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1、習(xí)題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題 第五五章 一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求解解:因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得因?yàn)?依賴于且1)思考例1下列做法對(duì)嗎?利用積分中值定理原式不對(duì)不對(duì)!機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:2)此類問題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng).如,P265 題4解：解：將

2、數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡化成積分和：已知利用夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則可知(考研98)例例2.求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:提示提示:由上題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故練習(xí)練習(xí):1.求極限解：解：原式2.求極限提示提示：原式左邊=右邊機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.估計(jì)下列積分值解解:因?yàn)榧礄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.證明證證:令則令得故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明證明：顯然時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時(shí),故所給不等式成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 明對(duì)于任何例例6.解：解

3、：且由方程確定 y 是 x 的函數(shù),求方程兩端對(duì) x 求導(dǎo),得令 x=1,得再對(duì) y 求導(dǎo),得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故例例7.求可微函數(shù) f(x)使?jié)M足解解:等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得不妨設(shè) f(x)0,則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意 f(0)=0,得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.求多項(xiàng)式 f(x)使它滿足方程解解:令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見 f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入 式比較同次冪系數(shù),得故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再求導(dǎo):二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1.熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2.注意特殊形式

4、定積分的計(jì)算3.利用各種積分技巧計(jì)算定積分4.有關(guān)定積分命題的證明方法思考思考:下列作法是否正確?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.求解解:令則原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10.求解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11.選擇一個(gè)常數(shù) c,使解解:令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù),故選擇 c 使即可使原式為 0.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12.設(shè)解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13.若解解:令試證:則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因?yàn)閷?duì)右端第二個(gè)積分令綜上所述機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例14.證明恒等式證證:令則因此又故

5、所證等式成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例15.試證使分析分析:要證即故作輔助函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)證明證明:令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號(hào),因此故所證等式成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故由羅爾定理知,存在一點(diǎn)思考思考:本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提示提示:設(shè)輔助函數(shù) 例15 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例16.設(shè)函數(shù) f(x)在a,b 上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi) f(x)0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn),使(3)在(a,b)內(nèi)存在與 相異的點(diǎn),使(03考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:(1)由 f(x)在a,b上連續(xù),知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此(2)設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即(3)因 在a,上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例17.設(shè)證證:設(shè)且試證:則故 F(x)單調(diào)不減,即 成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)(總習(xí)題五總習(xí)題五)P264 2(3),(5);4;5(1);7(2),(5);10第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束