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1、2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系,1.掌握空間兩條直線間的位置關系,理解異面直線的定義中“不同在”的含義. 2.知道兩條異面直線所成角的意義,掌握兩條直線垂直的含義. 3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解決有關問題.,1,2,3,4,5,1.異面直線 (1)概念:不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線. (2)圖示:如圖,為了表示異面直線a,b不共面的特點,作圖時,通常用一個或兩個平面襯托.,1,2,3,4,5,【做一做1】 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1異面的棱是() A.ABB.BB1 C.DD1D.B1C1 解析:AA1BB1,AA1DD1,AA1AB

2、=A,AA1與B1C1是異面直線. 答案:D,1,2,3,4,5,2.空間兩條直線的位置關系,1,2,3,4,5,【做一做2】 不平行的兩條直線的位置關系是() A.相交 B.異面 C.平行 D.相交或異面 解析:由于空間兩條直線的位置關系是平行、相交、異面,則不平行的兩條直線的位置關系是相交或異面. 答案:D,1,2,3,4,5,3.公理4,1,2,3,4,5,【做一做3】 如圖,在正方體ABCD-ABCD中,E,F,E,F分別是AB,BC,AB,BC的中點,求證:EEFF. 證明:在正方體ABCD-ABCD中, 因為E,E分別是AB,AB的中點, 所以BEBE,且BE=BE. 所以四邊形E

3、BBE是平行四邊形. 所以EEBB.同理可證FFBB, 所以EEFF.,1,2,3,4,5,4.等角定理,1,2,3,4,5,歸納總結等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的,當這兩個角的兩邊方向分別相同或相反時,它們相等,否則它們互補.,1,2,3,4,5,【做一做4】 已知BAC=30,ABAB,ACAC,則BAC=() A.30 B.150 C.30或150 D.60 答案:C,1,2,3,4,5,5.兩條異面直線所成的角(夾角) (1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O作直線aa,bb,我們把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).,名師點撥在定義

4、中,空間一點O是任取的,根據(jù)等角定理,可以斷定異面直線所成的角與a,b所成的銳角(或直角)相等,而與點O的位置無關.異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對位置的一個重要的量,是通過轉化為相交直線所成的角來解決的.,1,2,3,4,5,(2)異面直線所成的角的范圍:090. (3)兩條異面直線垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,那么就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a,b,記作ab. 【做一做5】 在長方體ABCD-ABCD中,與棱AA垂直且異面的棱有. 答案:BC,BC,CD,CD,1,2,1.對異面直線的理解 剖析:異面直線是指不同在任何一個平面內的兩條直線.要注意異面直線定義

5、中“任何”兩字,它指空間中的所有平面,因此異面直線也可以理解為:如果a與b是異面直線,那么在空間中找不到一個平面,使其同時經過a,b這兩條直線.,1,2,例如,在如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直線既不平行也不相交,找不到一個平面同時經過這兩條棱所在的直線,則AB和B1C1是異面直線.要注意分別在兩個平面內的直線不一定是異面直線,可以平行,可以相交,也可以異面. 有以下方法可以判斷兩條直線是異面直線: (1)定義法(直觀判斷法):由定義判斷兩條直線不可能在同一個平面內.或者用下面的結論:過平面外一點與平面內一點的直線,和平面內不經過該點的直線是異面直線.,1

6、,2,用符號語言表示為:B,A,a,Aa,則a與直線AB為異面直線.圖形如圖所示. (2)排除法:排除兩條直線共面(平行或相交),則這兩條直線是異面直線.,1,2,2.作出兩條異面直線所成的角 剖析:根據(jù)異面直線所成角的定義,通常在兩條異面直線中的一條直線上取一點,然后作另一條直線的平行線即可.但是,在作輔助線之前最好觀察圖形,看看在所給的圖形中,有沒有滿足定義的角,如果沒有,再作輔助線.,1,2,例如,在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB和B1C1是異面直線.由于ABA1B1,則A1B1C1就是它們所成的角,當然ABC也是它們所成的角;對于異面直線AD1和B1C來說,在圖

