《函數(shù)極限的性質(zhì)名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《函數(shù)極限的性質(zhì)名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件.ppt（27頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、3.2 函數(shù)極限性質(zhì)函數(shù)極限性質(zhì)一一.極限性質(zhì)極限性質(zhì)二二.利用函數(shù)極限性質(zhì)計(jì)算一些利用函數(shù)極限性質(zhì)計(jì)算一些函數(shù)極限函數(shù)極限第1頁v定理3.2 假如當(dāng)假如當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f(x)極限存極限存 那么這極限是唯一那么這極限是唯一 證實(shí)，x x f B A 時(shí)極限時(shí)極限 當(dāng)當(dāng) 都是都是 設(shè)設(shè) 0,)(0,0,0 1 0 1 e e d d d d e e -$A x f x x 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 則則,)(0,0 2 0 2 e e d d d d -$B x f x x 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 故有故有 同時(shí)成立同時(shí)成立 時(shí)時(shí) 則當(dāng)則當(dāng) 取取，x x)2(),1(0),min(0 2 1 d d d d d d

2、 d d -.2)()()()(e e -+-B x f A x f B x f A x f B A.即其極限唯一即其極限唯一 任意性得任意性得 由由 B A e e(1)(2)一一 函數(shù)極限性質(zhì)函數(shù)極限性質(zhì)1.唯一性唯一性第2頁2.局部有界性局部有界性若極限若極限 存在，則函數(shù)在某一空心鄰域上有界。證實(shí)證實(shí) 有有 使得使得 則則 取取 設(shè)設(shè));(,0,1,)(lim 0 0 d d d d e e x U x A x f x x o o$.1)(1)(+-A x f A x f.);()(0 內(nèi)有界內(nèi)有界 在在 即即 d d x U x f o o 第3頁3.局部局部保號(hào)性保號(hào)性定理定理3.

3、4證實(shí)證實(shí) 設(shè)設(shè)A0,對(duì)任何對(duì)任何0,使得對(duì)一切使得對(duì)一切這就證得結(jié)論這就證得結(jié)論.對(duì)于對(duì)于A 0情形可情形可類似地證實(shí)類似地證實(shí).推論推論第4頁v定理3.4(函數(shù)極限局部保號(hào)性)假如假如f(x)A(xx0)而且而且A 0(或或A 0)那么對(duì)那么對(duì)任何正數(shù)任何正數(shù)rA(或或 r 0(或或f(x)-r 0)證實(shí));(,0,),1,0(,0 0 d d d d e e x U x r A r A$-使得使得 則則 取取 設(shè)設(shè).)(r A x f -e e 有有.0 情形類似可證情形類似可證 對(duì)于對(duì)于 r 推論 假假如如在在x0某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)f(x)0(或或f(x)0)而而且且 f(x

4、)A(xx0)那么那么A 0(或或A 0)3.局部局部保號(hào)性保號(hào)性第5頁v定理3.5(函數(shù)極限保不等式性)證實(shí)).(lim)(lim),()();()(),(0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 則則 內(nèi)有內(nèi)有 極限都存在且在極限都存在且在 時(shí)時(shí) 假如假如 d d o o,)(lim,)(lim 0 0 B x g A x f x x x x 設(shè)設(shè))1(),(0,0,0 1 0 1 x f A x x -$e e d d d d e e 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 則則)2(.)(0,0 2 0 2 e e d d d d+-$B x g x x

5、時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 于是有于是有 同時(shí)成立同時(shí)成立 與與 不等式不等式 時(shí)時(shí) 則當(dāng)則當(dāng) 令令，x g x f x x)2(),1()()(,0,min 0 2 1 -d d d d d d d d d d,)()(e e e e+-B x g x f A.,2 B A B A +任意性知任意性知 由由 從而從而 e e e e 4 保不等式保不等式第6頁推論推論第7頁v定理3.6 假如函數(shù)假如函數(shù)f(x)、g(x)及及h(x)滿足以下條件滿足以下條件 (1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么那么lim f(x)存在存在 且且lim f(x)A 證實(shí)),(0,

6、0,0 1 0 1 x g A x x，-$e e d d d d e e 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 按假設(shè)按假設(shè).)(0,0 2 0 2 e e d d d d+-$A x h x x 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 故有故有 同時(shí)成立同時(shí)成立 時(shí)上兩不等式與時(shí)上兩不等式與 則當(dāng)則當(dāng) 令令,)()()(0,min 0 2 1 x h x f x g x x -d d d d d d d d,)()()(e e e e+-A x h x f x g A.)(lim)(0 A x f，A x f x x -即即 由此得由此得 e e 5 迫斂性迫斂性第8頁定理定理3.7設(shè)設(shè) ,則 1）2）3）6 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則

