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1、應(yīng)用多元統(tǒng)計分析應(yīng)用多元統(tǒng)計分析第六章部分習(xí)題解答第六章部分習(xí)題解答12 第六章第六章 聚類分析聚類分析 6-1 證明下列結(jié)論證明下列結(jié)論:(1)(1)兩個距離的和所組成的函數(shù)仍是距離兩個距離的和所組成的函數(shù)仍是距離;(2)(2)一個正常數(shù)乘上一個距離所組成的函數(shù)一個正常數(shù)乘上一個距離所組成的函數(shù)仍是距離仍是距離;(3)(3)設(shè)設(shè)d為一個距離為一個距離,c0 0為常數(shù)為常數(shù),則則仍是一個距離仍是一個距離;(4)(4)兩個距離的乘積所組成的函數(shù)不一定是兩個距離的乘積所組成的函數(shù)不一定是距離距離;3第六章第六章 聚類分析聚類分析(2)設(shè)設(shè)d是是距離距離,a 0為為正常數(shù)正常數(shù).令令d*=ad,顯然

2、有顯然有4第六章第六章 聚類分析聚類分析故故d*=ad是一個距離是一個距離.(3)設(shè)設(shè)d為一個距離為一個距離,c0 0為常數(shù)為常數(shù),顯然有顯然有5第六章第六章 聚類分析聚類分析故故d*是一個距離是一個距離.6第六章第六章 聚類分析聚類分析7第六章第六章 聚類分析聚類分析6-2 試證明二值變量的相關(guān)系數(shù)為試證明二值變量的相關(guān)系數(shù)為(6.2.2)式，夾角余式，夾角余弦為弦為(6.2.3)式式.證明：證明：設(shè)變量設(shè)變量Xi和和Xj是二值變量，它們的是二值變量，它們的n次觀測值記次觀測值記為為xti,xtj(t=1,n).xti,xtj 的值或?yàn)榈闹祷驗(yàn)?，或?yàn)椋驗(yàn)?.由二值變由二值變量的列聯(lián)表（表

3、量的列聯(lián)表（表6.5）可知：變量）可知：變量Xi取值取值1的觀測次數(shù)的觀測次數(shù)為為a+b,取值取值0的觀測次數(shù)為的觀測次數(shù)為c+d;變量變量Xi和和Xj取值均為取值均為1的的觀測次數(shù)為觀測次數(shù)為a,取值均為取值均為0的觀測次數(shù)為的觀測次數(shù)為d 等等。利用兩等等。利用兩定量變量相關(guān)系數(shù)的公式：定量變量相關(guān)系數(shù)的公式：8第六章第六章 聚類分析聚類分析9第六章第六章 聚類分析聚類分析故二值變量的相關(guān)系數(shù)為：故二值變量的相關(guān)系數(shù)為：(6.2.2)10第六章第六章 聚類分析聚類分析利用兩定量變量夾角余弦的公式：利用兩定量變量夾角余弦的公式：其中其中故有故有11第六章第六章 聚類分析聚類分析6-3 下面是

4、下面是5個樣品兩兩間的距離陣個樣品兩兩間的距離陣試用最長距離法、類平均法作系統(tǒng)聚類，并畫出譜系試用最長距離法、類平均法作系統(tǒng)聚類，并畫出譜系聚類圖聚類圖.解解:用最長距離法用最長距離法:合并合并X(1),X(4)=CL4,并類距離并類距離 D1=1.12第六章第六章 聚類分析聚類分析 合并合并X(2),X(5)=CL3,并類距離并類距離 D2=3.合并合并CL3,CL4=CL2,并類距離并類距離 D3=8.所有樣品合并為一類所有樣品合并為一類CL1,并類距離并類距離 D4=10.13第六章第六章 聚類分析聚類分析最長距離法的譜系聚類圖如下最長距離法的譜系聚類圖如下:14第六章第六章 聚類分析聚

