第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [基礎(chǔ)題組練] 1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，則c等于(　　) A．－a＋b　　　　　　　 B.a－b C．－a－b D．－a＋b 解析：選B.設(shè)c＝λa＋μb，則(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以所以所以c＝a－b. 2．設(shè)向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．－2 C．±2 D．0 解析：選B.因為a與b方向相反，所以b＝ma，m<0，則有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2. 3．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量＝(2，4)，D為AC的中點，則＝(　　) A．(1，3) B．(3，3) C．(－3，－3) D．(－1，－3) 解析：選B.設(shè)C(x，y)，則＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得即C(－1，6)．由D為AC的中點可得點D的坐標(biāo)為(0，5)，所以＝(0＋3，5－2)＝(3，3)． 4．(2020·溫州瑞安七中高考模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝(　　) A．－8 B．－4 C．4 D．2 解析：選C.設(shè)正方形的邊長為1，則易知c＝(－1，－3)， a＝(－1，1)，b＝(6，2)；因為c＝λa＋μb， 所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 解得λ＝－2，μ＝－，故＝4. 5．已知非零不共線向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，則點Q(x，y)的軌跡方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：選A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y－2＝0，故選A. 6．(2020·金華十校聯(lián)考)已知△ABC的三個頂點A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，1)，(，0)，(0，－2)，O為坐標(biāo)原點，動點P滿足||＝1，則|＋＋|的最小值是(　　) A.－1 B.－1 C.＋1 D.＋1 解析：選A.設(shè)點P(x，y)，動點P滿足||＝1可得x2＋(y＋2)2＝1. 根據(jù)＋＋的坐標(biāo)為(＋x，y＋1)，可得|＋＋|＝，表示點P(x，y)與點Q(－，－1)之間的距離． 顯然點Q在圓C：x2＋(y＋2)2＝1的外部，求得QC＝，|＋＋|的最小值為QC－1＝－1， 故選A. 7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，則銳角θ＝________． 解析：因為a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又因為θ為銳角，所以θ＝. 答案： 8．設(shè)向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點，若A，B，C三點共線，則ab的最大值為________． 解析：易知＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)，由A，B，C三點共線知∥，故2(a－1)－(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1. 由基本不等式可得1＝2a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b時等號成立，所以ab≤， 即ab的最大值為. 答案： 9．(2020·臺州質(zhì)檢)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，向量a＝(cos C，b－c)，向量b＝(cos A，a)且a∥b，則tan A＝________． 解析：a∥b?(b－c)cos A－acos C＝0，即bcos A＝ccos A＋acos C，再由正弦定理得sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A?sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝，所以sin A＝，tan A＝＝. 答案： 10．如圖，兩塊全等的等腰直角三角板拼在一起形成一個平面圖形，若直角邊長為2，且＝λ＋μ，則λ＋μ＝________． 解析：因為∠DEB＝∠ABC＝45°， 所以AB∥DE， 過D作AB，AC的垂線DM，DN， 則AN＝DM＝BM＝BD·sin 45°＝， 所以DN＝AM＝AB＋BM＝2＋， 所以＝＋＝＋， 所以λ＝，μ＝， 所以λ＋μ＝1＋. 答案：1＋ 11．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？ 解：由題設(shè)，知＝d－c＝2b－3a， ＝e－c＝(t－3)a＋tb. C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得＝k， 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. ①若a，b共線，則t可為任意實數(shù)； ②若a，b不共線，則有 解之得t＝. 綜上，可知a，b共線時，t可為任意實數(shù)； a，b不共線時，t＝. 12．(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，BC的中點，且|DM|＝1，|DN|＝2，∠MDN＝. (1)試用向量，表示向量，； (2)求||，||； (3)設(shè)O為△ADM的重心(三角形三條中線的交點)，若＝x＋y，求x，y的值． 解：(1)如圖所示， ＝＋＝－； ＝＋＝＋＝－. (2)由(1)知＝－，＝－， 所以||＝＝， ||＝＝. (3)由重心性質(zhì)知：＋＋＝0，所以有： 0＝x＋y＋＝x(－)＋y(－)－＝(x＋y－1)＋(－x)＋(－y). 所以(x＋y－1)∶(－x)∶(－y)＝1∶1∶1?x＝y(tǒng)＝. [綜合題組練] 1．(2020·寧波諾丁漢大學(xué)附中期中考試)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝.若動點P滿足＝(1－λ)＋(λ∈R)，則點P的軌跡與直線BC，AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為(　　) A．5 B．10 C．2 D．4 解析：選A.設(shè)＝，因為＝(1－λ)＋＝(1－λ)＋λ，所以B，D，P三點共線．所以P點軌跡為直線BC.在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝，所以sin C＝，所以S△ABC＝×7×6×＝15，所以S△BCD＝S△ABC＝5. 2．設(shè)兩個向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α為實數(shù)，若a＝2b，則的取值范圍是(　　) A．[－6，1] B．[4，8] C．(－∞，1] D．[－1，6] 解析：選A.由a＝2b，得 所以 又cos2α＋2sin α＝－sin2 α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m≤2， 將λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，得≤m≤2，所以＝＝2－∈[－6，1]． 3．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________________． 解析：由題意得＝(－3，1)，＝(2－m，1－m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠. 答案：m≠ 4．(2020·浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F(xiàn)為BC的中點，點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動，E為圓弧與AB的交點，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是________． 解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示， 則A(0，0)，E(1，0)，D，B(2，0)， C，F(xiàn)； 設(shè)P(cos α，sin α)(0°≤α≤60°)， 因為＝λ＋μ， 所以(cos α，sin α)＝λ＋μ. 所以 所以2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－30°)， 因為0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1. 答案：[－1，1] 5．(2020·嘉興模擬)已知點O為坐標(biāo)原點，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2. (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線． 解：(1)＝t1＋t2 ＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)． 當(dāng)點M在第二或第三象限時，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0. (2)證明：當(dāng)t1＝1時，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)． 因為＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，且有公共點A， 所以不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線． 6．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三點共線，求m的值． 解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因為ka－b與a＋2b共線，所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)法一：因為A、B、C三點共線， 所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以，解得m＝. 法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)． 因為A、B、C三點共線，所以∥. 所以8m－3(2m＋1)＝0， 即2m－3＝0，所以m＝. 8