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1、精選文檔變化率與導(dǎo)數(shù)教案第三章 變化率和導(dǎo)數(shù)311瞬時變化率導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)： (1)理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念(2)會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度(3)理解導(dǎo)數(shù)概念 實際背景，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，進(jìn)一步掌握在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)過程：時速度我們是通過在一段時間內(nèi)的平均速度的極限來定義的，只要知道了物體的運動方程，代入公式就可以求出瞬時速度了.運用數(shù)學(xué)工具來解決物理方面的問題，是不是方便多了.所以數(shù)學(xué)是用來解決其他一些學(xué)科，比如物理、化學(xué)等方面問題的一種工具，我們這一節(jié)課學(xué)的內(nèi)容以及上一節(jié)課學(xué)的是我們

2、學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的一些實際背景一、復(fù)習(xí)引入1、什么叫做平均變化率；2、曲線上兩點的連線（割線）的斜率與函數(shù)f(x)在區(qū)間xA，xB上的平均變化率3、如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？下面我們來看一個動畫。從這個動畫可以看出，隨著點P沿曲線向點Q運動，隨著點P無限逼近點Q時，則割線的斜率就會無限逼近曲線在點Q處的切線的斜率。所以我們可以用Q點處的切線的斜率來刻畫曲線在點Q處的變化趨勢二、新課講解1、曲線上一點處的切線斜率不妨設(shè)P(x1，f(x1)，Q(x0，f(x0)，則割線PQ的斜率為，設(shè)x1x0=x，則x1 =xx0，當(dāng)點P沿著曲線向點Q無限靠近時，割線PQ的斜率就會無限逼近點Q處切線斜率，

3、即當(dāng)x無限趨近于0時，無限趨近點Q處切線斜率。2、曲線上任一點(x0，f(x0)切線斜率的求法：，當(dāng)x無限趨近于0時，k值即為(x0，f(x0)處切線的斜率。3、瞬時速度與瞬時加速度(1)平均速度： 物理學(xué)中，運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度(2) 位移的平均變化率：(3)瞬時速度：當(dāng)無限趨近于0 時，無限趨近于一個常數(shù)，這個常數(shù)稱為t=t0時的瞬時速度求瞬時速度的步驟：1.先求時間改變量和位置改變量2.再求平均速度3.后求瞬時速度：當(dāng)無限趨近于0，無限趨近于常數(shù)v為瞬時速度(4)速度的平均變化率：(5)瞬時加速度：當(dāng)無限趨近于0 時，無限趨近于一個常數(shù)，這個常數(shù)稱為t=t0時的瞬時加

4、速度注：瞬時加速度是速度對于時間的瞬時變化率三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1、已知f(x)=x2，求曲線在x=2處的切線的斜率。變式:1.求過點(1,1)的切線方程2.曲線y=x3在點P處切線斜率為k,當(dāng)k=3時,P點的坐標(biāo)為_3.已知曲線上的一點P(0,0)的切線斜率是否存在?例2.一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為（ ）從時間到時，物體的平均速度； 在時刻時該物體的瞬時速度； 當(dāng)時間為時物體的速度； 從時間到時物體的平均速度例3.自由落體運動的位移s(m)與時間t(s)的關(guān)系為s=(1)求t=t0s時的瞬時速度 (2)求t=3s時的瞬時速度 (3)求t=3s時的瞬時加速度點評：求瞬時速度，

5、也就轉(zhuǎn)化為求極限，瞬3.1.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（1）教學(xué)目的：1. 了解平均變化率與割線之間的關(guān)系2. 理解曲線的切線的概率3. 通過函數(shù)的圖像理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)重點函數(shù)切線的概念，切線的斜率，導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)過程練習(xí)練習(xí)注意3.23導(dǎo)數(shù)的幾何意義(2)教學(xué)目標(biāo)：理解導(dǎo)數(shù)概念.掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義及求法.掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法.教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)的概念及其求法.及幾何意義。教學(xué)難點：對導(dǎo)數(shù)概念的理解.教學(xué)過程：復(fù)習(xí)引入1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值函數(shù)yf(x)，如果自變量x在x0處有增量Dx，則函數(shù)y相應(yīng)地有增量 Dyf(x0Dx)f(x0)比值就叫做函數(shù)yf(x)在x0到x

6、0Dx之間的平均變化率，即 如果當(dāng)x0時，有極限，我們就說函數(shù)yf(x)在點x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率) 記作f (x0) 或，即 f (x0)=2函數(shù) yf(x) 的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)每點處都有導(dǎo)數(shù)，對于每一個x0(a，b)，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f (x0)從而構(gòu)成一個新的函數(shù)f (x)稱這個函數(shù)為函數(shù)yf(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)也可記作y3導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x) 在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P（x0, f(x0)）處的切線的斜率也就是說，曲線yf(x)在點P（x0, f(x0)）處的切線的斜率是f (