5、類分析 合并合并X(1),X(4)=CL4,并類距離并類距離 D1=1.用類平均法用類平均法:15第六章第六章 聚類分析聚類分析 合并合并X(2),X(5)=CL3,并類距離并類距離 D2=3.合并合并CL3,CL4=CL2,并類距離并類距離 D3=(165/4)1/2.所有樣品合并為一類所有樣品合并為一類CL1,并類距離并類距離 D4=(121/2)1/2.16第六章第六章 聚類分析聚類分析類平均法的譜系聚類圖如下類平均法的譜系聚類圖如下:17第六章第六章 聚類分析聚類分析6-4 利用距離平方的遞推公式利用距離平方的遞推公式來證明當(dāng)來證明當(dāng)0,p0,q0,p+q+1時時,系統(tǒng)聚類中的類系統(tǒng)聚

6、類中的類平均法、可變類平均法、可變法、平均法、可變類平均法、可變法、Ward法的單調(diào)性法的單調(diào)性.證明：證明：設(shè)第設(shè)第L次合并次合并Gp和和Gq為新類為新類Gr后后,并類距離并類距離DL Dpq,且必有且必有Dpq2Dij2.新類新類Gr與其它類與其它類Gk的距離平方的遞的距離平方的遞推公式推公式,當(dāng)當(dāng)0,p0,q0,p+q+1 時時 這表明新的距離矩陣中類間的距離均這表明新的距離矩陣中類間的距離均 Dpq DL，故有故有DL1 DL，即相應(yīng)的聚類法有單調(diào)性，即相應(yīng)的聚類法有單調(diào)性.18第六章第六章 聚類分析聚類分析 對于類平均法，因?qū)τ陬惼骄ǎ蚬暑惼骄ň哂袉握{(diào)性。故類平均法具有單調(diào)性。

7、對于可變類平均法，因?qū)τ诳勺冾惼骄?，因故可變類平均法具有單調(diào)性。故可變類平均法具有單調(diào)性。19第六章第六章 聚類分析聚類分析 對于可變法，因?qū)τ诳勺兎?，因故可變法具有單調(diào)性。故可變法具有單調(diào)性。對于離差平方和法，因?qū)τ陔x差平方和法，因故離差平方和法具有單調(diào)性。故離差平方和法具有單調(diào)性。20第六章第六章 聚類分析聚類分析6-5 試從定義直接證明最長和最短距離法的單調(diào)性試從定義直接證明最長和最短距離法的單調(diào)性.證明：證明：先考慮最短距離法：先考慮最短距離法：設(shè)第設(shè)第L步從類間距離矩陣步從類間距離矩陣 出發(fā)，假設(shè)出發(fā)，假設(shè)故合并故合并Gp和和Gq為一新類為一新類Gr，這時第，這時第L步的并類距離步

8、的并類距離:且新類且新類Gr與其它類與其它類Gk的距離由遞推公式可知的距離由遞推公式可知設(shè)第設(shè)第L+1步從類間距離矩陣步從類間距離矩陣 出發(fā)，出發(fā)，21第六章第六章 聚類分析聚類分析故第故第L1步的并類距離步的并類距離:即最短距離法具有單調(diào)性即最短距離法具有單調(diào)性.類似地類似地,可以證明最長距離法也具有單調(diào)性可以證明最長距離法也具有單調(diào)性.22第六章第六章 聚類分析聚類分析6-6 設(shè)設(shè)A,B,C為平面上三個點(diǎn)為平面上三個點(diǎn),它們之間的距離為它們之間的距離為將三個點(diǎn)看成三個二維樣品將三個點(diǎn)看成三個二維樣品,試用此例說明中間距離法試用此例說明中間距離法和重心法不具有單調(diào)性和重心法不具有單調(diào)性.解解

