《高等數(shù)學(xué)：D12習(xí)題課(1).ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：D12習(xí)題課(1).ppt（19頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、一階微分方程的 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題課(一)一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問題二、解微分方程應(yīng)用問題解法及應(yīng)用 第十二章 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解(1)變量代換法 代換自變量自變量代換因變量因變量代換某組合式某組合式(2)積分因子法 選積分因子,解全微分方程四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求下列方程的通解提示提示:(1)故為分離變量方程:通解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

2、 結(jié)束 方程兩邊同除以 x 即為齊次方程,令 y=u x,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法方法 1 這是一個(gè)齊次方程.方法方法 2 化為微分形式 故這是一個(gè)全微分方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.求下列方程的通解:提示提示:(1)令 u=x y,得(2)將方程改寫為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令 y=u t(齊次方程)令 t=x 1,則可分離變量方程求解化方程為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

3、 下頁 返回 結(jié)束 例例3.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)F(x)f(x)g(x),其中函數(shù) f(x),g(x)在(,+)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)由一階線性微分方程解的公式得于是 練習(xí)題練習(xí)題:(題3只考慮方法及步驟)P326 題2 求以為通解的微分方程.提示提示:消去 C 得P327 題3 求下列微分方程的通解:提示提示:令 u=x y,化成可分離變量方程:提示提示:這是一階線性方程,其中P326 題1，2，3(1),(2

4、),(3),(4),(5),(9),(10)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示提示:可化為關(guān)于 x 的一階線性方程提示提示:為貝努里方程,令提示提示:為全微分方程,通解提示提示:可化為貝努里方程令微分倒推公式微分倒推公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原方程化為,即則故原方程通解提示提示:令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.設(shè)河邊點(diǎn) O 的正對(duì)岸為點(diǎn) A,河寬 OA=h,一鴨子從點(diǎn) A 游向點(diǎn)二、解微分方程應(yīng)用問題二、解微分方程應(yīng)用問題利用共性建立微分方程,利用個(gè)性確定定解條件.為平行直線,且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O,提示提示:如圖所示建立坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)刻t 鴨子位于點(diǎn)P(x

5、,y),設(shè)鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動(dòng)的軌跡方程.O,水流速度大小為 a,兩岸 則關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學(xué)模型,要點(diǎn):則鴨子游速 b 為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定解條件由此得微分方程即鴨子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為(求解過程參考P273例3)(齊次方程)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:能否根據(jù)草圖列方程?練習(xí)題練習(xí)題:P327 題 5 ,6P327 題題5.已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示提示:設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為 M(x,y),令 X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P327 題題6.已知某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應(yīng)輸入多少才能在 30 分鐘后使車間空的含量不超過 0.06%?提示提示:設(shè)每分鐘應(yīng)輸入 t 時(shí)刻車間空氣中含則在內(nèi)車間內(nèi)兩端除以 并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣 輸入,的改變量為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 t=30 時(shí)解定解問題因此每分鐘應(yīng)至少輸入 250 新鮮空氣.初始條件得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 k=?作業(yè)作業(yè) P269 3,7;P276 *4(2);P282 9(2),(4)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束