第16章 二次根式二次根式 16.2.2 二次根式的加減（第1課時 二次根式的加減）學習目標學習目標 1.了解二次根式的加、減運算法則.（重點）2.會用二次根式的加、減運算法則進行簡單的運算.（難點）復習引入 導入新課導入新課 問題1 滿足什么條件的根式是最簡二次根式?（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.問題2 化簡下列兩組二次根式，每組化簡后有什么共同特點?(1)28，18，0.5;2,3(2)480，45，20.5,32,22;5,25.化簡后被開方數(shù)相同 問題3 有八只小白兔，每只身上都標有一個最簡二次根式，你能根據(jù)被開方數(shù)的特征將這些小白兔分到四個不同的柵欄里嗎？223253232?27?547講授新課講授新課 一 在二次根式的加減運算中可以合并的二次根式 在七年級我們就已經(jīng)學過單項式加單項式的法則.觀察下圖并思考.a a a a a a a a a a 你發(fā)現(xiàn)了什么？由上圖，易得2a+3a=5a.當a=22?32=522時，分別代入左右得 ;當a=3時，分別代入左右得 ;23?33=53.前面依次往下推導，由特殊到一般易知二次根式的被開方數(shù)相同可以合并.繼續(xù)觀察下面的過程：a b b 2a+3b b a 這兩個二次根式可以合并嗎？當a=,8時，得2a+3b=.22?382b=因為 38?32?2?62，由前面知兩者可以合并.你又有什么發(fā)現(xiàn)嗎?2歸納總結(jié) 將二次根式化成最簡式，如果被開方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為 同類二次根式.注意：判斷幾個二次根式是否可以合并，一定都要化為最簡二次根式再判斷.合并的方法與合并同類項類似，把根號外的因數(shù)(式)相加，根指數(shù)和被開方數(shù)(式)不變.如：ma?na?m?n?a典例精析 2 n?1例1 若最簡根式 3可以合并，求 3m?2n與 mn的值.解：由題意得 解得 416?.即 mn?323?2n?1?2,?3m?2n?3,4?m?,?3?1?n?,?2 歸納 確定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被開方數(shù)相同，指數(shù)都為 2列關于待定字母的方程求解即可.【變式題】如果最簡二次根式 3a?8與 17?2a可以合并，那么要使式子 有意義，求x的取4a?2 xx?a值范圍.解：由題意得3a-8=17-2a,a=5，4a?2 xx?a?20?2 xx?5,20-2x0，x-50，5x10.練一練 1.下列各式中，與 D）3是同類二次根式的是（A.B.C.D.582122.1 8與最簡二次根式 m?1能合并，則m=_.3.下列二次根式，不能與 填 12合并的是_(序號）.48;-125;1;3132;18.二 二次根式的加減及其應用 思考 現(xiàn)有一塊長7.5 dm、寬5 dm的木板，能否采用如圖的方式，在這塊木板上截出兩個分別是 8 dm2和18 dm2 的正方形木板？問題1 怎樣列式求兩個正方形邊長的和?7.5 dm 8+185 dm S=8 dm2 S=18 dm2 問題2 所列算式能直接進行加減運算嗎?如果不能,把式中各個二次根式化成最簡二次根式后，再試一試(說出每步運算的依據(jù)）.解：列式如下：在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的8+18?22+32（化成最簡二次根式）運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然?（2+3）2（逆用分配律）成立.?52.Q18?32?5,52?7.5，2在這塊木板上可以截出兩個分別是 8 dm和18 dm2的正方形木板 歸納總結(jié) 二次根式的加減法法則:一般地，二次根式加減時，可以 先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.加減法的運算步驟：(1)化將非最簡二次根式的二次根式化簡；(2)找找出被開方數(shù)相同的二次根式；(3)并把被開方數(shù)相同的二次根式合并.“一化簡二判斷三合并”二次根 式性質(zhì) 8+18=22+3整式加 分配律 減法則 2=（2+3）2=52化為最簡 用分配 整式 二次根式 律合并 加減 依據(jù)：二次根式的性質(zhì)、分配律和整式加減法則.