8n 因因為為8n是是8的倍數(shù)，所以結(jié)論成立的倍數(shù)，所以結(jié)論成立.例例5 王大伯家把一塊邊長為王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰米的正方形土地租給了鄰居李大媽今年王大伯對李大媽說：居李大媽今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊我把這塊地

11、一邊減少減少4米，另外一邊增加米，另外一邊增加4米，繼續(xù)租給你，你看如何？米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為李大媽一聽，就答應(yīng)了你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？什么？a2a216，解：解：李大媽吃虧了李大媽吃虧了理由：理由：原正方形的面積為原正方形的面積為a2，改變邊長后面積改變邊長后面積為為(a4)(a4)a216，李大媽吃虧了李大媽吃虧了素素養(yǎng)養(yǎng)考考點點 5利用平方差公式解決實際問題利用平方差公式解決實際問題探究新知探究新知 解決解決實際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意實際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡算式，列出算式，然后根據(jù)公式化簡算式，解決問題解

12、決問題 歸納總結(jié)歸納總結(jié)探究新知探究新知1.(2018金金華華)化簡化簡(x1)(x+1)的的結(jié)果是結(jié)果是 連連 接接 中中 考考2.(2018吉林吉林)某同學(xué)化簡某同學(xué)化簡a(a+2b)(a+b)(ab)出現(xiàn)了錯誤出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：原式解答過程如下：原式=a2+2ab(a2b2)(第一步第一步)=a2+2aba2b2(第二步第二步)=2abb2(第三步第三步)(1)該同學(xué)解答過程從第該同學(xué)解答過程從第步開始出錯，步開始出錯，錯誤原因是錯誤原因是 ；(2)寫出此題正確的解答過程寫出此題正確的解答過程 原原式式=a2+2ab(a2b2)=a2+2aba2+b2=2ab+b2x21二二去括

13、號時沒有變號去括號時沒有變號鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1.下列下列運算中，可用平方差公式計算的運算中，可用平方差公式計算的是是()A(xy)(xy)B(xy)(xy)C(xy)(yx)D(xy)(xy)C2.計算計算(2x+1)(2x1)等于等于()A4x21 B2x21 C4x1 D4x2+1 A3.兩兩個正方形的邊長之和為個正方形的邊長之和為5，邊長之差為，邊長之差為2，那么用較大的，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是_10基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 鞏鞏 固固 題題課堂檢測課堂檢測(1)(a+3b)(a 3b)；=4a29；=4x4y2.原式原式=(2a+

14、3)(2a3)=a29b2；=(2a)232 原式原式=(2x2)2y2 原式原式=(a)2(3b)2(2)(3+2a)(3+2a)；(3)(2x2y)(2x2+y).4.利用利用平方差公式計算：平方差公式計算：課堂檢測課堂檢測基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 鞏鞏 固固 題題5.計算計算：20152 20142016.解：解：20152 20142016=20152 (20151)(2015+1)=20152(2015212)=20152 20152+12=1課堂檢測課堂檢測基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 鞏鞏 固固 題題6.利用利用平方差公式計算平方差公式計算:(1)(a2)(a+2)(a2+4)解解:原式原式=(a24)(a2+

15、4)=a416.(2)(xy)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：解：原式原式=(x2y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4y4)(x4+y4)=x8y8.課堂檢測課堂檢測基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 鞏鞏 固固 題題 先先化簡，再求值化簡，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3，其中其中x2.解：解：原式原式=x21x2x3x3=2x21.將將x2代入上式代入上式，原式原式=2221=7.能能 力力 提提 升升 題題課堂檢測課堂檢測1.已知已知x1，計算，計算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1xx2)1x3，(1x)(1xx2x3)1x4(1)觀觀察以上各式并猜想察以上各式并猜想：(1x)(

16、1xx2xn)_；(n為正整為正整數(shù)數(shù))(2)根根據(jù)你的猜想計算：據(jù)你的猜想計算：(12)(1222232425)_；222232n_(n為正整為正整數(shù)數(shù))；(x1)(x99x98x97x2x1)_；1xn+1632n12x1001拓拓 廣廣 探探 索索 題題課堂檢測課堂檢測平方差平方差公式公式內(nèi)容內(nèi)容注意注意兩個數(shù)的兩個數(shù)的和和與這兩個數(shù)的與這兩個數(shù)的差的積，差的積，等等于這兩個數(shù)的于這兩個數(shù)的平方差平方差.1.符號表示符號表示：(a+b)(ab)=a2b22.緊緊抓住緊緊抓住“一同一反一同一反”這一特征，在這一特征，在應(yīng)用時，應(yīng)用時，只有兩個二項式的積只有兩個二項式的積才有可能才有可能應(yīng)用平方差公式；對于不能直接應(yīng)用公應(yīng)用平方差公式；對于不能直接應(yīng)用公式的，可能要經(jīng)過式的，可能要經(jīng)過變形變形才可以才可以應(yīng)用應(yīng)用.課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.從課后習(xí)題中選?。粡恼n后習(xí)題中選?。?.完成練習(xí)冊本課時的完成練習(xí)冊本課時的習(xí)題習(xí)題.課后作業(yè)課后作業(yè)