7、第9頁(3)證實(shí)證實(shí) 只要證，令，由，使得當(dāng) 時(shí)，有，即,依然由，.，使得當(dāng) 時(shí)，有.取，則當(dāng) 時(shí)，有 即 第10頁推論推論1 1常數(shù)因子能夠提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子能夠提到極限記號(hào)外面.推論推論2 2定理?xiàng)l件：定理?xiàng)l件：存在存在商情形還須加上分母極限不為商情形還須加上分母極限不為0定理簡(jiǎn)言之即是：和、差、積、商極限定理簡(jiǎn)言之即是：和、差、積、商極限等于極限和、差、積、商等于極限和、差、積、商定理中極限號(hào)下面沒有指明極限過程，是指對(duì)定理中極限號(hào)下面沒有指明極限過程，是指對(duì)任何一個(gè)過程都成立任何一個(gè)過程都成立).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在假如假

8、如.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在假如假如第11頁二、利用函數(shù)極限性質(zhì)計(jì)算一些函數(shù)極限二、利用函數(shù)極限性質(zhì)計(jì)算一些函數(shù)極限.已證實(shí)過以下幾個(gè)極限：（注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值）利用極限性質(zhì)，尤其是運(yùn)算性質(zhì)求極限原是：經(jīng)過相關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限值,即計(jì)算得所求極限.這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí),有五組基本極限作為公式用,參閱 4P3738.我們將陸續(xù)證實(shí)這些公式.第12頁 利用“迫斂性”和“四則運(yùn)算”，能夠從一些“簡(jiǎn)單函數(shù)極限”出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)極限。例求例求.例求例求.例求例求.(利用極限和)第1

9、3頁例例4 證實(shí)證實(shí)證證（不妨設(shè)（不妨設(shè)1）第14頁例例6求求例例5求求註註:關(guān)于關(guān)于有理分式當(dāng)時(shí)極限.參閱4P37 利用公式 求A和B.補(bǔ)充題補(bǔ)充題:已知 第15頁求極限方法舉例求極限方法舉例例例7 7解解第16頁小結(jié)小結(jié):第17頁例例8 8解解商法則不能用商法則不能用由無窮小與無窮大關(guān)系由無窮小與無窮大關(guān)系,得得第18頁例例9 9解解(消去零因子法消去零因子法)第19頁例例1010解解(無窮小因子分出法無窮小因子分出法)第20頁小結(jié)小結(jié):無窮小分出法無窮小分出法:以分母中自變量最高次冪除分子以分母中自變量最高次冪除分子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.第21頁

10、例例1111解解先變形再求極限先變形再求極限.第22頁 由以上幾例可見，在應(yīng)用極限四則運(yùn)算法則求由以上幾例可見，在應(yīng)用極限四則運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意定理?xiàng)l件，當(dāng)條件不具備時(shí)，有極限時(shí)，必須注意定理?xiàng)l件，當(dāng)條件不具備時(shí)，有時(shí)可作適當(dāng)變形，以創(chuàng)造應(yīng)用定理?xiàng)l件，有時(shí)能夠時(shí)可作適當(dāng)變形，以創(chuàng)造應(yīng)用定理?xiàng)l件，有時(shí)能夠利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)或無窮小與無窮大關(guān)系求極限。利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)或無窮小與無窮大關(guān)系求極限。三、復(fù)合函數(shù)極限三、復(fù)合函數(shù)極限定理定理 （復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則（復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則變量代換法則）變量代換法則）第23頁證證由極限定義得由極限定義得第24頁此定理表明：此定理表明：則可作代換則可

11、作代換極限過程轉(zhuǎn)化極限過程轉(zhuǎn)化注注1可得類似定理可得類似定理注注2定理中限制條件定理中限制條件不能少不能少,比如比如,令令第25頁 例12 解 第26頁6）.極限四則運(yùn)算法則及其推論極限四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法：極限求法：a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.四、小結(jié)四、小結(jié)1 函數(shù)極限性質(zhì)函數(shù)極限性質(zhì)1）.唯一性；唯一性；2）.局部有界性；局部有界性；3.局部局部保號(hào)性；保號(hào)性；4）保不等式；保不等式；5）迫斂性；迫斂性；7).復(fù)合函數(shù)四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)四則運(yùn)算法則.第27頁