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1、習題課1.定積分的應用定積分的應用幾何方面幾何方面:面積、體積、弧長、表面積.物理方面物理方面:質(zhì)量、作功、側壓力、引力、2.基本方法基本方法:微元分析法微元形狀:條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼 等.轉(zhuǎn)動慣量.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定積分的應用 第六六章 例例1.求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解:設拋物線上切點為則該點處的切線方程為它與 x,y 軸的交點分別為所指面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 且為最小點.故所求切線為得 0,1 上的唯一駐點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.設非負函數(shù)曲線與直線及坐標軸所圍圖形(1)求

2、函數(shù)(2)a 為何值時,所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解解:(1)由方程得面積為 2,體積最小?即故得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 又(2)旋轉(zhuǎn)體體積又為唯一極小點,因此時 V 取最小值.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.證明曲邊扇形繞極軸證證:先求上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積體積微元故旋轉(zhuǎn)而成的體積為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 故所求旋轉(zhuǎn)體體積為例例4.求由與所圍區(qū)域繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解解:曲線與直線的交點坐標為曲線上任一點到直線的距離為則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5.半徑為 R,密度為的球沉入深為H(H 2 R)的水池底,水的密度多少功?解解

3、:建立坐標系如圖.則對應上球的薄片提到水面上的微功為提出水面后的微功為現(xiàn)將其從水池中取出,需做微元體積所受重力上升高度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此微功元素為球從水中提出所做的功為“偶倍奇零偶倍奇零”機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6.設有半徑為 R 的半球形容器如圖.(1)以每秒 a 升的速度向空容器中注水,求水深為為h(0 h R)時水面上升的速度.(2)設容器中已注滿水,求將其全部抽出所做的功最少應為多少?解解:過球心的縱截面建立坐標系如圖.則半圓方程為設經(jīng)過 t 秒容器內(nèi)水深為h,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束(1)求由題設,經(jīng)過 t 秒后容器內(nèi)的水量為而高為 h 的球缺的體積為半球可看作半圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:故有兩邊對 t 求導,得at(升),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束(2)將滿池水全部抽出所做的最少功 為將全部水提對應于微元體積:微元的重力:薄層所需的功元素故所求功為到池沿高度所需的功.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P288 2;3;6;7;9機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束