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1、1,利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,小結(jié)思考題 作業(yè),利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,double integral,二重積分的換元法,第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法,第九章 重積分,2,本節(jié)介紹計(jì)算二重積分的方法:,二重積分化為,累次積分(即兩次定積分).,3,(1) 積分區(qū)域?yàn)椋?其中函數(shù),在區(qū)間 上連續(xù).,一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,4,計(jì)算截面面積,( 紅色部分即A(x0) ),以D為底,以曲面,為頂?shù)那斨w的體積.,應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.,是區(qū)間,為曲邊的曲邊梯形.,為底,曲線,5,是區(qū)間 為底,曲線 為曲邊 的曲邊梯形.,有:,先對(duì)y后對(duì)x的二次積分,稱為,累次積

2、分.,6,(2) 積分區(qū)域?yàn)椋?先對(duì)x后對(duì)y的二次積分,也即,其中函數(shù),在區(qū)間,上連續(xù).,7,特殊地,如D是上述矩形域,得,即等于兩個(gè)定積分的乘積.,注,D為矩形域:,則,則,axb,cyd,8,穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線,穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線,計(jì)算結(jié)果一樣.,又是Y型:,(3)積分區(qū)域D既是X型:,X型區(qū)域的特點(diǎn):,Y型區(qū)域的特點(diǎn):,與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).,但可作出適當(dāng)選擇.,9,(4) 若區(qū)域如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式.,(用積分區(qū)域的可加性質(zhì)),則必須分割.,10,例,解,積分域既是X型又是Y型,法一,所圍平面閉區(qū)域.,兩曲線

3、的交點(diǎn),11,？,先對(duì)x后對(duì)y的積分,法二,12,例,siny2 對(duì)y的積分,而它對(duì)x的積分,交換積分次序的方法是:,改寫D為:,分析,所以將二次積分先,將所給的積分域,(1),(2),畫出積分域的草圖,(3),計(jì)算二次積分,不能用基本積分法算出,可用基本積分法算出.,交換積分次序.,用聯(lián)立不等式表示 D:,13,14,例,交換積分次序：,解,積分區(qū)域:,原式=,15,例,解,原式=,交換積分次序：,16,交換積分次序的步驟,(1) 將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.,并畫出草圖;,17,二次積分一定能交換次序,?,答,不一定!,例如:

4、,由于,故,所以,18,例如:,由于,故,所以,說(shuō)明:,當(dāng)f (x, y)在所考慮的區(qū)域上連續(xù)時(shí),二次積分可以交換積分次序.,19,1990 年研究生考題, 填空, 3分,解,練習(xí),交換積分次序,20,又是能否進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題.,計(jì)算二重積分時(shí),恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序,十分重要,它不僅涉及到計(jì)算繁簡(jiǎn)問(wèn)題,而且,凡遇如下形式積分:,等等,一定要放在,后面積分.,21,例 求證,左邊的累次積分中,積分域,可表為,提示,定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān),不能具體計(jì)算.,所以,是y的抽象函數(shù),證畢.,先交換積分次序.,22,例 求兩個(gè)底圓半徑為R,且這兩個(gè)圓柱面的方程分別為 及,解,求所圍成的,立體的體積.,?,

5、還有別的做法嗎,23,2002 年研究生考題, 7分,練習(xí),計(jì)算二重積分,其中,解,設(shè),24,解,計(jì)算積分,不能用初等函數(shù)表示,先交換積分次序.,練習(xí),25,兩相鄰弧半徑平均值.,內(nèi)取圓周,上一點(diǎn),其直角坐標(biāo),則,設(shè)為,二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,26,得,即,也即,27,(1) 積分區(qū)域D:,28,(2)積分區(qū)域D(曲邊扇形):,29,極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積,(3) 積分區(qū)域D:,注,一般,在極坐標(biāo)系下計(jì)算:,30,解,例,寫出積分,的極坐標(biāo)二次積分,其中積分區(qū)域,形式,在極坐標(biāo)系下,圓方程為,直線方程為,31,解,例,計(jì)算,其中D是由中心在原點(diǎn),半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.,在極坐標(biāo)系下