7、中就沒有它們所成的角,這就需要作輔助線,連接BC1交B1C于點E,則BC1AD1,故C1EC是異面直線AD1和B1C所成的角或其補角.很明顯C1EC是等腰直角三角形,C1EC=90,即異面直線AD1和B1C所成的角為90.,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】 已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,那么a與c有什么樣的位置關系?并畫圖說明. 解:直線a與c的位置關系有三種情況. 直線a與c可能平行,如圖;可能相交,如圖;可能異面,如圖.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思判定兩條直線的位置關系時,若要判定直線平行或相交,可用平面幾何中的定義和方法來處理;判定異面直線的方法往往根

8、據(jù)連接平面內一點與平面外一點的直線和這個平面內不經過此點的直線是異面直線來判斷.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練1】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關系: (1)直線A1B與直線D1C的位置關系是; (2)直線A1B與直線B1C的位置關系是; (3)直線D1D與直線D1C的位置關系是; (4)直線AB與直線B1C的位置關系是.,題型一,題型二,題型三,題型四,解析:對于(1),因為A1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四邊形A1D1CB為平行四邊形,所以A1BD1C. 對于(2),因為直線A1B平面A1B,B1平面A1B,且B1直線A1

9、B,直線CB1平面A1B,所以直線A1B與直線CB1為異面直線.同理(4)中直線AB與直線B1C也是異面直線;對于(3)直線D1D與直線D1C顯然相交. 答案:(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面,題型一,題型二,題型三,題型四,【例2】 已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為AA1,CC1的中點.求證:BFED1. 證明:如圖,取BB1的中點G,連接GC1,GE. 因為F為CC1的中點, 所以BGC1F,且BG=C1F, 即四邊形BGC1F為平行四邊形. 所以BFGC1. 又EGA1B1,A1B1C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1, 所以EGC1D1,且EG=C1

10、D1, 即四邊形EGC1D1為平行四邊形. 所以ED1GC1. 所以BFED1.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思證明兩條直線平行的方法: (1)平行線的定義; (2)三角形中位線、平行四邊形的性質等; (3)公理4.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練2】 如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點. 求證:四邊形EFGH是平行四邊形.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】 已知E,E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中點,求證:BEC=B1E1C1. 證明:如圖,連接EE1. 因為

11、E,E1分別是AD,A1D1的中點, 所以AEA1E1,且AE=A1E1, 即四邊形AEE1A1是平行四邊形. 所以AA1EE1,且AA1=EE1. 又AA1BB1,且AA1=BB1, 所以EE1BB1,且EE1=BB1,即四邊形BEE1B1是平行四邊形. 所以BEB1E1.同理可證CEC1E1. 又BEC與B1E1C1的兩邊方向相同,所以BEC=B1E1C1.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思在立體幾何中,常利用等角定理來證明兩個角相等,此時要注意觀察這兩個角的方向必須相同,且能證明它們的兩邊對應平行.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,【例4】 如圖,在空

12、間四邊形ABCD中,AB=CD,ABCD,E,F分別為BC,AD的中點,求EF和AB所成的角的大小.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,反思1.求兩條異面直線所成的角的一般步驟: (1)作:根據(jù)所成角的定義,用平移法作出兩條異面直線所成的角; (2)證:證明作出的角就是要求的角; (3)計算:尋找或作出含有此角的三角形,求解計算; (4)結論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補角就是所求異面直線所成的角. 2.過一點作兩條異面直線所成的角時,常把這個點取在其中一條直線上的特殊位置,或是圖形的特殊點,這樣可方便于求這個角的大小. 3.三角形的中位線是立體幾何中常用到的線段,是解決立體幾何問題最重要的輔助線.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練4】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BD相交于點O,求直線OB1與A1C1所成的角的大小.,題型一,題型二,題型三,題型四,解: 如圖,連接AB1,B1C,因為ACA1C1,所以B1OC(或其補角)是異面直線OB1與A1C1所成的角. 因為AB1=B1C,O為AC的中點,所以B1OAC,即B1OC=90.故OB1與A1C1所成的角的大小為90.,