7、x0)切線方程為 yy0f (x0) (x0x0)練習(xí)：1當(dāng)自變量從x0變到x1時，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)（ A ）A在區(qū)間x0，x1上的平均變化率B在x0處的變化率C在x1處的導(dǎo)數(shù)D在區(qū)間x0，x1上的導(dǎo)數(shù)2下列說法正確的是（ C ）A若f (x0)不存在，則曲線y = f (x)在點(x0, f (x0)處就沒有切線B若曲線y = f (x)在點(x0, f (x0)處有切線，則f (x0)必存在C若f (x0)不存在，則曲線y = f (x)在點(x0, f (x0)處的切線斜率不存在D若曲線y = f (x)在點(x0, f (x0)處的切線斜率不存在，則曲線在該點處

8、就沒有切線3已知曲線求 點P處的切線的斜率； 點P處的切線的方程解： 點P處的切線的斜率等于4在點P處的切線的方程是 即新課講授：例1 教材例2。例2 教材例3。練習(xí)：甲、乙二人跑步的路程與時間關(guān)系以及百米賽跑路程和時間關(guān)系分別如圖，試問：（1）甲、乙二人哪一個跑得快？ （2）甲、乙二人百米賽跑，問快到終點時，誰跑得較快？解：（1）乙跑的快；（2）乙跑的快.例3教材P10面第5題例4教材P11面第3題。例5已知：曲線與在處的切線互相垂直，求的值。例6已知點M (0, 1)，F(xiàn) (0, 1)，過點M的直線l與曲線在x = 2處的切線平行.（1）求直線l的方程；（2）求以點F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物

9、線C的方程.解：（1）= 0. 直線l的斜率為0，其方程為y = 1.（2）拋物線以點F (0, 1)為焦點，y = 1為準(zhǔn)線. 設(shè)拋物線的方程為x2 = 2py，則. 故拋物線C的方程為x2 = 4y.課堂小結(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x) 在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P（x0, f(x0)）處的切線的斜率也就是說，曲線yf(x)在點P（x0, f(x0)）處的切線的斜率是f (x0)切線方程為 yy0f (x0) (x0x0)課 后 作 業(yè)324導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：理解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號表示和求解方法； 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 理解導(dǎo)

10、函數(shù)的概念和意義；2、過程與方法：先理解概念背景，培養(yǎng)解決問題的能力；再掌握定義和幾何意義，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問題的能力；最后求切線方程，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問題的能力3、情感態(tài)度及價值觀；讓學(xué)生感受事物之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的美。教學(xué)重點： 1、導(dǎo)數(shù)的求解方法和過程；2、導(dǎo)數(shù)符號的靈活運用教學(xué)難點：1、 導(dǎo)數(shù)概念的理解；2、導(dǎo)函數(shù)的理解、認(rèn)識和運用教學(xué)過程一、情境引入在前面我們解決的問題：1、求函數(shù)在點（2，4）處的切線斜率。，故斜率為4 2、直線運動的汽車速度V與時間t的關(guān)系是，求時的瞬時加速度。，故瞬時加速度為2t 二、知識點講解上述兩個函數(shù)和中，當(dāng)()無限趨近于0時，()都無限趨近于一個常數(shù)。歸納：一般的，定

11、義在區(qū)間（，）上的函數(shù)，當(dāng)無限趨近于0時，無限趨近于一個固定的常數(shù)A，則稱在處可導(dǎo)，并稱A為在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，上述兩個問題中：（1），（2）三、幾何意義：我們上述過程可以看出在處的導(dǎo)數(shù)就是在處的切線斜率。四、例題選講例1、求下列函數(shù)在相應(yīng)位置的導(dǎo)數(shù)（1）， （2），（3），例1、函數(shù)滿足，則當(dāng)x無限趨近于0時，（1） （2） 變式:設(shè)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，（3）無限趨近于1，則=_（4）無限趨近于1，則=_（5）當(dāng)x無限趨近于0，所對應(yīng)的常數(shù)與的關(guān)系。總結(jié)：導(dǎo)數(shù)等于縱坐標(biāo)的增量與橫坐標(biāo)的增量之比的極限值。例3、若，求和注意分析兩者之間的區(qū)別。例4：已知函數(shù)，求在處的切線。導(dǎo)函數(shù)的概念涉及