基本思想：把二次根式加減問題轉(zhuǎn)化為整式加減問題 典例精析 例2 計算:(1)80?45;(2)9a?25a;(3)8?150;(4)312?1275.解：(1)(2)9a?80?45?45?35?25a?3a?5a?8a.(3)8?150?22?512?22?21039?21102.(4)312?127?63?133?63?5393.例3 計算:(1)212?613?31348;(2)(12?20)?(3?5).(1)解：212?6?4?14?3348(2)(12?12?20)?(20?3?3?55)3?23.3?12?23?25?3?5?33?5.有括號，先去括號 例4 已知a,b,c滿足 .?a?8?b?5?c?32?0(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c為三邊長能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成 三角形，求出其周長；若不能，請說明理由.分析：(1)若幾個非負數(shù)的和為零，則這幾個非負數(shù)必須為零；(2)根據(jù)三角形的三邊關系來判斷.a?8?22,b?5,c?32；解：(1)由題意得 2(2)能.理由如下：即acb，22 32 5，又 a?c?52,a+cb，能夠成三角形，周長為 a?b?c?52?5.【變式題】有一個等腰三角形的兩邊長分別為 52,26，求其周長.解：?當腰長為 52時，52?52?102 26，2+26；此時能構(gòu)成三角形，周長為1 0?當腰長為 26時，26?26?46 52，此時能構(gòu)成三角形，周長為 52+46.歸納 二次根式的加減與等腰三角形的綜合運用，關鍵是要分類討論及會比較兩個二次根式的大小.練一練 1.下列計算正確的是 （C ）2?2?23?A.B.2?32?25 C.D.12?3?33?2.已知一個矩形的長為 ,48寬為 12，則其123周長為_.隨堂練習隨堂練習 1.二次根式：1 3能進行合并的 2、18、27中，與 23 是 （）C 3A.12與1 2與32B.與21 8與1 8C.A.B.C.27D.562 7A）2.下列運算中錯誤的是 （2?2?8?3?3?2?23）?32D.（3.三角形的三邊長分別為 20，40，45，則這個三角形的周長為_.55+2104.計算:(1)52?18=_8_2_；(2)4 18-9 23_2 _；?_(3)10 2?(3 8-7 2)?_9_2_；4_3-6(4)5 12-(3 8?2 27)?_2_.5.計算:1(1)5 8-2 27?18 ；(2)2 18-50?45.3解：(1)5 8-2 27?18?10 2-6 3?3 2?13 2-6 3.1 (2)2 18-50?45 3?6 2-5 2?5?2?5.(3)44-(3 11?11 2)；11(4)(48-4)-(3-4 0.5).831813(3)解：44?（311+112）(4（)48?418）?（313?4120.5）=211?311?112?11?112.=48?4?32+4332=4=4?33?4?3?3+4?3?3+2+4?222?2.6.下圖是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個相同圓心的圓構(gòu)成.已知大圓和小圓的面積分別為 763.02m2和150.72m2，求圓環(huán)的寬度d（取3.14）.d 解 設大圓和小圓的半徑分別為 R，r，面積分別為?r 可知 S?R，SS，S ，由 221212R?S1，r?S2.則 d?R?r?9?5S1?S2?483150.723.14d 763.023.14243?3?43?m?.答：圓環(huán)的寬度為 53m.能力提升：7.已知a，b都是有理數(shù)，現(xiàn)定義新運算：a*b=a?3b，求（2*3）（27*32）的值 解：a*b=a?3b，（2*3）（27*32）=?=2?33?2?33?3?27?3323?122?=?112.課堂小結(jié)課堂小結(jié) 一般地，二次根式的加減法二次根式加減 注意 運算順序 則 時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.運算原理 運算律仍然適用 與實數(shù)的運算順序一樣