《高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理課堂探究學(xué)案新人教B版必修.pdf》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理課堂探究學(xué)案新人教B版必修.pdf（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)1.1.1 正弦定理課堂探究一、判斷三角形解的個(gè)數(shù)剖析：(1)代數(shù)法在ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得sin Bbasin Am當(dāng) sin B1 時(shí)，這樣的B不存在，即三角形無(wú)解當(dāng) sin B1 時(shí)，B90，若A90，則三角形有一解，否則無(wú)解當(dāng) sin B180時(shí)，三角形無(wú)解；當(dāng)A 180，且A 180時(shí)，有兩解；當(dāng)A180時(shí)有一解(2)幾何法根據(jù)條件中A的大小，分為銳角、直角、鈍角三種情況，通過(guò)幾何作圖，得出解的情況作出已知A，以A為圓心，邊長(zhǎng)b為半徑畫弧交A的一邊于C使未知的邊AB水平，頂點(diǎn)C在邊AB上方，以點(diǎn)C為圓心，邊長(zhǎng)a

2、為半徑作圓，該圓與射線AB交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為解的個(gè)數(shù)，如下表所示：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aab bsin Aabab ab解的個(gè)數(shù)一解兩解無(wú)解一解無(wú)解二、教材中的“探索與研究”在正弦定理中，設(shè)asin Absin Bcsin Ck請(qǐng)研究常數(shù)k與ABC外接圓的半徑R的關(guān)系(提示：先考察直角三角形)小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)剖析：(1)如圖 1，當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，直接得到asin Absin Bcsin C2R(a，b，c分別為ABC中角A，B，C的對(duì)邊，R為外接圓半徑)(2)如圖 2，當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，連接BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，連接

3、CD因?yàn)锳D，所以asin Aasin D2R，同理bsin Bcsin C2R，即asin Absin Bcsin C2R(3)如圖 3，當(dāng)ABC為鈍角三角形且A為鈍角時(shí)，連接BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，連接CD，A180D，所以asin Aasin(180D)asin D2R由(2)知bsin Bcsin C2R，即asin Absin Bcsin C2R綜上所述，對(duì)于任意ABC，asin Absin Bcsin C2R恒成立歸納總結(jié)：根據(jù)上述關(guān)系式可得到正弦定理的常用變式：(1)asin Bbsin A；asin Ccsin A；bsin Ccsin B(2)absin Asin B；sin

4、 Bbsin Aa(3)asin Absin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C2R(R為ABC外接圓的半徑)(4)abc sin Asin Bsin C(5)邊化角公式：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(6)角化邊公式：sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R題型一解三角形小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)【例 1】已知在ABC中，c10，A45，C30，求a，b和B分析：正弦定理中有三個(gè)等式，每個(gè)等式都含有四個(gè)未知量，可知三求一 當(dāng)知道兩個(gè)角時(shí)，即可知道第三個(gè)角，所以若再知道三邊中任意一邊，就可解這個(gè)三角形解：asin

5、Acsin C，A45，C30，acsin Asin C10sin 45 sin 30 102，B180(AC)180(4530)105又bsin Bcsin C，bcsin Bsin C10sin 105 sin 30 20sin 75 206245(62)反思：本題給出了解三角形第一類問(wèn)題(即已知兩角和一邊，求另兩邊和一角)的方法步驟，即先由正弦定理求得已知角的對(duì)邊，然后利用內(nèi)角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三邊【例 2】在ABC中，已知a3，b2，B45，求A，C和c分析：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角的解三角形問(wèn)題可運(yùn)用正弦定理來(lái)求解，但應(yīng)注意解的個(gè)數(shù)解：由正弦定理asin Absin

6、B，知 sin Aasin Bb32asin BbAC，得滿足sin C32的角C有兩個(gè)正解：由正弦定理，得sin CABsin BAC32因?yàn)锳BAC，所以C60或 120 當(dāng)C60時(shí)，A90，SABC12ABACsin A 23；當(dāng)C120時(shí)，A30，SABC12ABACsin A3所以ABC的面積為23或3【例 6】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c62，C30，求ab的最大值錯(cuò)解：因?yàn)镃30，所以AB150，即B150A由正弦定理，得asin Absin(150A)62sin 30 又因?yàn)?sin A1，sin(150 A)1，所以ab2(62)2(62)4(62)故ab的最大值為4(62)錯(cuò)因分析：上述解法錯(cuò)誤的原因是未弄清A與 150A之間的關(guān)系，這里A與150A是相互制約的，不是相互獨(dú)立的量，sin A與 sin(150 A)不能同時(shí)取最大值 1，因此所得的結(jié)果是錯(cuò)誤的小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)小學(xué)+初中+高中+努力=大學(xué)正解：因?yàn)镃30，所以AB150 由正弦定理，得asin Absin(150A)62sin 30 因此，ab2(62)sin Asin(150 A)(8 43)cos(A75)8 43故ab的最大值為843