12、：的對于區(qū)間（,）上任意點處都可導(dǎo)，則在各點的導(dǎo)數(shù)也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)被稱為的導(dǎo)函數(shù)，記作。五、小結(jié)與作業(yè)例2、已知（1）求在處的導(dǎo)數(shù)；（2）求在處的導(dǎo)數(shù).補(bǔ)充:已知點M(0,-1),F(0,1),過點M的直線與曲線在處的切線平行.(1)求直線的方程;(2)求以點F為焦點, 為準(zhǔn)線的拋物線C的方程.331常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)：掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；二、教學(xué)重難點：用定義推導(dǎo)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一、復(fù)習(xí)1、導(dǎo)數(shù)的定義；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、導(dǎo)函數(shù)的定義；4、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖。（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3）取極限，得導(dǎo)數(shù) 本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)常見

13、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。首先我們來求下面幾個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3 問題：，呢？問題：從對上面幾個冪函數(shù)求導(dǎo)，我們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？二、新授1、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式： (k,b為常數(shù)) (C為常數(shù)) 由你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? （為常數(shù)） 從上面這一組公式來看，我們只要掌握冪函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了。例1、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)。（1）（2）（3）（4）（5）y=sin(+x) (6) y=sin （7）y=cos(2x) （8）y=例2：已知點P在函數(shù)y=cosx上，（0x2），在P處的切線斜率大于0，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍。例3.若直線為函數(shù)圖象的切線

14、,求b的值和切點坐標(biāo).變式1.求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程.總結(jié)切線問題：找切點 求導(dǎo)數(shù) 得斜率變式2:求曲線y=x2過點(0,-1)的切線方程變式3:求曲線y=x3過點(1,1)的切線方程變式4:已知直線,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短.練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： yx5； yx6； （3） （4） （5）例2求曲線和在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積。例3已知曲線上有兩點A（1，1），B（2，2）。求：（1）割線AB的斜率； （2）在1，1+x內(nèi)的平均變化率； （3）點A處的切線的斜率； （4）點A處的切線方程例4求拋物線yx2上的點到直線

15、xy20 的最短距離三、小結(jié)（1）基本初等函數(shù)公式的求導(dǎo)公式（2）公式的應(yīng)用341基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)一、教學(xué)目標(biāo)：掌握八個函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的運算法則并能簡單運用.二、教學(xué)重點：應(yīng)用八個函數(shù)導(dǎo)數(shù)求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)難點：商求導(dǎo)法則的理解與應(yīng)用.三、教學(xué)過程：（一）新課1P14面基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（見教材）2導(dǎo)數(shù)運算法則：（1）和（或差）的導(dǎo)數(shù)法則1 兩個函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差），即(uv)uv例1 求yx3sinx的導(dǎo)數(shù)解：y(x3)(sinx) 3x2cosx 例2 求yx4x2x3的導(dǎo)數(shù)解：y4x3 2x1（2）積的導(dǎo)數(shù)法則2 兩

16、個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即 (uv)uvuv由此可以得出 (Cu)C uCu0CuCu 也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即 (Cu)Cu 例3 求y2x33x25x4的導(dǎo)數(shù)解：y6x26x5例4 求y(2x23) (3x2) 的導(dǎo)數(shù)解：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9或：，練習(xí)1填空： (3x21)(4x23)( 6x )(4x23) (3x21)( 8x )； (x3sinx)( 3 )x2sinxx3 ( cosx )2判斷下列求導(dǎo)是否正確，如果不正確

17、，加以改正：(3x2)(2x3)2x(2x3)3x2(3x2)(3x2)(2x3)2x(2x3)3x2(3x2)3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： y2x33x25x4； yax3bxc； ysinxx1； （4） y(3x21)(2x)； （5） y(1x2)cosx； （6）例5 已知函數(shù)f(x)x2(x1)，若f (x0)f(x0)，求x0的值（3）商的導(dǎo)數(shù)例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3）練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） （2）例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考：設(shè) f(x)x(x1) (x2) (xn)，求f (0) 練習(xí). 函數(shù)f(x)x(x1) (x2)(x3) (x100)在x0處的導(dǎo)數(shù)值為( )A

18、. 0 B. 1002 C. 200 D. 100!（三）課 堂 小 結(jié)1和（或差）的導(dǎo)數(shù) (uv)uv2積的導(dǎo)數(shù) (uv)uvuv（四）課 后 作 業(yè)342函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：1.理解兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)法則，學(xué)會用法則求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.理解兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)法則，學(xué)會用法則求乘積形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3.能夠綜合運用各種法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)重點：用定義推導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則教學(xué)難點：函數(shù)的積、商的求導(dǎo)法則的推導(dǎo) 授課類型：新授課 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：；(k,b為常數(shù)) ； ； 二、講解新課：例1.求的導(dǎo)數(shù).法則1 兩個函數(shù)的和(或