9、:按中間距離法按中間距離法,取取=-1/4,=-1/4,將將B B和和C C合并為合并為一類后一類后,并類距離并類距離D1 1=1,=1,而而A A與新類與新類Gr=B,C=B,C的的類間平方距離為類間平方距離為23第六章第六章 聚類分析聚類分析故中間距離法不具有單調(diào)性。故中間距離法不具有單調(diào)性。按重心法按重心法,將將B B和和C C合并為一類后合并為一類后,并類距離并類距離D1 1=1,=1,而而A與新類與新類Gr=B,C=B,C的類間平方距離為的類間平方距離為當(dāng)把當(dāng)把A與與B，C并為一類時，并類距離并為一類時，并類距離24第六章第六章 聚類分析聚類分析故故重心法重心法法不具有單調(diào)性。法不具

10、有單調(diào)性。并類過程如下：并類過程如下：當(dāng)把當(dāng)把A與與B，C并為一類時，并類距離并為一類時，并類距離ABC25第六章第六章 聚類分析聚類分析解一解一:利用利用如果樣品間的距離定義為歐氏距離如果樣品間的距離定義為歐氏距離,則有則有6-7 試推導(dǎo)重心法的距離遞推公式試推導(dǎo)重心法的距離遞推公式(6.3.2);26第六章第六章 聚類分析聚類分析27第六章第六章 聚類分析聚類分析28第六章第六章 聚類分析聚類分析解二解二:因樣品間的距離定義為歐氏距離因樣品間的距離定義為歐氏距離,利用利用29第六章第六章 聚類分析聚類分析利用利用30第六章第六章 聚類分析聚類分析故有故有31第六章第六章 聚類分析聚類分析6

11、-8 試推導(dǎo)試推導(dǎo)Ward法的距離遞推公式法的距離遞推公式(6.3.3);解：解：WardWard法把兩類合并后增加的離差平方和看成法把兩類合并后增加的離差平方和看成類間的平方距離類間的平方距離,即把類即把類Gp和和Gq的平方距離定義的平方距離定義為為利用利用Wr的定義的定義:32第六章第六章 聚類分析聚類分析33第六章第六章 聚類分析聚類分析34第六章第六章 聚類分析聚類分析(當(dāng)樣品間的距離定義為歐氏距離時）當(dāng)樣品間的距離定義為歐氏距離時）記GrGp,Gq,則新類Gr與其它類Gk的平方距離為利用重心法的遞推公式利用重心法的遞推公式(6-7題已證明題已證明)可得：可得：35第六章第六章 聚類分

12、析聚類分析36第六章第六章 聚類分析聚類分析6-9 設(shè)有設(shè)有5個樣品個樣品,對每個樣品考察一個指標(biāo)得數(shù)據(jù)為對每個樣品考察一個指標(biāo)得數(shù)據(jù)為1，2,5,7,10.試用離差平方和法求試用離差平方和法求5個樣品分為個樣品分為k類類(k5,4,3，2,1)的分類法的分類法bk及相應(yīng)的總離差平方和及相應(yīng)的總離差平方和W(k).解：解：計算樣品間的歐氏平方距離陣計算樣品間的歐氏平方距離陣 合并合并 1,2 CL4,并類距離并類距離D1=(0.5)1/2=0.707，并，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得37第六章第六章 聚類分析聚類分析合并合并 5,7 CL3

13、,并類距離并類距離D2=(2)1/2=1.414，并利，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得 合并合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并類距離并類距離D3=(32/3)1/2=3.266，并利用遞推公式計算新類與其它，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得類的平方距離得38第六章第六章 聚類分析聚類分析 合并合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并類距離并類距離D4=(245/6)1/2=6.39，并利用遞推公式計算新類與其它類，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得的平方距離得分類法分類法bk及相應(yīng)的總離差平方和及相應(yīng)的總離差平方和W(k):k=51,2,5,7,10 W(5)=0k=4 1,2,5,7,10W(4)=0.5k=3 1,2,5,7,10W(3)=2.5k=2 1,2,5,7,10W(2)=13.666k=1 1,2,5,7,10W(1)=54