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1、第 18 課時特殊三角形考點一等腰三角形課前雙基鞏固考點聚焦定義 有 相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角 性質(zhì) 軸對稱性 等腰三角形是軸對稱圖形,有 條對稱軸 定理 1 等腰三角形的兩個底角相等(簡稱 )定理 2 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的 、底邊上的高重合(簡稱三線合一)判定(1)在ABC中,AB=AC?ABC是等腰三角形(定義);(2)在ABC中,B=C?ABC是等腰三角形 兩邊1等邊對等角中線考點二等邊三角形課前雙基鞏固定義 三邊都相等的三角形叫做等邊三角形 性質(zhì)(1)等邊三角形的三個角都 ,并且每一個角都等于

2、;(2)等邊三角形是軸對稱圖形,有 條對稱軸 判定(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形;(2)有一個角等于 60的等腰三角形是等邊三角形 相等603考點三直角三角形課前雙基鞏固定義 有一個角等于 的三角形叫做直角三角形 性質(zhì)(1)直角三角形的兩個銳角互余;(2)在直角三角形中,30角所對的直角邊等于 ;(3)直角三角形斜邊上的中線等于 判定(1)如果一個三角形的兩個角互余,那么這個三角形是直角三角形;(2)一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形 拓展 (1)SRtABC=12ch=12ab,其中a,b為兩直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高;(2)RtABC的內(nèi)切圓半徑r=a+b-c

3、2,外接圓半徑 R=c2,即外接圓半徑等于斜邊的一半 90斜邊的一半斜邊的一半考點四勾股定理及其逆定理課前雙基鞏固勾股定理 如果直角三角形兩直角邊分別為 a,b,斜邊為 c,那么 勾股定理的逆 定理 逆定理 如果三角形的三邊 a,b,c 滿足 ,那么這個三角形是直角三角形 用途 (1)判斷某三角形是不是直角三角形;(2)證明兩條線段垂直;(3)解決生活中的實際問題 勾股數(shù) 能構成直角三角形的三條邊長的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù) a2+b2=c2 a2+b2=c2 課前雙基鞏固對點演練題組一必會題1.已知等腰三角形的一個底角的度數(shù)為70,則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是 ()A.55,55 B.70,40

4、 C.55,55或 70,40 D.以上都不對 2.若等腰三角形的兩邊長分別為 4 cm和 8 cm,則它的周長為 ()A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或 20 cm BC課前雙基鞏固3.下列四組線段中,能構成直角三角形的是 ()A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5 4.如圖 18-1,線段 AC的垂直平分線交線段 AB于點 D,A=50,則BDC=()A.50 B.100 C.120 D.130 5.在 RtABC中,已知C=90,A=30,BC=2,則 AC=.圖18-1DB2 3 課前

5、雙基鞏固題組二易錯題6.某等腰三角形的三邊長分別為 x,3,2x-1,則該三角形的周長為 .【失分點】求解等腰三角形的有關問題忘記分類討論;分類討論時忘記三角形三邊關系;“三線合一”與腰上的高、中線混淆;等腰三角形或等邊三角形的判定方法選擇有誤.答案 11 或 8 解析 當 x=3 時,此時 2x-1=5,3+35,能組成三角形,此時三角形的周長為 3+3+5=11;當 x=2x-1時,此時 x=1,1+13,能組成三角形,此時三角形的周長為 3+3+2=8.綜上,三角形的周長為 11 或 8.課前雙基鞏固7.如圖 18-2 所示,在ABC中,AB=AC,BDAC,垂足為 D,A=40,則DB

6、C=.圖 18-2 答案 20 解析 在ABC 中,AB=AC,A=40,ABC=ACB=(180-40)2=70.又BDAC,DBC=90-ACB=90-70=20.課前雙基鞏固8.如圖 18-3,ABC中,ACB=90,B=30,AD 平分CAB,DEAB于點 E,連接 CE交 AD于點 H,則圖中的等腰三角形有 個.圖 18-3 答案 4 解析 ACB=90,B=30,BAC=60,AD 是角平分線,CAD=BAD=30,AD=BD.ABD 是等腰三角形.AD 是角平分線,ACB=90,DEAB,CD=ED,AC=AE,CDE,ACE是等腰三角形.又CEB也是等腰三角形,顯然圖中有 4個

