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1、工程數(shù)學(xué)試題第 1 頁(yè)共 6 頁(yè)得分評(píng)卷人1某人打靶 3 發(fā)，事件 Ai 表示“擊中 i 發(fā)”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1 A2A3表示()。A.全部擊中.B.至少有一發(fā)擊中.C.必然擊中 D.擊中 3 發(fā)2對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，則有()。A.X 和 Y獨(dú)立。B.X和 Y不獨(dú)立。C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.D(XY)=D(X)D(Y)3下列各函數(shù)中可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是（）。A其它1|0|)|1(2)(xxxf。B.其它2|05.0)(xxfC.00021)(222)(xxexfxD.其它00)(xexfx，4設(shè)隨

2、機(jī)變量 X)4,(2N,Y)5,(2N,41XPP,52YPP,則有（）A.對(duì)于任意的,P1=P2B.對(duì)于任意的,P1 P25設(shè) X為隨機(jī)變量，其方差存在，c 為任意非零常數(shù)，則下列等式中正確的是（）A D(X+c)=D(X).B.D(X+c)=D(X)+c.C.D(X-c)=D(X)-c D.D(cX)=cD(X)一、單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 15 分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。工程數(shù)學(xué)試題第 2 頁(yè)共 6 頁(yè)得分評(píng)卷人6 設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為-1，1，2，它的伴隨矩陣記為A*，則|A*+3A 2E|=。7設(shè)

3、 A=10000002011101110 x，則 x=。8設(shè)有 3 個(gè)元件并聯(lián)，已知每個(gè)元件正常工作的概率為P，則該系統(tǒng)正常工作的概率為。9設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)為其它Axxxf002)(，則概率)21(XP。10 設(shè) 二 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量),(YX的 聯(lián) 合 概 率 密 度 函 數(shù) 為其它當(dāng)0,00),()43(yxkeyxfyx，則系數(shù)k。得分評(píng)卷人11求函數(shù)tetf)(的傅氏變換(這里0)，并由此證明：二、填空題（每空 3 分，共 15 分）三、計(jì)算題（每小題10 分，共 50 分）工程數(shù)學(xué)試題第 3 頁(yè)共 6 頁(yè)tedt2cos02212發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6 和

4、0.4 發(fā)出信號(hào)“1”和“0”。由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“1”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“1”，而是分別以概率 0.8 和 0.2 收到信號(hào)“1”和“0”；同時(shí)，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“0”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9 和 0.1 收到信號(hào)“0”和“1”。求（1）收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“1”的概率；（2）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“1”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)“1”的概率。13設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的聯(lián)合概率函數(shù)是其它0,00),()42(yxceyxfyx求：（1）常數(shù) c；（2）概率 P(XY)；（3）X 與 Y 相互獨(dú)立嗎？請(qǐng)說(shuō)工程數(shù)學(xué)試題第 4 頁(yè)共 6 頁(yè)出理由。14將 n 個(gè)球隨機(jī)的放入 N 個(gè)盒子中去，設(shè)每

5、個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X 的數(shù)學(xué)期望。15設(shè)一口袋中依此標(biāo)有1，2，2，2，3，3 數(shù)字的六個(gè)球。從中任取一球，記隨機(jī)變量X 為取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(1)X 的概率分布律和分布函數(shù)。(2)EX 工程數(shù)學(xué)試題第 5 頁(yè)共 6 頁(yè)得分評(píng)卷人16.設(shè) a=(a1,a2,an)T，a10,其長(zhǎng)度為 a，又 A=aaT,(1)證明 A2=a2A；(2)證明 a 是 A的一個(gè)特征向量，而0 是 A的 n-1 重特征值；(3)A能相似于對(duì)角陣 嗎？若能,寫(xiě)出對(duì)角陣.四、證明題（共 10 分）工程數(shù)學(xué)試題第 6 頁(yè)共 6 頁(yè)得分評(píng)卷人17.設(shè)在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量X是

