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1、習題課習題課級數(shù)的收斂、求和與展開級數(shù)的收斂、求和與展開 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù) 展開法展開法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 第十一章 求和展開(在收斂域內(nèi)進行)基本問題基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù).為傅氏系數(shù))時,時為數(shù)項級數(shù);時為冪級數(shù);機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、數(shù)項級數(shù)的審斂法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā) 散

2、滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發(fā) 散不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法判別法:若且則交錯級數(shù)收斂,概念概念:且余項若收斂,稱絕對收斂若發(fā)散,稱條件收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1.若級數(shù)均收斂,且證明級數(shù)收斂.證證:則由題設收斂收斂收斂練習題練習題:P257 1;2;3;4;5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解答提示解答提示:P257 題2.判別下列級數(shù)的斂散性:提示提示:(1)據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用比值判別法,可知原級

3、數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)因 n 充分大時原級數(shù)發(fā)散.用比值判別法可知:時收斂;時,與 p 級數(shù)比較可知時收斂;時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂.時發(fā)散.發(fā)散,收斂,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P257 題3.設正項級數(shù)和也收斂.提示提示:因存在 N 0,又因利用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結論正確.都收斂,證明級數(shù)當n N 時機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P257 題4.設級數(shù)收斂,且是否也收斂？說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂.問級數(shù)提示提示:對正項級數(shù),由比較判別法可知級數(shù)收斂,收斂,級數(shù)發(fā)散.例如,取機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P257 題5.討論下列級數(shù)

4、的絕對收斂性與條件收斂性:提示提示:(1)P 1 時,絕對收斂;0 p 1 時,條件收斂;p0 時,發(fā)散.(2)因各項取絕對值后所得強級數(shù) 原級數(shù)絕對收斂.故 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因單調(diào)遞減,且但所以原級數(shù)僅條件收斂.由Leibniz判別法知級數(shù)收斂;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因所以原級數(shù)絕對收斂.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標準形式冪級數(shù):先求收斂半徑 R,再討論 非標準形式冪級數(shù)通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性.P257 題7.求下列級數(shù)的斂散區(qū)間:練習練習:機動 目錄 上頁 下頁 返回

5、 結束 解解:當因此級數(shù)在端點發(fā)散,時,時原級數(shù)收斂.故收斂區(qū)間為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解:因故收斂區(qū)間為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.解解:分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)極限不存在 原級數(shù)=其收斂半徑注意:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項求導或求積分對和式積分或求導難直接求和:直接變換,間接求和:轉化成冪級數(shù)求和,再代值求部分和等 初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）數(shù)項級數(shù) 求和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.求冪級數(shù)法

6、法1 易求出級數(shù)的收斂域為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 法法2先求出收斂區(qū)間則設和函數(shù)為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習練習:解解:(1)顯然 x=0 時上式也正確,故和函數(shù)為而在x0P258 題8.求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束(4)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 顯然 x=0 時,和為 0;根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性,有x=1 時,級數(shù)也收斂.即得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習練習:解解:原式=的和.P258 題9(2).求級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法 直接展

7、開法 間接展開法練習練習:1.將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法2.設,將 f(x)展開成x 的冪級數(shù),的和.(01考研)解解:于是并求級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.函數(shù)的付式級數(shù)展開法系數(shù)公式及計算技巧;收斂定理;延拓方法練習練習:上的表達式為將其展為傅氏級數(shù).P258 題11.設 f(x)是周期為2的函數(shù),它在解答提示解答提示機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考思考:如何利用本題結果求級數(shù)根據(jù)付式級數(shù)收斂定理,當 x=0 時,有提示提示:P257 6(2);7(3);8(2),(3);9(1);10(1);12 作業(yè)作業(yè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束