19、差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即 法則2常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)法則3兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即 證明：令，則-+-， +因為在點x處可導(dǎo)，所以它在點x處連續(xù)，于是當(dāng)時，從而+ ，法則4 兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方，即三、講解范例：例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、y=x2+sinx的導(dǎo)數(shù).2、求的導(dǎo)數(shù)(兩種方法) 3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、y=5x10sinx2cosx9，求y5、求y=的導(dǎo)數(shù).變式：(1)求y=在點x=3處的導(dǎo)數(shù).(2

20、) 求y=cosx的導(dǎo)數(shù).例2求y=tanx的導(dǎo)數(shù).例3求滿足下列條件的函數(shù)(1) 是三次函數(shù),且(2)是一次函數(shù), 變式：已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的圖象過點P(0,2)，且在點M處(-1，f(-1)處的切線方程為6x-y+7=0，求函數(shù)的解析式四、課堂練習(xí)：1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y= (2)y= (3)y=五、小結(jié) ：由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),商的導(dǎo)數(shù)法則()=(v0)，如何綜合運用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則，來求一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).要將和、差、積、商的

21、導(dǎo)數(shù)法則記住 六、課后作業(yè)：343簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：知識與技能：理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.過程與方法：能夠結(jié)合已學(xué)過的法則、公式，進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生善于觀察事物，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識規(guī)律，掌握規(guī)律，利用規(guī)律教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的概念與應(yīng)用教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入與理解教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)設(shè)想：提供一個舞臺, 讓學(xué)生展示自己的才華，這將極大地調(diào)動學(xué)生的積極性，增強(qiáng)學(xué)生的榮譽(yù)感，培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了“自主探究”，同時，也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說、敢做的能力。教學(xué)過程：學(xué)生探究過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1.

22、 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：；2.法則1 法則2 , 法則3 二、講解新課：1.復(fù)合函數(shù): 由幾個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，叫復(fù)合函數(shù)由函數(shù)與復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是，其中u稱為中間變量2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩種方法與思路：方法一：；方法二：將函數(shù)看作是函數(shù)和函數(shù)復(fù)合函數(shù)，并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：，兩個導(dǎo)數(shù)相乘，得 ， 從而有 對于一般的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求yx時，就可以轉(zhuǎn)化為求yu和ux的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同.3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=(x)在點x處有導(dǎo)數(shù)ux=(x)，函數(shù)y=f(u)在點x的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)yu=f(u)，則復(fù)合函數(shù)y=f( (x)在

23、點x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或fx( (x)=f(u) (x).證明：（教師參考不需要給學(xué)生講）設(shè)x有增量x，則對應(yīng)的u，y分別有增量u，y，因為u=(x)在點x可導(dǎo)，所以u= (x)在點x處連續(xù).因此當(dāng)x0時，u0.當(dāng)u0時，由. 且.即 (當(dāng)u0時，也成立)4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù) 5.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解求導(dǎo)相乘回代三、講解范例：例1試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？； ； 解：函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；函數(shù)由函數(shù)、和復(fù)合而成說明：討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時，“內(nèi)層”、“外層”

24、函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等例2寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：，；，解：； 例3求的導(dǎo)數(shù)解：設(shè)，則 注意：在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時復(fù)合函數(shù)可以由幾個基本初等函數(shù)組成，所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).例4求f(x)=sinx2的導(dǎo)數(shù).解：令y=f(x)=sinu; u=x2=(sinu)u(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)

25、的導(dǎo)數(shù).分析: 設(shè)u=sin(2x+)時，求ux，但此時u仍是復(fù)合函數(shù)，所以可再設(shè)v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+=yu(uvvx)yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即yx=2sin(4x+)例6求的導(dǎo)數(shù).解：令y=，u=ax2+bx+c=()u(ax2+bx+c)x=(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=即yx=例7求y=的導(dǎo)數(shù).解：令=()u()x即yx=例8 求y=sin2的導(dǎo)數(shù).解：令y=u2，u

26、=sin，再令u=sinv，v=vx=(u2)u(sinv)v()x=2ucosv=2sincos=sinyx=sin例9 求函數(shù)y=(2x23)的導(dǎo)數(shù).分析: y可看成兩個函數(shù)的乘積，2x23可求導(dǎo)，是復(fù)合函數(shù)，可以先算出對x的導(dǎo)數(shù).解：令y=uv，u=2x23，v=, 令v=，=1+x2 = (1+x2)x=yx=(uv)x=uxv+uvx=(2x23)x+(2x23)=4x即yx= 四、鞏固練習(xí)：1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量，再求導(dǎo)).(1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)2解：(1)令y=u4，u=5x3=(u4)u(5x3)x=4u35=4(5x3)35=20(5x3)3(2)令y=u5，u=2+3x=(u5)u(2+3x)x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2x2=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2x2)2(2x)=6x(2x2)2(4)令y=u2，u=2x3+x=(u2)u(2x3+x)x=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x