6、隨機(jī)變量,它在2000,4000(單位：噸)上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國(guó)家掙得外匯3 萬(wàn)元，但假如銷(xiāo)售不出而囤積在倉(cāng)庫(kù)，則每噸需保養(yǎng)費(fèi) 1 萬(wàn)元。問(wèn)需要組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大。五、應(yīng)用題（共 10 分）工程數(shù)學(xué)試題第 7 頁(yè)共 6 頁(yè)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題3 分，共 15 分）1B2C3D4A5A 二、填空題（每小題3 分，共 15 分）6.9 7.1 8.1(1P)39.3/4 10.12 三、計(jì)算題（每題 10 分，共 50 分）11.解答：函數(shù) f(t)的付氏變換為：F(w)=dtedtedteeetjtjtjtt0)(0)(|（3 分）=222

7、11jj (2分)由付氏積分公式有f(t)=1F(w)=deFtj)(21 (2分)=dtjt)sin(cos22122 =dtdt02222cos2cos221（2 分）所以tedt2cos022（1 分）12.解答:設(shè) A1=“發(fā)出信號(hào)1”，A0=“發(fā)出信號(hào)0”，A=“收到信號(hào)1”（2 分）(1)由全概率公式（1 分）有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)（2 分）=0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52（1 分）(2)由貝葉斯公式（1 分）有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)（2 分）=0.8x0.6/0.52=12/13 （1 分）13.

8、解答:工程數(shù)學(xué)試題第 8 頁(yè)共 6 頁(yè)(1)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)有1),(dyyxfdx即0)42(01dycedxyx（2 分）從而c=8（2 分）(2)yxdxdyyxfYXP),()(xyxdyedx0)42(0328（2 分）(3)當(dāng) x0 時(shí)，02)42(28),()(xyxXedyedyyxfxf（2 分）當(dāng) x=0 時(shí),0)(xfX同理有其它004)(4yeyfyY（1 分）因yxyfxfyxfYX,)()(),(故 X 與 Y 相互獨(dú)立（1分）14.解答：設(shè)否則個(gè)盒子有球第iXi01 i=1,2,N (2分)則NiiXX1 (1分)因nniNNXP)1()0(2分)nniiNN

9、XPXP)1(1)0(1)1(2分)因而nniiiNNXPXPEX)1(1)1(1)0(0 (2分)工程數(shù)學(xué)試題第 9 頁(yè)共 6 頁(yè)所以)11(1(1nNiiNNEXEX (2分)15.解答：（1）隨機(jī)變量X的取值為1，2，3。（1 分）依題意有：62)3(;632;61 1XPXPXP（3 分）X的分布函數(shù))(xXPxF（1 分）由條件知：當(dāng)1x時(shí)，;0(）xF（1 分）當(dāng)21x時(shí)，;61)1(XPxF）（1 分）當(dāng)32x時(shí)，;32)2()1(XPXPxF）（1 分）當(dāng)3x時(shí)，;1(）xF（1 分）（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6=13/6 （1 分）四、證明題（共

10、 10 分）(1)A2=aaTaaT=aTa aaT=a2A （2 分）(2)因 Aa=aaTa=aTaa=a2a （2 分）故 a 是 A的一個(gè)特征向量。又 A對(duì)稱(chēng)，故A必相似于對(duì)角陣（1 分）設(shè) A diag(1,2,n)=B,其中 1,2,n是 A的特征值 (1分)因 rank(A)=1,所以 rank(B)=1 (1分)從而 1,2,n中必有 n-1 個(gè)為 0,即 0 是 A的 n-1 重特征值（1 分）(3)A對(duì)稱(chēng)，故A必相似于對(duì)角陣，=diag(a2,0,0)(2 分)五、應(yīng)用題（共 10 分）解答:設(shè) y 為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量可只介于2000 與 4000 之間，用Z表示國(guó)家的收益（萬(wàn)元）,（1 分）則有yXyXXyXyXgZ)(33)(（4分）因 X 服從 R(2000,4000),故有其它4000200002000/1)(xxfX (1分)所以工程數(shù)學(xué)試題第 10 頁(yè)共 6 頁(yè)dxydxxyxdxxfxgEZyyX40002000200032000)(3)()(=(y27000y+4?106)/1000(3 分)求極值得y=3500(噸)(1 分)