6、,32,解,求反常積分,例,顯然有,33,又,對(duì)稱性質(zhì),34,概率積分,夾逼定理,即,所求反常積分,35,解,計(jì)算,所圍成的平面閉區(qū)域.,例,及直線,36,解,雙紐線,求曲線,所圍成的圖形的面積.,例,根據(jù)對(duì)稱性有,在極坐標(biāo)系下,由,得交點(diǎn),面積,37,將直角坐標(biāo)系下累次積分:,化為極坐標(biāo)系下的累次積分.,解,練習(xí),原式=,38,1994年研究生考題, 填空, 3分,解,39,計(jì)算二重積分,2003年研究生考題(數(shù)學(xué)三、四)計(jì)算, 8分,其中積分區(qū)域,答案,40,計(jì)算,因被積函數(shù),D2,例,分析,故,的,在積分域內(nèi)變號(hào).,D1,41,計(jì)算,解,積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù).,

7、原式=,記D1為D的y0的部分.,則,D1,練習(xí),42,二重積分的計(jì)算規(guī)律,再確定交換積分次,1. 交換積分次序:,先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的,不等式,并畫D的草圖;,序后的積分限;,2. 如被積函數(shù)為,圓環(huán)域時(shí),或積分域?yàn)?圓域、扇形域、,則用極坐標(biāo)計(jì)算;,43,3. 注意利用對(duì)稱性質(zhì),數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào).,以便簡(jiǎn)化計(jì)算;,4. 被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí),應(yīng),將積分域分割成幾個(gè)子域,使被積函數(shù)在,每個(gè)子域中保持同一符號(hào),以消除被積函,44,例,計(jì)算,分析,從被積函數(shù)看,用極坐標(biāo)系要簡(jiǎn)單些,但從積分域D的形狀看,為宜.,用卻又以直角坐標(biāo)系,在兩者不可兼得的情況下,應(yīng)以D的形狀,來(lái)決定用什

8、么坐標(biāo)系,此題用直角坐標(biāo)系.,45,46,2003年研究生考題(數(shù)學(xué)三、四)填空, 4分,而D表示全平面,則,練習(xí),47,三、二重積分的換元法,設(shè)被積函數(shù),在區(qū)域D上連續(xù),若變換,滿足如下條件:,(1),一對(duì)一地變?yōu)?D上的點(diǎn);,(2),有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且雅可比行列式,48,基本要求,變換后定限簡(jiǎn)便,求積容易,49,例,解,所圍成的閉區(qū)域.,其中D為橢圓,作廣義極坐標(biāo)變換,50,故換元公式仍成立,51,例,解,令,則,即,52,故,53,練習(xí),證明,證,法一,交換積分次序,累次積分,54,55,證明,法二,令,則,56,故,對(duì)稱性,57,二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算,二重積分在極坐標(biāo)系下的

9、計(jì)算公式,(注意使用對(duì)稱性),四、小結(jié),(注意正確選擇積分次序, 掌握交換積分次序的方法),恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,(注意選擇的原則),58,思考題1,1995年考研數(shù)學(xué)(一)5分,解,令,不能直接積出,改變積分次序.,法一,59,故,60,法二,設(shè),則,則,61,思考題2,設(shè)有一曲頂柱體,以雙曲拋物面,坐標(biāo)面為底,試求這個(gè)柱體的體積.,解,由題設(shè)可知曲頂柱體在xOy平面上的投影,即積分域D(如圖),由D的形狀可知用極坐標(biāo)計(jì)算,曲頂柱體的體積簡(jiǎn)便.,62,以雙曲拋物面,故,63,思考題3,解答,交換積分次序:,64,作業(yè),習(xí)題9-2,(95頁(yè)),1.(2) (4) 2.(2) (4) 4.(1) (3) 5.,6.(2) (4) (6) 7. 9. 10.,12.(2) (4) 13.(1) (3) 14.(2) (4),15.(2) (3) 17. 18.,20.(1) 21.,22.(1),