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1、應(yīng)用多元統(tǒng)計分析,第六章部分習(xí)題解答,2,第六章 聚類分析,6-1 證明下列結(jié)論: (1) 兩個距離的和所組成的函數(shù)仍是距離; (2) 一個正常數(shù)乘上一個距離所組成的函數(shù)仍是距離; (3)設(shè)d為一個距離,c0為常數(shù),則仍是一個距離; (4) 兩個距離的乘積所組成的函數(shù)不一定是距離;,3,第六章 聚類分析,(2) 設(shè)d是距離,a 0為正常數(shù).令d*=ad,顯然有,4,第六章 聚類分析,故d*=ad是一個距離. (3) 設(shè)d為一個距離,c0為常數(shù),顯然有,5,第六章 聚類分析,故d*是一個距離.,6,第六章 聚類分析,7,第六章 聚類分析,6-2 試證明二值變量的相關(guān)系數(shù)為(6.2.2)式，夾角余

2、弦為(6.2.3)式.,證明：設(shè)變量Xi和Xj是二值變量，它們的n次觀測值記為xti, xtj (t=1,n). xti, xtj 的值或為0，或為1.由二值變量的列聯(lián)表（表6.5）可知：變量Xi取值1的觀測次數(shù)為a+b,取值0的觀測次數(shù)為c+d;變量Xi和Xj取值均為1的觀測次數(shù)為a,取值均為0的觀測次數(shù)為d 等等。利用兩定量變量相關(guān)系數(shù)的公式：,8,第六章 聚類分析,9,第六章 聚類分析,故二值變量的相關(guān)系數(shù)為：,(6.2.2),10,第六章 聚類分析,利用兩定量變量夾角余弦的公式：,其中,故有,11,第六章 聚類分析,6-3 下面是5個樣品兩兩間的距離陣,試用最長距離法、類平均法作系統(tǒng)聚

3、類，并畫出譜系聚類圖.解:用最長距離法: 合并X(1),X(4)=CL4,并類距離 D1=1.,12,第六章 聚類分析, 合并X(2),X(5)=CL3,并類距離 D2=3., 合并CL3,CL4=CL2,并類距離 D3=8., 所有樣品合并為一類CL1,并類距離 D4=10.,13,第六章 聚類分析,最長距離法的譜系聚類圖如下:,14,第六章 聚類分析, 合并X(1),X(4)=CL4,并類距離 D1=1.,用類平均法:,15,第六章 聚類分析, 合并X(2),X(5)=CL3,并類距離 D2=3., 合并CL3,CL4=CL2,并類距離 D3=(165/4)1/2., 所有樣品合并為一類C

4、L1,并類距離 D4=(121/2)1/2.,16,第六章 聚類分析,類平均法的譜系聚類圖如下:,17,第六章 聚類分析,6-4 利用距離平方的遞推公式,來證明當(dāng)0,p0,q0,p+q+1時,系統(tǒng)聚類中的類平均法、可變類平均法、可變法、Ward法的單調(diào)性.,證明：設(shè)第L次合并Gp和Gq為新類Gr后,并類距離DL Dpq,且必有Dpq2Dij2 . 新類Gr與其它類Gk的距離平方的遞推公式 ,當(dāng)0,p0,q0, p+q+ 1 時,這表明新的距離矩陣中類間的距離均 Dpq DL ，故有DL1 DL ，即相應(yīng)的聚類法有單調(diào)性.,18,第六章 聚類分析,對于類平均法，因,故類平均法具有單調(diào)性。 對于可

5、變類平均法，因,故可變類平均法具有單調(diào)性。,19,第六章 聚類分析,對于可變法，因,故可變法具有單調(diào)性。 對于離差平方和法，因,故離差平方和法具有單調(diào)性。,20,第六章 聚類分析,6-5 試從定義直接證明最長和最短距離法的單調(diào)性. 證明：先考慮最短距離法： 設(shè)第L步從類間距離矩陣 出發(fā)，假設(shè),故合并Gp和Gq為一新類Gr，這時第L步的并類距離:,且新類Gr與其它類Gk的距離由遞推公式可知,設(shè)第L+1步從類間距離矩陣 出發(fā)，,21,第六章 聚類分析,故第L1步的并類距離:,即最短距離法具有單調(diào)性. 類似地,可以證明最長距離法也具有單調(diào)性.,22,第六章 聚類分析,6-6 設(shè)A,B,C為平面上三個

6、點,它們之間的距離為,將三個點看成三個二維樣品,試用此例說明中間距離法和重心法不具有單調(diào)性.,解:按中間距離法,取=-1/4,將B和C合并為一類后,并類距離D1=1,而A與新類Gr=B,C的類間平方距離為,23,第六章 聚類分析,故中間距離法不具有單調(diào)性。 按重心法,將B和C合并為一類后,并類距離D1=1,而A與新類Gr=B,C的類間平方距離為,當(dāng)把A與B，C并為一類時，并類距離,24,第六章 聚類分析,故重心法法不具有單調(diào)性。并類過程如下：,當(dāng)把A與B，C并為一類時，并類距離,A,B,C,25,第六章 聚類分析,解一: 利用如果樣品間的距離定義為歐氏距離,則有,6-7 試推導(dǎo)重心法的距離遞推

7、公式(6.3.2);,26,第六章 聚類分析,27,第六章 聚類分析,28,第六章 聚類分析,解二:因樣品間的距離定義為歐氏距離,利用,29,第六章 聚類分析,利用,30,第六章 聚類分析,故有,31,第六章 聚類分析,6-8 試推導(dǎo)Ward法的距離遞推公式(6.3.3);,解：Ward法把兩類合并后增加的離差平方和看成類間的平方距離,即把類Gp和Gq的平方距離定義為,利用Wr的定義:,32,第六章 聚類分析,33,第六章 聚類分析,34,第六章 聚類分析,(當(dāng)樣品間的距離定義為歐氏距離時）,記GrGp,Gq,則新類Gr與其它類Gk的平方距離為,利用重心法的遞推公式(6-7題已證明)可得：,3

8、5,第六章 聚類分析,36,第六章 聚類分析,6-9 設(shè)有5個樣品,對每個樣品考察一個指標(biāo)得數(shù)據(jù)為1，2,5,7,10.試用離差平方和法求5個樣品分為k類(k5,4,3，2,1)的分類法bk及相應(yīng)的總離差平方和W(k).,解：計算樣品間的歐氏平方距離陣, 合并 1,2 CL4,并類距離D1=(0.5)1/2 =0.707 ，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得,37,第六章 聚類分析,合并 5,7 CL3,并類距離D2=(2)1/2 =1.414 ，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得, 合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并類距離D3=(32/3)1/2 =3.266 ，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得,38,第六章 聚類分析, 合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并類距離D4 =(245/6)1/2 = 6.39 ，并利用遞推公式計算新類與其它類的平方距離得,分類法bk及相應(yīng)的總離差平方和W(k):,