7、等腰三角形.高頻考向探究探究一與等腰三角形有關的計算例 1(1)2018宿遷 若實數(shù) m,n滿足等式|m-2|+?-4=0,且m,n恰好是等腰三角形 ABC的兩條邊的邊長,則ABC的周長是()A.12 B.10 C.8 D.6 答案 B 解析|m-2|+?-4=0,m-2=0,n-4=0,解得 m=2,n=4.當 m=2作腰時,三邊為 2,2,4,不符合三邊關系定理;當 n=4 作腰時,三邊為 2,4,4,符合三邊關系定理,周長為2+4+4=10.課前雙基鞏固例 1(2)2018成都 等腰三角形的一個底角為 50,則它的頂角的度數(shù)為 .80方法模型 在等腰三角形中進行邊或角的計算時,往往要分類

8、討論:當?shù)妊切蔚倪叢淮_定時,要利用三邊關系確定腰或底;當?shù)妊切蔚慕遣淮_定時,要利用三角形的內(nèi)角和來確定頂角和底角.高頻考向探究拓考向拓考向1.等腰三角形的周長為16,其一邊長為6,那么它的底邊長為()A.4或6B.4C.6D.5答案A解析 此題分為兩種情況:6是等腰三角形的底邊或6是等腰三角形的腰.然后進一步根據(jù)三角形的三邊關系分析能否構成三角形.當腰為6時,則底邊為4,此時三邊滿足三角形三邊關系;當?shù)走厼?時,則另兩邊長為5,5,此時三邊滿足三角形三邊關系.故選A.高頻考向探究2.如果等腰三角形的一個外角為140,那么底角為()A.40B.60C.70 D.40或70答案 D解析 題

9、目沒有明確此外角的位置,要分這個外角的鄰補角是頂角和底角兩種情況討論.外角為 140,與它相鄰的內(nèi)角是180-140=40.(1)當40是頂角時,底角是(180-40)2=70;(2)當40是底角時,底角是40.故選D.高頻考向探究3.2018紹興 數(shù)學課上,張老師舉了下面的例題:例 1 等腰三角形 ABC中,A=110,求B的度數(shù).(答案:35)例 2 等腰三角形 ABC中,A=40,求B的度數(shù).(答案:40或 70或 100)張老師啟發(fā)同學們進行變式,小敏編了如下一題:變式 等腰三角形 ABC中,A=80,求B的度數(shù).(1)請你解答以上的變式題.(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),A的度數(shù)不同,得

10、到B 的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形 ABC中,設A=x,當B有三個不同的度數(shù)時,請你探索 x 的取值范圍.解:(1)當A 為頂角時,B=50,當A 為底角時,若B 為頂角,則B=20,若B 為底角,則B=80,B=50或 20或 80.高頻考向探究3.2018紹興 數(shù)學課上,張老師舉了下面的例題:例 1 等腰三角形 ABC中,A=110,求B的度數(shù).(答案:35)例 2 等腰三角形 ABC中,A=40,求B 的度數(shù).(答案:40或70或 100)張老師啟發(fā)同學們進行變式,小敏編了如下一題:變式 等腰三角形 ABC中,A=80,求B的度數(shù).(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),A 的度數(shù)不同,

11、得到B 的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形 ABC中,設A=x,當B 有三個不同的度數(shù)時,請你探索 x的取值范圍.(2)分兩種情況:當 90 x180時,A 只能為頂角,B 的度數(shù)只有一個.當 0 x90 時,若A 為頂角,則B=180-?2,若A 為底角,則B=x或B=(180-2x),當180-?2180-2x且180-?2x且 180-2xx,即 x60時,B 有三個不同的度數(shù).綜上,當 0 x 90且 x60時,B有三個不同的度數(shù).高頻考向探究探究二等腰三角形的性質(zhì)與判定 6年3考例 22017北京 如圖 18-4,在ABC中,AB=AC,A=36,BD 平分ABC交 AC于點

