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1、2.4函數(shù)的奇偶性與周期性 教案教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入我們生活在美的世界中，有過許多對(duì)美的感受，請(qǐng)想一下有哪些美？對(duì)于對(duì)稱美，請(qǐng)想一下哪些事物給過你對(duì)稱美的感覺呢？生活中的美引入我們的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，它又是怎樣的情況呢？若給它適當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系，那么會(huì)發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？數(shù)學(xué)中對(duì)稱的形式也很多，這節(jié)課我們就來(lái)復(fù)習(xí)在坐標(biāo)系中對(duì)稱的函數(shù)二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1、復(fù)習(xí)單調(diào)性的概念2、復(fù)習(xí)初中的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱3、預(yù)習(xí)奇偶性的概念4、預(yù)習(xí)奇偶性的應(yīng)用三、知識(shí)講解考點(diǎn)1 函數(shù)的奇偶性探究 1.提示：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，必要不充分條件2若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，是否有f(0)0？如果是偶函數(shù)呢？提示：如果f(x)是

2、奇函數(shù)時(shí)，f(0)f(0)，則f(0)0；如果f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(0)不一定為0，如f(x)x21.3是否存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？若有，有多少個(gè)？提示：存在，如f(x)0，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集，這樣的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)考點(diǎn)2 周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)y f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期四、例題精析【例題1】【題干】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x

3、)lg 1x1x；(2)f(x)?x2x(x0)，x2x(x(3)f(x)lg(1x2)|x22|2.【解析】(1)由1x 1x0?1又f (x )lg 1x 1x lg ? ?1x 1x 1lg 1x 1x f (x )， 故原函數(shù)是奇函數(shù)(2)函數(shù)定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x 0時(shí)，f (x )x 2x ，則當(dāng)x x 0，故f (x )x 2x f (x )；當(dāng)x (3)由?1x 20，|x 22|20，得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f (x )lg (1x 2)(x 22)2lg (1x 2)x 2. f (x )lg1(x )2(x )2lg (1x

4、2)x 2f (x )，f (x )為偶函數(shù)【例題2】【題干】(1)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)() A3B1C1D3(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間5,5上是奇函數(shù)，在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)Af(1)Cf(1)f(5)【答案】A、A【解析】(1)選A因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)2020b0，解得b1.所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.(2)選A函數(shù)f(x)在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，又31，且f(3)選項(xiàng)A中，3選項(xiàng)B中，01，故f(0)同理選項(xiàng)C中f(1)f(1)，選項(xiàng)D中f

5、(3)五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為() Ayx1Byx3Cy1x Dyx|x|解析：選D由函數(shù)的奇偶性排除A，由函數(shù)的單調(diào)性排除B、C，由yx|x|的圖象可知當(dāng)x0時(shí)此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù)則f(4)f(40)f(0)0，f(8)f(44)f(4)0.2設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)，且f(2)0，則不等式f(x)f(x)x0的解集為()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2) C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)解析：選B 選B f (x )為偶函數(shù)，f (x )f (x )x 2f (x )x0， xf (x )0，? x 0，f (x

6、)0，或?x 1.又f(x)的周期為3，f(1)f(2)2a1a11.即3aa10，解得a0或a答案：(，1)(0，)【拔高】6已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0xA6 B7C8 D9解析：選Bf(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)，且0xf(x)x3xx(x1)(x1)，當(dāng)0x即x10，x21.由周期函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)2x當(dāng)4x6時(shí)，f(x)0有兩個(gè)根，即x54，x65，x76也是f(x)0的根故函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.7已知函數(shù)f(x)x2ax(x0，常數(shù)aR)(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)，求實(shí)

7、數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2對(duì)任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)故f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ax(x0，常數(shù)aR)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2)設(shè)2x1x1x22ax2(x1x2)x1x2x1x2(x1x2)a，要使函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)，必須f(x1)f(x2)即x1x2(x1x2)a恒成立又x1x24，x1x24，x1x2(x1x2)16.a的取值范圍是(，16課程小結(jié)1.奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反之亦然；(3)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0；(4)利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反2若函數(shù)滿足f(xT)f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；應(yīng)注意nT(nZ且n0)也是函數(shù)的周期