12、D.求證:AD=BC.圖 18-4 證明:AB=AC,A=36,ABC=C=12(180-A)=12(180-36)=72.又BD 平分ABC,ABD=DBC=12ABC=1272=36,BDC=A+ABD=36+36=72,C=BDC,A=ABD,AD=BD=BC,即 AD=BC.高頻考向探究方法模型 等腰三角形是軸對稱圖形,它的定義既可以作為性質(zhì),又可以作為判定方法.要證明一個三角形是等腰三角形必須得到兩邊相等,而得到兩邊相等的方法主要有:(1)通過等角對等邊得到兩邊相等;(2)通過三角形全等得到兩邊相等;(3)利用垂直平分線的性質(zhì)得到兩邊相等.高頻考向探究明考向明考向1.2017河北 1

13、0題 如圖 18-5,碼頭 A在碼頭 B 的正西方向,甲、乙兩船分別從 A,B 同時出發(fā),并以等速駛向某海域,甲的航向是北偏東 35,為避免行進中甲、乙相撞,則乙的航向不能是()A.北偏東 55 B.北偏西 55 C.北偏東 35 D.北偏西 35 D圖18-5高頻考向探究2.2013河北 8 題 如圖 18-6,一艘海輪位于燈塔 P 的南偏東70方向的 M 處,它以每小時 40海里的速度向正北方向航行,2小時后到達位于燈塔 P的北偏東 40的 N處,則 N 處與燈塔P 的距離為()A.40 海里 B.60 海里 C.70 海里 D.80 海里 答案D 解析 由題意知,MN=240=80(海里

14、).M=70,N=40,NPM=180-M-N=180-70-40=70,NPM=M,NP=MN=80 海里.故選 D.圖18-6高頻考向探究3.2014河北 23(2)題 如圖 18-7,在ABC中,AB=AC,BAC=40,將ABC繞點 A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 100得到ADE,連接 BD,CE交于點 F.求ACE的度數(shù).圖 18-7 解:ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100得到ADE,AC=AE,CAE=100,ACE=12(180-CAE)=12(180-100)=40.高頻考向探究探究三等邊三角形的性質(zhì)與判定 6年1次單獨考,1次涉及例 3 如圖 18-8,O是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點,

15、AOB=110,BOC=.將BOC繞點 C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60得ADC,連接 OD.(1)求證:COD 是等邊三角形;(2)當=150時,試判斷AOD 的形狀,并說明理由;(3)探究:當 為多少度時,AOD 是等腰三角形?圖18-8解:(1)證明:ADC是由BOC旋轉(zhuǎn)所得,BOCADC,OC=CD.又OCD=60,COD是等邊三角形.高頻考向探究例 3 如圖 18-8,O是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點,AOB=110,BOC=.將BOC繞點 C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60得ADC,連接 OD.(2)當=150時,試判斷AOD 的形狀,并說明理由;圖18-8(2)AOD是直角三角形.理由:COD是等邊

16、三角形,COD=CDO=60.AOB+BOC+COD+AOD=360且AOB=110,BOC=150,AOD=40.由(1)知ADC=BOC=150,ADO=ADC-CDO=150-60=90,AOD是直角三角形.高頻考向探究例 3 如圖 18-8,O是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點,AOB=110,BOC=.將BOC繞點 C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60得ADC,連接 OD.(3)探究:當 為多少度時,AOD 是等腰三角形?圖18-8(3)AOD=360-AOB-BOC-COD=360-110-60=190-,ADO=ADC-CDO=-60,OAD=180-ADO-AOD=180-(-60)-(190-)=50.若ADO=AOD,則-60=190-,解得=125;若ADO=OAD,則-60=50,解得=110;若OAD=AOD,則 50=190-,解得=140.當=125或 110或 140時,AOD 是等腰三角形.高頻考向探究明考向明考向2016河北 16 題 如圖 18-9,AOB=120,OP平分AOB,且 OP=2.若點 M,N 分別在 OA,OB上,且PMN為等邊三角形,則滿足上述條件